NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
Chẳng khác gì quy tắc nhân một số với một tổng!
A.(B + C) = A.B + A.C
Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng chúng với nhau.

A.(B + C) = A.B + A.C
Chẳng hạn:
2. Áp dụng:
Thực hiện phép tính
a)
b)
2. Rút gọn rồi tính
tại x = -6, y = 8
3. Tìm x biết
Bài tập làm thêm
NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC

(A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D
Qui tắc :Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.


(A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D
( )
Ví dụ : Làm tính nhân:
(x – 2 )( 6x2 – 5x +1) =
( 6x2 – 5x +1)
x
( 6x2 – 5x +1)
– 2
+
=
x.6x2
( – 2).6x2
=
=
6x3
= 6x3 – 17x2 + 11x – 2
x.(– 5x)
x.1
+
+
+
+
+
( – 2).(– 5x)
( – 2).1)
là đa thức tích
– 5x2
+ x
– 12x2
+ 10x
– 2
6x2 – 5x + 1
x – 2
– 12x2 + 10x – 2
6x3 – 5x2 + x
6x3 – 17x2 + 11x – 2








X
Chú ý: Cách 2
Thực hiện các phép tính nhân sau :
a) (x2 + 1)( 5 – x)
b) (3 – 2x)( 7 – x2 + 2x )
c) (3 – 2x)(x2 – 2xy + 1)
a) (x2 + 1)( 5 – x)
= x2(5 – x) + 1.(5 – x)
= 5x2 – x3 + 1.5 – 1.x
= – x3 + 5x2 – x + 5
b) (3 – 2x)( 7 – x2 + 2x )
= 3(7 – x2 + 2x ) – 2x.(7 – x2 + 2x)
= 21 – 3x2 + 6x – 14x + 2x3 – 4x2
= 2x3 – 7x2 – 8x +21.
= 21 + 2x3 – 3x2 – 4x2 + 6x – 14x
c) (3 – 2x)(x2 – 2xy + 1)
= 3(x2 – 2xy + 1) – 2x.(x2 – 2xy +1)
= 3x2 – 6xy + 3 – 2x3 + 4x2y – 2x
Phép nhân đa thức 1 biến ta thực hiện được 2 cách, còn 2 biến trở lên chỉ thực hiện theo cách 1 , không thực hiện theo cách 2
Bài tập bổ sung :
1/ Nếu hai đa thức f(x),g(x) bằng nhau kí hiệu f(x) =g(x) với mọi x ,thì các hệ số của các hạng tử cùng bậc ở hai đa thức bằng nhau.


Áp dụng :
1/ Tìm hệ số a , b , c biết : – 3x3( 2ax2 – bx + c ) = – 6x5 + 9x4 – 3x3 với mọi x
2/ Nếu cho x2 – y = a ; y2 – z =b ; và z2 – x = c (a , b ,c là hằng số ).CM biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
x3 ( z – y2 ) + y3 ( x – z2 ) + z3 ( y – x2 ) + xyz ( xyz – 1 )

0934517186
1/ Tìm hệ số a , b , c biết :
– 3x3( 2ax2 – bx + c ) = – 6x5 + 9x4 – 3x3 với mọi x
– 3x3( 2ax2 – bx + c ) = – 6x5 + 9x4 – 3x3
– 6ax5 + 3bx4 – 3cx3 = – 6x5 + 9x4 – 3x3
– 6ax5 = – 6x5  a = 1
3bx4 = 9x4  b = 3
– 3cx3 = – 3x3  c = 1
x3 ( z – y2 ) + y3 ( x – z2 ) + z3 ( y – x2 ) + xyz( xyz – 1 )
2/ Nếu cho x2 – y = a  x2 = y + a;
y2 – z =b  y2 =z + b ; z2 – x = c  z2 = x + c
(a , b ,c là hằng số ).

=x2.x( z – y2 )+y2.y( x – z2 )+z2.z ( y – x2 )+(xyz)2 – xyz
=(y + a).x( – b )+(z + b ).y(– c )+(x + c ).z (– a ) + (y + a)(z + b )(x + c ) – xyz
= – bxy – abx – cyz – bcy – axz – acz + (yz +by + az+ ab)(x + c ) – xyz
Vậy biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
= – bxy – abx – cyz – bcy – axz – acz + (yz +by + az+ ab)(x + c ) – xyz
= + xyz + abc – xyz = abc
= –bxy– abx – cyz – bcy – axz – acz + xyz +bxy + axz + abx + cyz +bcy + acz + abc – xyz
BÀI TẬP NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY
Bài 1. Tìm các hệ số a, b, c biết:
a) 2x2 (ax2 + 2bx + 4c) = 6x4 - 20x3 + 8x2 đúng với mọi x;
b) (ax + b)(x2 - cx + 2) = x3 + x2 - 2 đúng với mọi x.
Hướng dẫn
a) 2x2 (ax2 + 2bx + 4c) = 6x4 - 20x3 + 8x2
2ax4 + 4bx3 + 8cx2 = 6x4 - 20x3 + 8x2 (1)
(1) đúng với mọi x
2ax4 = 6x4  a = 3
4bx3 = -20x3  b = -5
8cx2 = 8x2  c = 1
b) a= 1 ; b = -1 ; c= -2
b) (ax + b)(x2 - cx + 2) = x3 + x2 - 2
ax3 + bx2 - acx2 - bcx + 2b + 2ax = x3 + x2 - 2
ax3 + (b - ac) x2 + (2a - bc) x + 2b = x3 + x2 - 2 (2)
a = 1
b-ac = 1  -1 -1.c= 1c = -2
2a-bc = 0 
2 b = -2 b= -1
Bài 2. Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:
a) C = (5x - 2)( x + 1) - ( x - 3)(5x + 1) - 17 ( x + 3)
b) D = (6x - 5)( x + 8) - (3x -1)(2x + 3) - 9 (4x - 3)
Hướng dẫn
Ta có :
C = 5x2 + 5x - 2x - 2 - 5x2 - x + 15x + 3 - 17 x - 51
Þ C = -50
Vậy biểu thức C = -50 không phụ thuộc vào x.
b)D = 6x2 + 48x - 5x - 40 - 6x2 - 9x + 2x + 3 - 36x + 27
Þ D = -10
Vậy giá trị biểu thức D = -10 không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
Bài 3 . Tính giá trị biểu thức:
A = x6 - 2021x5 + 2021x4 - 2021x3 + 2021x2 - 2021x + 2021
tại x = 2020
b) B = x10 + 20x9 + 20x8 + ... + 20x2 + 20x + 20 với x = -19
Hướng dẫn
a) Với x = 2020 nên ta thay 2021 = x + 1 vào biểu thức , ta có :
A = x6 - ( x +1).x5 + ( x +1).x4 - ( x +1).x3 + ( x +1).x2 - ( x +1).x + x +1
= x6 - x6 - x5 + x5 + x4 - x4 - x3 + x3 + x2 - x2 - x + x + 1 = 1
b) Với x = -19 nên ta thay 20 = - x + 1 vào biểu thức, ta có :
B = x10 + (-x +1) x9 + (-x +1) x8 + ... + (-x +1) x2 + (-x +1) x + (-x +1)
= x10 - x10 + x9 - x9 + x8 - x8 + ... + x2 - x2 + x - x + 1= 1
Bài 4: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = x3 – 30x2 – 31x + 1 , tại x = 31
b) B = x5 – 15x4 + 16x3 – 29x2 + 13x , tại x = 14
Hướng dẫn
a) Với x = 31 thì 30 = x–1 thay vào A
A = x3 – 30x2 – 31x + 1
= x3 – (x – 1)x2 – x.x + 1 = x3 – x3 + x2 – x2 + 1 = 1

b) Với x = 14 thì:
B = x5 – 15x4 + 16x3 – 29x2 + 13x
= x5 – (x + 1)x4 + (x + 2)x3 – (2x + 1)x2 + x(x – 1)
= x5 – x5 – x4 + x4 + 2x3 – 2x3 – x2 + x2 – x = – x = – 14
 
Bài 6. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :
a) (n2 +3n – 1)(n+2) – n3 – 2 chia hết cho 5.
b) (6n + 1)(n+5) – (3n + 5)(2n – 1) chia hết cho 2.


Đáp án:
a) Rút gọn BT ta được 5n2+5n chia hết cho 5
b) Rút gọn BT ta được 24n + 10 chia hết cho 2.
Bài 7. Đặt 2x = a + b + c . Chứng minh rằng:
( x - a )( x - b) + ( x - b)( x - c) + ( x - c)( x - a) = ab + bc + ca - x2

Hướng dẫn
Xét vế trái:
( x - a )( x - b) + ( x - b)( x - c) + ( x - c)( x - a)
= x2 - ax - bx + ab + x2 - bx - cx + bc + x2 - ax - cx + ca
= ab + bc + ca + 3x2 - 2x (a + b + c)
= ab + bc + ca + 3x2 - 2x.2x
= ab + bc + ca - x2
Vế trái bằng vế phải suy ra điều chứng minh.
BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 8: Cho a + b + c = 2p. CMR 2bc + b2 + c2 – a2 = 4p(p – a)
Bài 9. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab + bc + ca = abc
và a + b + c = 1
Chứng minh rằng : (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0
Bài 8: Cho a + b + c = 2p. CMR 2bc + b2 + c2 – a2 = 4p(p – a)


Hướng dẫn
Xét VP = 4p(p – a) = 2p (2p – 2a)
= (a + b + c) (a + b + c – 2a)
= (a + b + c)(b + c – a )
= (ab + ac – a2 + b2 + bc – ab + bc + c2 – ac )
= b2 + c2 + 2bc – a2 = VT
Vậy đẳng thức được chứng minh
Bài 9. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab + bc + ca = abc
và a + b + c = 1
Chứng minh rằng : (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0

Hướng dẫn
Ta có (a - 1)(b - 1)(c - 1) = (a - 1)(bc - b - c + 1)
= abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1
= abc - ab - bc - ca + a + b + c - 1
= abc - (ab + bc + ca ) + (a + b + c) - 1
= abc - abc + 1 - 1 = 0