Nhị thức Newton
Dạng 10
Công thức tổ hợp và nhị thức Newton
Nội dung
Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp
Dạng 10. Công thức tổ hợp và nhị thức Newton
Tóm tắt lý thuyết
Dạng 10A. Một số bài tập sử dụng công thức
Dạng 10B. Nhị thức Newton
Dạng 10C. Bài toán về tập hợp con
Tóm tắt lý thuyết
Trong bài này ta quy ước sử dụng kí hiệu n, k là các số tự nhiên với n  1; k  n .
Cho một tập hợp A gồm n phần tử.
Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử đó tạo thành một hoán vị. Số hoán vị của n phần tử là Pn = n!
k phần tử sắp thứ tự của A tạo thành một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Số chỉnh hợp là
k phần tử không phân biệt thứ tự của A tạo thành một tổ hợp chập k của n phần tử đó. Số tổ hợp là
Tóm tắt lý thuyết (tt)
Công thức khai triển nhị thức Newton
Các công thức thường dùng:
Dạng 10A
Một số bài tập sử dụng công thức
Bài tập mẫu: Chứng minh rằng


Giải
a/ Áp dụng công thức

Lưu ý:
Các công thức sau đây rất hay gặp trong các bài tập về biến đổi theo công thức tổ hợp:
Bài tập tương tự
Rút gọn biểu thức
Giải
Áp dụng công thức và lưu ý:

Bài tập tổng quát
Rút gọn biểu thức
Giải
Với k < n, áp dụng công thức và lưu ý , ta có



Lưu ý. Nhiều bạn đã mắc sai lầm khi viết

Phải xét hai trường hợp đối với k như trong lời giải trên.

Dạng 10B. Nhị thức Newton
Bài tập mẫu
Có bao nhiêu cách chia n đồ vật khác nhau cho hai người, sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật.
Giải
Giả sử người thứ nhất được k đồ vật, người thứ hai được n-k đồ vật. Vì mỗi người được ít nhất một đồ vật nên 1 k  n - 1. Số cách chọn k trong n đồ vật khác nhau cho người thứ nhất là Cho k lần lượt nhận giá trị 1, 2, .. , n-1, theo quy tắc cộng, ta được số cách chia là

Đáp số: S = 2n - 2
Lưu ý:
Khi chia một tập hợp ra thành hai nhóm, ta chỉ cần tính số cách chia cho nhóm thứ nhất.
Số cách chia một tập hợp gồm n phần tử ra hai nhóm thì số cách chia là
Bài tập tương tự
Tính số tập hợp con của một tập hợp gồm n phần tử.
Giải
Số tập con của A có k phần tử là Cho k lần lượt nhận giá trị 0,1, 2, .. , n, theo quy tắc cộng, ta được số tập con là

Đáp số: S = 2n
Lưu ý. Số tập hợp con của một tập hợp có n phần tử là 2n.

Dạng 10C
Bài toán về tập hợp con
Bài tập mẫu
Cho tập hợp A = {0; 1; 2; …20} . Có bao nhiêu tập hợp con của A mà trong đó có ít nhất một số chia hết cho 3.
Giải
Gọi B là tập con của A gồm tất cả các số chia hết cho 3.
Ta có B = {0; 3; 6; …; 18} . Tập hợp A có 21 phần tử, tập B có 7 phần tử.
Mỗi tập con của A mà trong đó có ít nhất một phần tử của B là thoả mãn bài toán.
Số tập con của A là 221. Số tập con của A mà không có phần tử nào của B là 214.
Mỗi tập con của A mà trong đó có ít nhất một phần tử của B là 221 – 214 = 2080768.
Đáp số: Số tập con phải tính là 221 – 214 = 2080768.
Lưu ý:
Cho tập hợp A có n phần tử, B là tập con của A có m phần tử.
Số tập con của A mà mỗi tập con có ít nhất một phần tử của B là 2n – 2n-m.
Bài tập tương tự
Cho tập hợp A có 4n phần tử. Tính số tập con của A, mà mỗi tập con đó gồm một số lẻ phần tử và có không quá một nửa số phần tử của A.
Giải
Số tập con của A gồm k phần tử là . Theo giả thiết k là một số lẻ, không vượt quá 2n nên k  {1 ; 3 ; 5 ;... ; 2n -1}. Cho k lần lượt nhận tất cả các giá trị của tập hợp trên và theo quy tắc cộng, ta được số tập con phải tìm là:
Áp