SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG
TRƯỜNG THPT CHIÊM HÓA

GV SOẠN GIẢNG : PHAN TRỌNG TIỆP
(PHƯƠNG PHÁP MỚI 2022)

CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THÔNG DỤNG
x 1
x dx   1  C. (  1)


1
x dx  ln x  C.

DỤNGu  du  u 

 1


 1

 C. (  1)

1
u du  ln u  C.

x
x
e
dx

e
 C.


u
uu
e
du

e
 C.


ax
 C.
a dx 
ln a
cos xdx  sin x  C.

au
 C.
a du 
ln a
cos udu  sin u  C.

sin xdx

sin udu

x

u

 cos x  C.

1
 2 dx  tan x  C.
cos x
1
 2 dx  cot x  C.
sin x

1
1
u2 du  u  C

 cos u  C.

1
 22 du  tan u  C.
cos u
1
 2 du  cot u  C.
sin u



2
udu  u u  C
3

1
 u du 2 u  C

Hoạt động 1:
Tìm

Khởi động

2
(
x

1)
dx


3
x
2
2
2
Giaûi : ( x  1) dx ( x  2 x  1)dx   x  x  C
3
2
(
u

1)
du


Từ đó hãy tính nhanh

3
u
2
2
Giaûi : (u  1) du   u  u  C
3

Tìm họ nguyên hàm

( x  1)

10

dx

Làm thế nào để
tính nguyên hàm
của hàm số này ?

Hoạt động 1: Khởi động
Cho

( x  1)

10

dx Đặt u  x  1

10

Hãy viết ( x  1) dx theo u và du
Giải:
10

Ta có
( x  1)  u10
Tìm dx theo du

u  x  1  du ( x  1)' dx dx (Lấy vi phân hai vế)
Khi đó

10

10

( x  1) dx u du
11

u
Ta có: u du 
 C Vậy
11
10

( x  1)

10

dx ?

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG
TRƯỜNG THPT CHIÊM HÓA
TIẾT THEO PPCT 41:

GV SOẠN GIẢNG : PHAN TRỌNG TIỆP

II

Phương pháp tính nguyên hàm:

Hoạt động 2: Hình thành kiến thức mới
Câu 1: Theo định nghĩa nguyên hàm thì

 

khi nào ?

Câu 2: Cho hàm số F(u) với u= u(x) . Tính (F(u(x)))'
Câu 3: Nếu  

và F(u) với u= u(x). Tính (F(u(x)))'

Câu 4: Dựa vào các kết quả trên . Tìm

 

Câu 5: Với u(x)=ax+b . Tìm thay vào kết quả ở trên
Tìm

∫ 𝑓 (𝑢(𝑥)) .d 𝑥

hay

∫ 𝑓 (𝑎𝑥+𝑏) .d𝑥

Phương pháp tính nguyên hàm:

II
1

Phương pháp đổi biến số:

ĐỊNH LÝ 1

Nếu và là hàm số có đạo hàm liên tục thì

Hệ quả

Với

.

10
(
x

1)
dx


Ví dụ 1: Tính

u x  1
10
10
( x  1)  u và du dx

Giải: Đặt
Ta có

11

u
Khi đó u du 
C
11
10

Thay

u x  1 vào kết quả trên, ta được
11

( x  1)
( x  1) dx  1 11  C
10

Cách 2: Vì

u



u

du 

 1

 C (   1 và u ax  b)

Áp dụng hệ quả ta có:
11
11
1
(
x

1)
(
x

1)
10
(
x

1)
dx  .
C 
C

1
11
11

Phương pháp tính nguyên hàm:

II
1

Phương pháp đổi biến số:

ĐỊNH LÝ 1
 

Khi dùng phương pháp đổi biến, Ta làm theo các bước sau:

 

1
∫ 𝑓 ( 𝑎𝑥+𝑏) d 𝑥= 𝑎 𝐹 ( 𝑎𝑥+𝑏) +𝐶.

LƯU Ý

u

u
du

 C . (  1)

 1
 1

1
u du  ln u  C.

u
uu
e
du

e
 C.


u
a
u
 C.
a du 
ln a

cos udu  sin u  C.

sin udu

 cos u  C.

1
 2 du  tan u  C.
cos u
1
 2 du  cot u  C.
sin u

1 ax  b 

ax  b  dx  a   1  C. (   1)
1
1
dx

ln ax  b  C.
ax  b
a
1 axaxbb
ax b
e
dx

e
 C.

a
 1

a

1 a
dx  .
 C.
m ln a
mx
mx n

mx
mxnn

1
sin ax  b   C.
a
1
sin
ax

b
dx


cos ax  b   C.



a

cos ax  b dx 

1
1
dx

tan ax  b   C.
cos 2 ax  b 
a
1
1
dx

cot ax  b   C.
sin 2 ax  b 
a

Ví dụ 2: Tính
 

 

Giải:
Vì

và u 12 x  2022

 

Nên theo hệ quả tacó
 

 

 

 

Ví dụ 3: Tính

Giải:
 

 
 

 

 

 

 

Hoạt động 3: Luyện Tập
Ví dụ 4:Tính

a)

3
sin
 x.cosxdx

2x
b)  2
dx
x 1
Hoạt động nhóm:
Nhóm 1 + 2: Ý a

Nhóm 3 +4: Ý b

Yêu cầu: Các nhóm tập trung thảo luận, làm bài ra bảng
phụ, cử đại diện nhóm lên bảng treo bảng phụ và thuyết
trình sản phẩm của nhóm. Các nhóm khác ý kiến nhận xét.

Ví dụ 4: Tính

a)

3
sin
 x.cosxdx

Giải: Đặt

u s inx  du cosx.dx

4
s
in
x
u
3
3
C
Tacoù : u du   C  sin x.cosxdx 
4
4
4

2x
b)  2
dx
x 1

2
u

x
 1  du 2 x.dx
Giải: Đặt

1
Tacoù :  du ln u  C 
u

2x
2
dx
x 2  1 ln x  1  C





Câu 1. Để tính ò cos5 x.sinxdx theo phương pháp đổi biến số, ta đặt:
A. u= sinx.
B. u = cos5x.
C. u = cosx. D. u = sinx.cosx.
Câu 2. Để tính

ò
3

x2

(x

A. u = ( x + 2) .
3

3

3

+ 2)

dx

B. u =

theo phương pháp đổi biến số, ta đặt:
1

(x

3

3

+ 2)

.

2
C. u = x .

D. u = x3 + 2.

elnx
Câu 3. Để tính ò dx theo phương pháp đổi biến số, ta đặt:
x
ln x

A. u = e .

B. u = ln x.

C. u = x.

1
D. u = .
x

2x+3
e
dx bằng
Câu 4. ò

1 2x+3
A. e +C.
2

2x+3

B. e

+C.

2x+3

C. 2e

+C.

1
dx bằng
Câu 5. ( Trích đề THPTQG 2017) ò
5x- 2

A. ln 5x - 2 +C.

B. 5ln 5x - 2 +C

1
C. - 2 ln 5x - 2 +C.

1
D. 5 ln 5x - 2 +C.

1 2x+3
D. 3 e +C.

- Bài tập 3 (SGK-Trang 101)
- Bài tập làm thêm: Sử dụng phương pháp đổi biến số
a. Hãy tính

1) x 1  x

4) e

cos x

 dx

2 9

.sin x dx

2) x. x  1dx
2





5

5)e . e  2 dx
x

x

ln x
3)  dx
x
3

3
b. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x ) sin x.cosx


biết F ( ) 0
2

Hoạt động 5: Vận dụng
Bài toán vận dụng trong vật lí

Bài toán: Một hạt Proton di chuyển trong điện trường có biểu thức
gia tốc là a(t ) 

 20

 s  với t là thời gian tính bằng giây.

2
cm
,
2

2t  1

Hãy tìm hàm vận tốc V theo thời gian t của hạt Proton trên, biết rằng
khi t = 0 thì vận tốc V = 30

Giải

cm s 

Ta có S'(t) = V(t); V'(t) = a(t)

 20
10
dt
Suy ra V (t )  a(t )dt 

C
2
(2t  1)
2t  1
10
 C 30  C 20
Từ giả thiết ta có V(0) = 30 
2(0)  1
10
 20 cm s 
Vậy V (t ) 
2t  1



Ví dụ 5: Tính

I x ( x  1) dx
2

10

2

Giải: Đặt u  x  1

du
 du ( x  1)' dx 2 xdx  xdx  .
2
2

11
du
1
1
u
I x ( x 2  1)10 dx u10
 u10 du  .
C
2 2
2 11

2

11

( x  1)

C
22