CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

VIDEO 1

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

KHỞI ĐỘNG

VIDEO 2

CHƯƠNG V. PHƯƠNG PHÁP
TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V

VIDEO 3

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

ÔN TẬP LẠI KIẾN THỨC ĐÃ HỌC

Các nhóm hãy sử dụng Chatbot AI (ChatGPT/Gemini) với câu
lệnh: 'Lập dàn ý chi tiết để vẽ sơ đồ tư duy ôn tập Chương
Phương pháp tọa độ trong không gian (Toán 12), bao gồm các
nhánh: Phương trình mặt phẳng, Phương trình đường thẳng,
Phương trình mặt cầu. Sau khi có dàn ý từ AI, các nhóm hãy
dùng Canva hoặc MindMeister để thiết kế thành một Sơ đồ tư
duy số sinh động.

VIDEO 4

VIDEO 5

TỔNG KẾT VÀ TRAO THƯỞNG

LUYỆN TẬP

Bài 5.40 (SGK-tr62).
Trong không gian , cho ba điểm , ,
a) Viết phương trình mặt phẳng
b) Viết phương trình đường thẳng .
c) Viết phương trình mặt cầu đường kính .
d) Viết phương trình mặt cầu có tâm và đi qua .
GIẢI:
a) Ta có nên là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Phương trình mặt phẳng là :

Bài 5.40 (SGK-tr62).
GIẢI:
b) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng nên phương trình chính tắc
của đường thẳng là
c) Trung điểm của là , bán kính của mặt cầu đường kính là
Phương trình mặt cầu là .
d) Mặt cầu tâm và đi qua có bán kính là .
Phương trình mặt cầu cần tìm là .

Bài 5.41 (SGK-tr62).
Trong không gian , cho đường thẳng :
.
Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và gốc toạ độ .

GIẢI:
Vì đường thẳng có một vectơ chỉ phương và đi qua , ta có nên là
một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa và gốc tọa độ .
Phương trình mặt phẳng đó là :

Bài 5.42 (SGK-tr62).
Trong không gian , cho mặt phẳng và hai điểm
a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng
c) Viết phương trình mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng

GIẢI:
a) Ta có :

Bài 5.42 (SGK-tr62).
GIẢI:
b) Mặt phẳng song song với có một vectơ pháp tuyến là , mặt phẳng đi
qua .
Phương trình mặt phẳng là :
c) Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là , do đó mặt phẳng có một
vectơ pháp tuyến là .
Phương trình là
.

Bài 5.43 (SGK-tr62).
Trong không gian , cho điểm và hai đường thẳng
a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng và .
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua và song song với đường thẳng .
c) Viết phương trình mặt phẳng chứa và .
d) Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

Bài 5.43 (SGK-tr62).
GIẢI:
a) Đường thẳng đi qua và có một vectơ chỉ phương là , đường
thẳng đi qua và có một vectơ chỉ phương là .
Có .
Ta có suy ra và chéo nhau.
b) Đường thẳng song song với và đi qua , đường thẳng có một
vectơ chỉ phương là .

Bài 5.43 (SGK-tr62).
GIẢI:
c) Mặt phẳng chứa và đường thẳng nên chứa điểm , ta có , , mặt phẳng
có một vectơ pháp tuyến là . Phương trình mặt phẳng là
.
d) Phương trình mặt phẳng là , phương trình đường thẳng

Với Bài 5.43 (Xét vị trí tương đối của hai đường
thẳng) và 5.44 (Viết PT mặt phẳng), sau khi tính
toán ra nháp, các em hãy mở GeoGebra 3D
Calculator trên điện thoại, nhập phương trình vừa
tìm được để trực quan hóa bằng hình ảnh 3D xem
hai đường thẳng có thực sự chéo nhau không. Sau
đó, chụp ảnh màn hình GeoGebra kèm lời giải tải
lên không gian lớp học Padlet.

Bài 5.44 (SGK-tr62).
Trong không gian , cho mặt phẳng
Viết phương trình mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng

GIẢI:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là , đường thẳng có một vectơ chỉ
phương là , do đó là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa và
vuông góc với .
Phương trình mặt phẳng là :

Bài 5.45 (SGK-tr63).

Trong không gian , cho hai đường thẳng:
Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và song
song với đường thẳng

Bài 5.45 (SGK-tr63).
GIẢI:
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là , đi qua .
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là , đi qua .

Vì mặt phẳng chứa và song song với nên mặt phẳng có một
vectơ pháp tuyến là .
Phương trình mặt phẳng là :

Bài 5.46 (SGK-tr63).
Trong không gian , cho hai mặt phẳng và điểm . Viết phương trình mặt
phẳng đi qua điểm đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng và
GIẢI:
Một vectơ pháp tuyến của là , một vectơ pháp tuyến của là .
Vì mặt phẳng vuông góc với cả và nên có một vectơ pháp tuyến
là .
Phương trình mặt phẳng () là :

Bài 5.47 (SGK-tr63).

Trong không gian , cho hai đường thẳng

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng và .
b) Tính góc giữa và .

Bài 5.47 (SGK-tr63).
GIẢI:
a) Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là , đi qua điểm .
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là , đi qua điểm .
Ta có :
Do đó hai đường thẳng chéo nhau.

Bài 5.48 (SGK-tr63).
Trong không gian , tính góc tạo bởi đường thẳng

GIẢI:
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là , mặt phẳng có một
vectơ pháp tuyến là .
Ta có :

Bài 5.49 (SGK-tr63).
Trong không gian , tính góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng
GIẢI:
Ta có : là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và là một
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Do đó

VẬN DỤNG

Bài 5.50 (SGK-tr63).
Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau 2 m,
người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi
(thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài 4 m; 4,4 m;
4,8 m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm
ngang một góc bao nhiêu độ?
GIẢI:
Gọi 3 vị trí trên mặt hồ là thì tam giác là tam giác đều cạnh
bằng 2 m.
Gọi dây dọi lần lượt là có độ dài lần lượt là 4 m; 4,4 m; 4,8 m.
Chọn hệ trục toạ độ sao cho là trung điểm của , tia chứa điểm
tia chứa điểm , tia đi qua trung điểm của và đơn vị trên các trục
là mét.

Bài 5.50 (SGK-tr63).
GIẢI:
Ta có:
.
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là :
.
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là .
Do đó

Bài 5.51 (SGK-tr63).
Bản vẽ thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục toạ độ . Sàn
nhà của công trình thuộc mặt phẳng đường ống thoát nước thẳng và đi qua
hai điểm và . Tính góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn.
GIẢI:
Ta có , mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là .
Vậy góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn khoảng .

Bài 5.52 (SGK-tr63).
Nếu đứng trước biển và nhìn ra xa, người ta sẽ
thấy một đường giao giữa mặt biển và bầu trời,
đó là đường chân trời đối với người quan sát
(H.5.45a).
Về mặt Vật lí, đường chân trời là đường giới hạn
phần Trái Đất mà người quan sát có thể nhìn thấy
được (phần còn lại bị chính Trái Đất che khuất).
Ta có thể hình dung rằng, nếu người quan sát ở
tại đỉnh của một chiếc nón và Trái Đất được “thả”
vào trong chiếc nón đó, thì đường chân trời trong
trường hợp này là đường chạm giữa Trái Đất và
chiếc
nón (H.5.45b).

Bài 5.52 (SGK-tr63).
Trong mô hình toán học, đường chân trời đối với
người quan sát tại vị trí B là tập hợp những điểm
A nằm trên bề mặt Trái Đất sao cho với là tâm
Trái Đất (H.5.45c). Trong không gian , giả sử bề
mặt Trái Đất có phương trình và người quan sát
ở vị trí
Gọi là một vị trí bất kì trên đường chân trời đối
với người quan sát ở vị trí . Tính khoảng cách

Bài 5.52 (SGK-tr63).
GIẢI:
Mặt cầu có tâm và .
Ta có nên .
Có
Xét có .

Kính chúc quý thầy cô nhiều sức khỏe
Chúc các em chăm ngoan, học giỏi