Tiết học ôn tập
Dạng bài 5 đềthi vào 10

Bµi 1: (§Ò thi vµo líp 10 n¨m häc 1995-1996.)
Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB, C lµ ®iÓm
ch¹y trªn nöa ®­êng trßn (kh«ng trïng víi A vµ
B). CH lµ ®­êng cao cña tam gi¸c ABC. I vµ K
lÇn l­ît lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ H xuèng
AC vµ BC. M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AH vµ
BH.
a) Tø gi¸c CIHK lµ h×nh g×? So s¸nh CH vµ IK.
b) Chøng minh tø gi¸c AIKB lµ tø gi¸c néi tiÕp?
c)
X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña C ®Ó:
+ Chu vi tø gi¸c MIKN lín nhÊt?
+ DiÖn tÝch tø gi¸c MIKN lín nhÊt?

C
K
I
A

M

H

O

N

B

C

H­íng dÉn

K

a) -Tø gi¸c CIHK lµ h×nh ch÷ nhËt (cã 3 gãc vu«ng).
- CH = IK (t/c h×nh ch÷ nhËt).

 CHK

(do CIHK lµ h×nh ch÷ nhËt)
b) CIK

 
CHK
ABC




BHK
 
 
CIK
ABK mµ CIK
AIK 1800




ABK  
AIK 1800

I
A

M

H

O

N

(do cïng phô



(hai gãc bï nhau)
Tø gi¸c AIKB néi tiÕp.

B

c) DÔ thÊy IM=AM; KN=NB (t/c tam gi¸c vu«ng)
+ Chu vi tø gi¸c MIKN b»ng: IM+MN+NK+KI
= AM+MN+NB+CH
= AB+CH mµ AB cã ®é dµi kh«ng ®æi.

 Chu vi tø gi¸c MIKN lín nhÊt
 CH lín nhÊt
 C lµ ®iÓm chÝnh gi­a cña cung AB
+
S(MNKI)= S(IMH)+S(NHK)+S(IHK)

1
1
1
  S ( IAH )  S ( BHK )  S (CIHK )  S ( ABC )  AB.CH
2
2
4
AB cã ®é dµi kh«ng ®æi.
C






K

DiÖn tÝch tø gi¸c MIKN lín nhÊt
CH lín nhÊt
C lµ ®iÓm chÝnh gi­a cña cung AB.

I
A

M

H

O

N

B

Khai th¸c bµi to¸n: H·y chøng minh:
d) Tø gi¸c IMNK lµ h×nh thang.
e) IK lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®­êng trßn ®­êng
kÝnh AH vµ BH.
f) Cho biÕt AH = 2cm. HB = 8cm.
+ TÝnh MN?
+ TÝnh diÖn tÝch phÇn mÆt ph¼ng giíi h¹n bëi ba
nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB, AH vµ BH
H­íng dÉn:

C
K
I
A

M

H

O

N

d) Chøng minh IM//NK. AH
) vµ IK vu«ng gãc víi IM
e) – Chøng minh I ( M ,
2
IK lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh AH (1).
BH
– Chøng minh K  ( N , )
vµ IK vu«ng gãc víi KN
IK lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng2 trßn ®­êng kÝnh BH (2).
Tõ (1), (2) suy ra : IK lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®­êng trßn ®­êng kÝnh AH vµ
BH.
f) - TÝnh MN.
- Gäi S lµ diÖn tÝch phÇn mÆt ph¼ng giíi h¹n bëi ba nñ¨ ®­êng trßn th× S
b»ng diÖn tÝch cña nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB trõ ®i tæng diÖn tÝch cña hai
nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AH vµ BH.

B

Bµi tËp tu¬ng tù.
Bµi 1.1
Cho nöa ®­êng trßn t©m O, ®­êng kÝnh BC vµ mét ®iÓm A trªn nöa ®­êng trßn
(A kh¸c B,C). H¹ AH vu«ng gãc víi BC (HBC). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC
chøa ®iÓm A, vÏ nöa ®­êng trßn (I) ®­êng kÝnh BH vµ nöa ®­êng trßn (K) ®­êng
kÝnh CH, chóng lÇn l­ît c¾t AB vµ AC t¹i D vµ E.
1/ Chøng minh tø gi¸c ADHE lµ h×nh ch÷ nhËt.
2/ Chøng minh AD.AB=AE.AC.
3/ Chøng minh BCED lµ mét tø gi¸c néi tiÕp.
4/ Gäi M, N lÇn l­ît lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng víi H qua AB, AC. Chøng
minh MN lµ tiÕp tuyÕn cña nöa ®­êng trßn (O).
5/ Cho biÕt BC = 50cm, DE = 20cm. TÝnh diÖn tÝch h×nh ®­îc giíi h¹n
bëi ba nöa ®­êng trßn (O), (I), (K).

Bµi 2: (§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 n¨m häc
2001-2002, ngµy thø nhÊt).
Cho tam gi¸c nhän ABC, trùc t©m H. VÏ h×nh
b×nh hµnh BHCD, M lµ trung ®iÓm cña BC.
a/ Chøng minh tø gi¸c ABDC néi tiÕp trong ®­êng
trßn ®­êng kÝnh AD.
b/ Chøng minh .gãc CAD »ng gãc BAH
c/ Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC, O lµ t©m
®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ABDC. Chøng
minh ba ®iÓm H, G, O th¼ng hµng vµ OH=3OG.

A

E

B

H­íng dÉn
a/ DC//BH (v× BHCD lµ h×nh b×nh hµnh)
0
DC  AC hay 
ACD

90

ABD 900
T­¬ng tù
Tø gi¸c ABCD cã nªn néi tiÕp ®­êng trßn ®­êng kÝnh AD.
Cã t©m O lµ trung ®iÓm cña AD.



F

N

H

O

K

P

C
M
D




b/ Chøng minh CAD
vµ BAH
cïng b»ng CBD
a)Nèi OH c¾t AM t¹i K suy ra K lµ träng t©m cña tam gi¸c AHD.



2
AK  AM
3

(1)

Theo gia 2thiÕt: G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC
 AG  AM (2)
3







K G

vËy H, G, O th¼ng hµng.

G lµ träng t©m cña tam gi¸c AHD

E

B

A

F

N

H

O

K

P

C
M
D

HO = 3GO
Khai th¸c bµi to¸n.
Gäi E lµ giao ®iÓm cña CH vµ AB; N lµ giao ®iÓm cña BH vµ AC; F lµ t©m ®­êng
trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c AEHN. Chøng minh r»ng FE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­
êng kÝnh BC.
H­íng dÉn:
DÔ thÊy F lµ trung ®iÓm cña AH. Ta cÇn chøng minh E thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh
BC vµ FE vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC t¹i tiÕp ®iÓm E.
Tø gi¸c BENC néi tiÕp ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC, t©m lµ M
E thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC (1).

-Ta cã 

AEE EAF

 ECM

CEM

(do tam gi¸c AEF c©n t¹i
F)
(do tam gi¸c CME c©n t¹i M)
 ECM

Mµ EAF
(cïng phô víi gãc ABC)


AEF CEM
 

Do


 900
AEF  CEF

  CEF
 900  MEF
 900
 ECM

E

B

Suy ra
®pcm
A
F

N

H

O

K

P

C
M
D

Bµi tËp t­¬ng tù:
Bµi 2.1:(§Ò thi GVG n¨m 2009-2010).
Cho BC lµ mét d©y cña ®­êng trßn (O;R), BC<2R, A lµ mét ®iÓm di chuyÓn
trªn cung lín BC sao cho ®iÓm O lu«n n»m trong tam gi¸c ABC c¸c ®­êng
cao AD, BE, CF ®ång quy t¹i H.
a/ Chøng minh r»ng tam gi¸c AEF vµ tam gi¸c ABC ®ång d¹ng.
b/ Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh r»ng AH=2OM.
c/ Gäi N lµ trung ®iÓm cña EF. Chøng minh r»ng: R.AN = AM.OM.
H­íng dÉn:
A

E
N

O

F
H
B

D

M

C
K

 BEC
 900
BFC
a)Tø gi¸c BFEC néi tiÕp (v×
  BCE
 1800
 BFE

A

cïng nh×n BC)

E

AFE  BFE
 1800

Mµ
(hai gãc kÒ bï)



suy ra AFE BCE (hayBCA) (1)
Suy ra AFE ACB

N

O

F
H
B

D

M

C
K

b) kÐo dµi AO c¾t (O) t¹i ®iÓm thø hai
lµ K. Ta chøng minh ®­îc tø gi¸c
BHCK lµ h×nh b×nh hµnh suy ra M lµ
trung ®iÓm cña HK.
XÐt tam gi¸c AHK cã OM lµ ®­êng trung
1
b×nh suy ra OM  AH hay AH = 2OM

2

c) Ta cã

AFE ACB

theo c©u a. Mµ AN lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c AFE, AH lµ ®­êng kÝnh ®­êng
trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AFE.
-Mµ AM lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ACB, AK lµ ®­êng kÝnh ®­êng trßn
-ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC



AH AN

AK AM

A

mµ AH = 2OM; AK = 2R.





2OM
AN

2R
AM
R.AN = AM.OM

E
N

O

F
H
B

D

M

C
K

Bµi tËp t­¬ng tù:
Bµi 2.2:(§Ò thi tèt nghiÖp THCS n¨m 2004).
Cho tam gi¸c nhän ABC, c¸c ®­êng cao BD, CE c¾t nhau t¹i H (DAC, EAB).
Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC, K lµ ®iÓm ®èi xøng víi H qua I vµ F lµ trung ®iÓm
cña AH . Chøng minh r»ng.
a/Tø gi¸c BHCK lµ h×nh b×nh hµnh?
b/Tø gi¸c ABKC lµ tø gi¸c néi tiÕp?
c/ EF lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC.
Bµi 2.3: (§Ò thi µo líp 10 n¨m häc 2001-2002).
Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®­êng trßn (O). C¸c ®­êng cao BD,
CE cña tam gi¸c c¾t nhau t¹i H µ c¾t ®­êng trßn (O) t¹i theo thø tù t¹i N µ M.
a/ Chøng minh tø gi¸c EBCD néi tiÕp.
b/ Chøng minh MN//ED.
c/ Chøng minh: OA vu«ng gãc víi ED.
d/ A di ®éng trªn cung lín BC cña ®­êng trßn (O), chøng minh r»ng ®­êng trßn
ngo¹i tiÕp tø gi¸c AEHD cã ®­êng kÝnh kh«ng ®æi.

Bµi 3: (§Ò thi vµo líp 10 NK Ng« Sü Liªn n¨m häc 2004-2005).
Cho tam gi¸c ABC (AC>AB, gãc BAC > 90). VÏ ®­êng trßn (O1) ®­êng kÝnh
AB vµ ®­êng trßn (O2) ®­êng kÝnh AC. (O1) c¾t (O2) t¹i ®iÓm thø hai lµ D. ®­
êng th¼ng AB c¾t (O2) t¹i ®iÓm thø hai lµ E, ®­êng th¼ng AC c¾t (O1) t¹i ®iÓm
thø hai lµ F, DF kÐo dµi c¾t ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AEF t¹i G. Chøng
minh r»ng:
a/ Tø gi¸c BCEF néi tiÕp ®­îc trong mét ®­êng trßn.
b/ C¸c ®­êng th¼ng AD, BF vµ CE ®ång quy.
c/ DE = DG.
I

E

G
F

A

O1
B

O2
D

a/ Chøng minh

 900
BEC

I

 900
BFC

 Tø gi¸c BCEF néi tiÕp ®­êng trßn

®­êng kÝnh BC
b/ Gäi I lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE
ChØ ra BE, CF lµ hai ®­êng cao cña tam
gi¸c BIC
- ChØ ra D thuéc BC vµ AD  BC
 AD ®i qua I.
 c¸c ®­êng th¼ng AD, BF, CE ®ång
quy

E

G
F

A

O1
B

O2
D

C

c/ Ta cÇn chøng minh



DGE
DEG

hai gãc nµy cïng b»ng gãc EAC:
ThËt vËy:



(cïng bï víi gãc EAF) (1)
DGE
EAC

AED  
ACD (cïng ch¾n cung AD cña (O2)) (2)

AEG  
AFD (cïng bï víi gãc AFG)


AFD 
ABD

I

(cïng ch¾n cung AD cña (O1))
Suy ra

E

G


AEG 
ABD (3)

F

A

Tõ (2) (3)
O1

 
AED  
AEG  
ACD  
ABD

B

O2
D



(4)
 DEG
EAC

lµ gãc ngoµi cña tam gi¸c ABC).
EAC
Tõ (1) vµ (4)



 DGE
DEG
 DEG

c©n t¹i D



DE = DG.

C

Khai th¸c bµi to¸n:
e/ Theo phÇn b, gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CF. Hái I cã thuéc ®­êng trßn
ngo¹i tiÕp tam gi¸c AEF kh«ng? NÕu cã h·y chøng minh?I
f/ Chøng minh BC // EG. H­íng dÉn dùa vµo phÇn c.
g/ Chøng minh AI vu«ng gãc víi EG
(Bµi tËp t­¬ng tù)
G
Bµi 3.1: §Ò thi HSG cÊp tØnh n¨m häc 2001-2002

Cho tam gi¸c ABC (AC>AB, BAC
>90). I, K theo thø
tù lµ trung ®iÓm cña AB, AC. C¸c ®­êng trßn ®­êng
kÝnh AB, AC c¾t nhau t¹i ®iÓm thø hai D; tia BA
c¾t ®­êng trßn (K) t¹i ®iÓm thø hai E; tia CA c¾t ®­
êng trßn (I) t¹ ®iÓm thø hai F. Chøng minh r»ng: B
a/ Tø gi¸c BFEC néi tiÕp ®­îc trong mét ®­êng trßn.
b/ Ba ®­êng AD, BF, CE ®ång quy.
c/ Gäi H lµ giao ®iÓm thø hai cña tia DF víi ®­êng trßn
ngo¹i tiÕp tam gi¸c AEF. H·y so s¸nh ®é dµi c¸c
®o¹n th¼ng DH vµ DE.
d/ Gäi R lµ giao cña AB vµ DF. Chøng minh r»ng:

E

F

FD 

A

O1

O2
D

FR( EF  ED)
EF

Bµi 5: (§Ò thi vµo líp 10 n¨m häc 2004-2005).
Bµi 4: Cho ®­êng trßn t©m (O) b¸n kÝnh R, hai ®iÓm C, D thuéc ®­êng
trßn, B lµ trung ®iÓm cña cung nhá DC. KÎ ®­êng kÝnh BA; trªn tia ®èi
cña tia AB lÊy ®iÓm S nèi S víi C c¾t (O) t¹i M; MD c¾t AB t¹i K; MB
c¾t AC t¹i H.


BAC
a/ Chøng minh: BMD
tõ ®ã suy ra tø gi¸c AMHK néi tiÕp
b/ Chøng minh: HK//CD.
c/ Chøng minh: OK.OS=R.R
S



H­íng dÉn:


a) BMD
(ch¾n hai cung b»ng
BAC
nhau) suy ra tø gi¸c AMHK néi tiÕp.


b) DÔ thÊy AB  CD nªn ®Ó chøng minh HK//CD ta
cÇn chøng minh HK
AB.

ThËt vËy: (gãc BMA
900 néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng
trßn) Mµ theo c©u a tø gi¸c AMHK néi tiÕp

 900
 HKA

suy ra HK

AB suy ra §PCM

A

M

K

H

O



C

D
B

OKD OSD


. Hai tam gi¸c nµy ®· cã KOD DOS

c) CÇn chøng minh

ta cÇn chøng minh

 OSC

OSD



ODK
OSD

S
do tam gi¸c SCD c©n (*)
-Dùa vµo gãc ë t©m vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung



 CMD
BOD



 DOK
KMS

tõ ®ã suy ra



ODK
OSC

A

M

(**)

K

H

O



Tõ (*) (**) suy ra ODK
OSD

 OKD ODS
suy ra ®pcm

C

D
B

Khai th¸c bµi to¸n:
Víi c¸c b­íc chøng minh ë phÇn c, ta thÊy tø gi¸c ODSM còng néi tiÕp

Bµi 6: (§Ò thi vµo líp 10 n¨m 2001-2002).
Cho tam gi¸c ABC cã c¸c gãc nhän néi tiÕp ®­êng trßn (O). Trªn cung nhá AC lÊy
mét ®iÓm M (M kh«ng trïng víi A vµ C). Tõ M h¹ MD vu«ng gãc víi BC; ME
vu«ng gãc víi AC (D thuéc BC, E thuéc AC)
a/. Chøng minh tø gi¸c DCME néi tiÕp ®­îc trong mét ®­êng trßn.
b/. Chøng minh tam gi¸c AMB ®ång d¹ng íi tam gi¸c EMD.
c/. Gäi I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, ED. Chøng minh IJMJ.
H­íng dÉn:
a/. Chøng minh tø gi¸c DCME néi tiÕp ®­îc
trong mét ®­êng trßn ®­êng kÝnh MC
 MDC
 900
v× MEC
b/. Chøng minh tam gi¸c AMB ®ång d¹ng víi tam gi¸c EMD. I

 (Theo c©u a tø gi¸c MEDC néi tiÕp)
Ta cã EDM
ECM

MÆt kh¸c ECM

ABM (hai gãc néi tiÕp ch¾n cung AM
B

(1)
 
ABM EDM

 (2) (v× cïng b»ng gãc ACB)
T­¬ng tù:
AMB EMD
Tõ (1), (2) suy ra .

AMB EMD

A

M

E
J
D

C

c/. AMB

EMD

AM AB AI



EM ED EJ

  JEM

vµ IAM

 AMI EMJ

AMI EMJ

AM
MI


EM
MJ


  

AMI EMJ
AMI IMJ
Tõ (3), (4)

(3). Vµ

M

I
E

(4).

 AME IMJ

 900
 
AEM IJM

A

suy ra ®pcm

J
B

D

C

Bµi 7: (§Ò thi GVG n¨m 2007-2008)
Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i O.
a) Chøng minh r»ngS(AOD) = S(BOC).
b) Cho biÕt S(AOB )= a2; S(COD) = b2, TÝnh S(ABCD )
a) V× AB//CD nªn SADC = SBDC (v× cã
cïng ®¸y DC vµ hai chiÒu cao øng víi
DC b»ng nhau).

O

 S ADC  SODC S BDC  SODC
Hay

B

A

D

S AOD S BOC

C

b) Ta ®Æt S AOD S BOC  x Hai tam gi¸c AOB vµ COD cã cïng chiÒu cao h¹ tõ
®Ønh B nªn
T­¬ng tù:

S AOB
OA

SCOB
OC

S AOD
OA

SCOD
OC

(1)
(2)

a2 x
Tõ (1), (2) suy ra
 2  x 2 a 2b2  x ab VËy S ABCD a 2  2ab  b 2 (a  b)2
x b