Violet
Baigiang

Tìm kiếm theo tiêu đề

Tin tức thư viện

Khắc phục hiện tượng không xuất hiện menu Bộ công cụ Violet trên PowerPoint và Word

12099162 Kính chào các thầy, cô. Khi cài đặt phần mềm , trên PowerPoint và Word sẽ mặc định xuất hiện menu Bộ công cụ Violet để thầy, cô có thể sử dụng các tính năng đặc biệt của phần mềm ngay trên PowerPoint và Word. Tuy nhiên sau khi cài đặt phần mềm , với nhiều máy tính sẽ...
Xem tiếp

Quảng cáo

Hỗ trợ kĩ thuật

Liên hệ quảng cáo

  • (024) 66 745 632
  • 096 181 2005
  • contact@bachkim.vn

Tìm kiếm Bài giảng

Chương I. §3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Wait
  • Begin_button
  • Prev_button
  • Play_button
  • Stop_button
  • Next_button
  • End_button
  • 0 / 0
  • Loading_status
Tham khảo cùng nội dung: Bài giảng, Giáo án, E-learning, Bài mẫu, Sách giáo khoa, ...
Nhấn vào đây để tải về
Báo tài liệu có sai sót
Nhắn tin cho tác giả
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Phạm Quỳnh Liên
Ngày gửi: 16h:50' 09-07-2021
Dung lượng: 392.8 KB
Số lượt tải: 183
Số lượt thích: 1 người (Đinh Thị Vân Thuý)
NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
1. Bình phương của một tổng: ( A + B )2 = A2 + 2 AB + B2
2. Bình phương của một hiệu: ( A - B )2 = A2 - 2 AB + B2
3. Hiệu hai bình phương: A2 - B2 = ( A - B)( A + B)
4. Lập phương của một tổng:
( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A+ B)
5. Lập phương của một hiệu:
( A - B )3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 = A3 - B3 - 3AB(A - B)
6. Tổng hai lập phương:  A3 + B3 = ( A + B)( A2 - AB + B2 )
7. Hiệu hai lập phương: A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2 )



7 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên
1. Tổng hai bình phương: A2 + B2 = ( A + B )2 - 2 AB
= ( A - B )2 + 2 AB
2. Tổng hai lập phương: A3 + B3 = ( A + B)3 - 3AB ( A + B )
3. Bình phương của tổng 3 số hạng:
(A + B + C )2 = A2 + B2 + C 2 + 2( AB + BC + CA)
Chứng minh:
((A + B) + C)2 = (A+B) 2 + 2(A+B)C + C2
= A2 + 2AB + B2 + 2AC + 2BC + C2
  = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC
 
(A – B + C)2 =
(A – B – C) 2 =
(A + B – C) 2 =
A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC
A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC
A2 + B2 + C2 + 2AB – 2AC – 2BC
hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên
1. Tổng hai bình phương: A2 + B2 = ( A + B )2 - 2 AB
= ( A - B )2 + 2 AB
2. Tổng hai lập phương: A3 + B3 = ( A + B)3 - 3AB ( A + B )
3. Bình phương của tổng 3 số hạng:
(A + B + C )2 = A2 + B2 + C 2 + 2( AB + BC + CA)
4. Lập phương của tổng 3 số hạng:
( A + B + C )3 = A3 + B3 + C3 + 3( A + B )( B + C )(C + A)
TAM GIÁC PASCAN
(a + b)n = anb0 + nan- 1 b1 + …+na1bn-1+ a0bn
Với n = 2 thì: (a + b)2 = a2b0 + 2a1b1 + a0b2 = a2 + 2ab + b2
Với n = 3 thì: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
  (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
 Với n = 4 thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
 Với n = 5 thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Với n = 6 thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6
HẲNG ĐẲNG THỨC HIỆU 2 LẬP PHƯƠNG VÀ n HẰNG ĐẲNG THỨC
 
A2 + B2 = (A + B)2 – 2AB = (A - B)2 + 2AB
A2 – B2 = (A + B)(A – B)
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
A4 + B4 = (A + B)(A3 - A2B + AB2 - B3)
A4 – B4 = (A - B)(A3 + A2B + AB2 + B3)
An + Bn = (A + B) (An-1 – An-2 B + An-3 B2 – An-4B3 +…..+(-1)n-1 B n-1)
An – Bn = (A - B) (An-1 + An-2B + An-3B2 + An-4B3 +….+ Bn-1)
BÀI TẬP CƠ BẢN:
Dạng 1: Biến đổi biểu thức
Bài 1: Thực hiện phép tính:
(-3x + 2 y )2 b) (-x - xy )2
c) x2 - 4 y2 d) ( x + y)2 - (2 - y )2


Giải:  Áp dụng hằng đẳng thức ta có:
(-3x + 2 y )2 = (-3x)2 + 2(-3x)(2y ) + (2y )2 = 9x2 - 12xy + 4y2
b) (-x - xy ) 2 = (-x) 2 - 2(-x)( xy) + ( xy ) 2 = x2 + 2x2y + x2y2
c) x2 - 4 y2 = x2 - (2 y ) 2 = ( x - 2 y )( x + 2y )
d) ( x + y ) 2 - (2 - y ) 2 = (( x + y) - (2 - y ))(( x + y ) + (2 -y ))
= ( x + 2 y - 2)( x + 2)
Bài 2: Thực hiện phép tính:
a) ( x + y )( x2 - xy + y2 ) - (-x + y )(x2 + xy + y2 )
b) 2x3 - 6x2 + 6x - 2
c) x3 + 6x2 + 12x + 8
d) ( x + y)3 - ( x - 2 y )3
Giải: Áp dụng bất đẳng thức ta được:
a) ( x + y )( x2 - xy + y2 ) - (-x + y )(x2 + xy + y2 )
= x3 + y3 + ( x - y )(x2 + xy + y2 ) = x3 + y3 + x3 - y3 = 2x3

b) Ta có: 2x3 - 6x2 + 6x - 2 = 2( x3 - 3x2 + 3x - 1) .= 2( x - 1)3 .
 
c) Ta có: x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3.2x2 + 3.22.x + 23
= ( x + 2)3

d) ( x + y )3 - ( x - 2 y )3
= (x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 ) - (x3 - 3.x2 .2 y + 3.x.(2 y )2 - (2 y )3 )
= x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 - x3 + 6x2 y -12xy2 + 8 y3
= 9x2 y - 9xy2 + 9 y3
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a) (a - b + c + d )(a - b - c - d )
b) ( x + 2 y + 3z )( x - 2 y + 3z )
c) ( x - 1)(x2 + x + 1)( x + 1)( x2 + x + 1)
d) ( x + y )3 - ( x - y )3
e) (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1)
Giải
a) (a - b + c + d )(a - b - c - d )
= [(a - b) + (c + d )].[(a - b) - (c + d )]=[ (a - b)2 - (c + d )2
= a2 - 2ab + b2 - c2 - 2cd - d 2 = a2 + b2 - c2 - d 2 - 2ab - 2cd
b) ( x + 2 y + 3z )( x - 2 y + 3z ) = [( x + 3z ) + 2 y].[( x + 3z ) - 2 y]
= ( x + 2z )2 - (2 y )2 = x2 + 6xz + 9z2 - 4 y2
c) ( x - 1)(x2 + x + 1)( x + 1)( x2 + x + 1) = (x3 - 1)( x3 + 1) = x6 - 1
d) ( x + y )3 - ( x - y )3
= (x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 ) - (x3 - 3x2 y + 3xy2 - y3 )
= x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 - x3 + 3x2 y - 3xy2 + y3
= 6x2 y + 2 y3 = 2 y (3x2 + y2 )
e) (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1)
= (x2 + 3x + 1 - 3x + 1)2 = ( x2 + 2)2
Bài 4: Điền đơn thức thích hợp vào các dấu *
 
a) 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3
 
= (2x)3 + 3.(2x)2.3y + 3.2x.(3y)2 + (3y)3 = (2x + 3y)3
 
= 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3
 
b) 8x3 + 12x2y + * + * = (* + *)3
 
= (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3
 
= 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3
c) x3 – * + * – * = (* – 2y)3
= x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 = (x – 2y)3
a) A = (x + y)2 – (x – y)2
Bài 5: Rút gọn biểu thức:
b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2
c) C = (x + y)3 - (x – y)3 – 2y3
d) (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2
e) (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1)
f) (a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2
g) (a + b + c)2 + (a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2


 
Bài 6: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hay một hiệu:
 
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức
Bài 1: Cho x + y = 1. Tính giá trị biểu thức sau: A = x3 + 3xy + y3
Giải
 
Áp dụng hằng đẳng thức bậc 3, ta được:
A = x3 + y3 + 3xy = ( x + y )(x2 - xy + y2 ) + 3xy
= ( x + y )(( x + y)2 - 3xy ) + 3xy
 
Theo bài ra x + y = 1, thay vào A ta được:
A = ( x + y )(( x + y )2 - 3xy ) + 3xy = 1.(12 - 3xy ) + 3xy
= 1 - 3xy + 3xy = 1
 Vậy A = 1 .
Bài 2: Cho x - y = 4 và xy = 5 . Tính B = x3 - y3 + ( x - y)2
Giải.
 Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:
B = x3 - y3 + ( x - y )2 = ( x - y )(x2 + xy + y2 ) + ( x - y )2
= ( x - y )(( x - y )2 + 3xy ) + ( x - y )2


Theo bài ra x - y = 4 , xy = 5 thay vào B ta được:

B = ( x - y )(( x - y )2 + 3xy) + ( x - y )2 = 4(42 + 3.5) + 16 = 140
Bài 3: Cho a - b = 7 . Tính giá trị biểu thức :
A = a2 (a + 1) - b2 (b - 1) - 3ab (a - b + 1) + ab
 

Giải
 
Ta có : A = a3 + a2 - b3 + b2 - 3ab (a - b) - 3ab + ab
= a3 - 3ab (a - b) - b3 + a2 + b2 - 2ab
= (a - b)3 + (a - b)2 = 73 + 72 = 392
Bài 4: Biết xy = 11 và x2 y + xy2 + x + y = 2016 .
Hãy tính giá trị : x2 + y2

 
Giải
Ta có:x2 y + xy2 + x + y = 2016
xy ( x + y ) + x = y = 2016
11( x + y ) + ( x + y ) = 2016
12 ( x + y ) = 2016 Þ x + y = 168
 
Mà x2 + y2 = ( x + y )2 - 2xy = 1682 - 2.11 = 28202
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
 
Phương pháp:
* Giá trị lớn nhất của biểu thức A( x) . Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng:
-Q2 ( x) + m  m (với m là hằng số)  GTLN của A( x) = m.

* Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A( x) . Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng
Q2 ( x) + n  n (với n là hằng số)  GTNN của A( x) = n .
Bài 1: Chứng minh rằng x2 - 4x + 10 luôn dương với mọi x

 
Giải
 
Ta có:

x2 - 4x + 10 = x2 - 2.2.x + 4 + 6 = ( x - 2)2 + 6

 
Ta thấy ( x - 2)2 ³ 0 Þ ( x - 2)2 + 6 luôn dương với mọi x .
Bài 2: CMR với mọi giá trị của biến x ta luôn có:
 
a) – x2 + 4x – 5 < 0
 Ta có: – x2 + 4x – 5 = - (x2 – 4x + 5) = - (x2 – 4x + 4 + 1)
= - [(x – 2)2 + 1]
 Mà (x – 2)2 ≥ 0 nên (x – 2)2 + 1 > 0
 Do đó – [(x – 2)2 + 1] < 0 với mọi giá trị của biến x
b) x4 + 3x2 + 3 > 0
Ta có: x4 ≥ 0 ; 3x2 ≥ 0 nên x4 + 3x2 + 3 > 0 , với mọi x
c) (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + 3 > 0
Ta có: (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + 3
= (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 3 + 1) + 3
  = (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 3) + 1 + 2
= (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 1) + 5
= (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + 5
 Ta có: (x2 + 2x + 3)2 ≥ 0; (x + 1)2 ≥ 0
 nên (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + 5 > 0 , với mọi x
 
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a) A = -x2 - 2x + 5 b) B = 9x - 3x2 + 4
 
Bài 5:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
a) A = 15 - 8x - x2
b)B = 4x - x2 + 2
c)C = - x2 - y2 + 4x - 4 y + 2
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a) A = 5x2 + 5 y2 + 8xy + 2 y - 2x + 2020
b)M = 5x2 + y2 + z2 - 4x - 2xy - z - 1
a) Ta có :
 
A = 4x2 + 8xy + 4 y2 + x2 - 2x + 1 + y2 + 2 y + 1 + 2018
= 4( x + y )2 + ( x - 1)2 + ( y + 1)2 + 2018  2018
 Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 2018 tại x = 1; y = -1
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) A = (x2 - x + 1)2 b) B = x4 - 2x3 + 2x2 - 2x +1
 
Bài 8 : Chứng minh rằng với mọi x ta có :

a)x ( x - 6) + 10 > 0

b) ( x - 3)( x - 5) + 3 > 0

c)x2 + x + 1 > 0
Bài 1: Cho các số thực x; y thỏa mãn điều kiện x + y = 3; x2 + y2 = 17 . Tính giá trị biểu thức x3 + y3 .
Bài 2: Tìm các giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) A = x 2 – 2x + 5 b) B = x 2 – x + 1
c) C= (x – 1) (x + 2)(x +3)(x+ 6)
d) D = x 2 + 5y2 – 2xy + 4y + 3
Bài 3:Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A = –x 2 – 4x – 2
b) B = –2x 2 – 3x + 5
c) C = (2 – x )(x + 4)
d) D = –8x 2 + 4xy – y2 + 3
Bài 4: Chứng minh rằng các giá trị của các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến.
A = 25x 2 – 20x + 7 b) B = 9x 2 – 6xy + 2y2 + 1
c) E = x 2 – 2x + y2 - 4y + 6
BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 9:
a) Cho a + b = 2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2
b) Cho x + 2 y = 8 .Tìm giá trị lớn nhất của B = xy
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3(x2 + y2 ) biết x2 + y2 = xy + 12
 
Gửi ý kiến