Lớp: 11A6
Sĩ số: 44
Vắng: 0
Ôn tập học kì I
NỘI DUNG




Đại số
Phương trình lượng giác
Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp
Nhị thức Newton
Xác suất – Biến cố
Cấp số cộng
Hình học
Tìm giao tuyến, giao điểm
Đường thẳng song song với mặt phẳng
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Các dạng phương trình cần chú ý:
PT có dạng:
asin2x + bsinx + c = 0 (1)
acos2x + bcosx + c = 0 (2)
atan2x + btanx + c = 0 (3)
acot2x + bcotx + c = 0 (4)
(trong đó: a, b  0)
Phương pháp:
Đối với pt (1) và (2) đặt t=sinx hoặc t=cosx, t[-1,1]
Đối vớ pt (3) đặt t=tanx, cosx  0
Đối với pt (3) đặt t=cotx, sinx  0
Vấn đề 1
PT có dạng:
Cách 1:
TH1: cosx =0 có là nghiệm của pt (*) hay không
Dạng đặc biệt:
Ta được pt:
Cách 2: đưa pt (*) về dạng pt bậc nhất theo sin2x và cos2x
TH2: cosx  0 chia 2 vế của pt (*) cho cos2x
Sửa: sinx.cosx = ½ sin2x

Ví dụ 1:
Giải :
(1)
(1)
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm
Ví dụ 2:
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm:
HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Vấn đề 1: Thực hiện bài toán đếm
* Phương pháp để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Pn = n!
= ( 1 k n)

=
Ví dụ: Lớp 11A6 có 44 học sinh
Có bao nhiêu cách sắp xếp 44 học sinh lớp 11A6 vào một phòng có 44 chỗ?
Chọn 3 học sinh lớp 11A6 để làm ban cán sự lớp ( 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 bí thư).Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh lớp 11A6 để đi lao động?
Giải
Mỗi hoán vị của 44 học sinh cho ta một số cần tìm
Vậy có: P44 = 44! (cách)
b. Việc chọn 3 học sinh để làm ban cán sự lớp là một chỉnh hợp chập 3 của 44

Vậy có: = = 79464 (cách)
c. Việc chọn 5 học sinh để đi lao động là một tổ hợp chập 5 của 44

Vậy có: = = 1086008 ( cách)



Vấn đề 2 : Rút gọn và tính giá trị của biểu thức chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Phương pháp áp dụng:
Để thực hiện việc rút gọn hay tính giá trị biểu thức chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp chúng ta thường sử dụng các công thức để phân tích, ngoài ra trong nhiều trường hợp cần vận dụng kỹ năng đơn giản dần.
Ví dụ:
A = . .

Giải:
Biến đổi A về dạng:

A = . = 30

Nhận xét:
Để rút gọn đẳng thức đã cho ta đã thực
hiện phép phân tích dựa trên:
n! = n.(n – 1)…(n – k + 1).(n – k)!.

NHỊ THỨC NEWTON
A/ Công thức nhị thức Newton :
B/ Hệ quả :
Vấn đề 1: Khai triển nhị thức:
*Phương pháp:
Sử dụng kết quả :
Trong đó các với k=0,1,....,n có giá trị được tính bằng công thức tổ hợp hoặc sử dụng tam giác Pascal hoặc máy tính .
Ví dụ:Khai triển nhị thức : (1 + x)10

Giải:
Ta có:
(1 + x)10 = + x + x2 + …+ x10.
= 1 + 10x + 45x2 + 120x3 + 210x4 + 252x5 + 210x6 + 120x7 + 45x8 + 10x9 + x10.

 
Vấn đề 2: Giá trị của hệ số trong khai triển Newton

* Phương pháp:
Với khai triển nhị thức:
(a + b)n = thì hệ số của là
Với khai triển trị thức:
(xα + xβ)n = =
Khi đó:
- Hệ số của xt trong khai triển là với k là nghiệm của phương trình: α(n – k) + βk = t.
- Đặc biệt, khi t = 0 đó chính là số hạng không phụ thuộc x.
Ví dụ 1: Tìm hệ số của x9 trong khai triển (2 – x)19

Giải
Ta có:
(2 – x)19 = =

Do đó, hệ số của x9 trong khai triển bằng:
= - = -94595072
Ví dụ 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của

Giải
Ta có:
= = =

Số hạng không chứa x, thỏa mãn:
24k – 4k = 0 k = 6.
Vậy , số hạng không chứa x bằng = 28.

XÁC SuẤT CỦA BiẾN CỐ
* Phương pháp tính xác suất của biến cố:
Bước 1: Thực hiện hai phép đếm:
- Đếm số phần tử của không gian mẫu Ω, tức là đếm số kết quả có thể của phép thử T.
- Đếm số phần tử của tập ΩA là đếm số kết quả thuận lợi cho A.
Bước 2: Sử dụng công thức sau để tính P(A):

P(A) =




Ví dụ: Một lớp học có 45 học sinh trong đó có 30 nam, 15 nữ.Giáo viên muốn chọn 4 học sinh đi lao động.Tính xác suất để:
a. Chọn 1 nam, 3 nữ.
b.Có ít nhất 1 học sinh nam.

Giải
Việc chọn 4 học sinh đi lao động là một tổ hợp chập 4 của 45 học sinh:
=> n(Ω) = = 148995.
Gọi A là biến cố:” Chọn 4 học sinh đi lao động trong đó có 1 nam và 3 nữ”.
=> n(A) = . = 13560.
Vậy xác suất để chọn 4 học sinh đi lao động trong đó có 1 nam và 3 nữ là:

P(A) = = 0.091

b. Gọi B là biến cố:” Chọn 4 học sinh đi lao động trong đó có ít nhất 1 học sinh nam”
=> Biến cố đối của biến cố B là:” Chọn 4 học sinh nữ đi lao động”
=> n( ) = = 1365 => P( ) = = =
=> P(B) = 1 - P( ) = 1 - = 0.991
CẤP SỐ CỘNG






1. Định nghĩa:
Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng
* Nếu ( un ) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:











un + 1 = un + d
2. Tính ch?t :
D?nh lí 1:
Nếu (un) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai
mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn)
đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó
trong dãy , nghĩa là :
Định lí 2:
Neáu caáp soá coäng coù soá haïng đầu tieân u1 vaø coâng sai d thì
soá haïng toång quaùt un ñöôïc tính bôûi coâng thöùc :
un = u1 + (n – 1) d
Định lí 3:
Cho cấp số cộng (un ). Đặt Sn = u1 + u2 + … + un .
Khi đó:

Sn =



*Phương pháp:
Tìm các phần tử của một cấp số cộng: Thông thường bài toán được chuyển về xác định u1 và công sai d.
Tính tổng: Thông thường bài toán được chuyển về tính tổng của một cấp số cộng.


Ví dụ: Tìm d và tổng S11 của 11 số hạng đầu tiên của cấp số cộng: (*
Giải:
Ta có: (*) 





S11 = 11.U1 + .d  S11 = 11. + . 2

 S11 = 104,5
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Đề bài: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của hai mp (SAD) và (SBC)
b) Lấy M thuộc SD (M không trùng với S hoặc D) . Tìm giao điểm I của AM và (SBC).
c) Lấy N là giao của IB và SC. Chứng minh NM song song với mp (ABCD) . Từ đó suy ra MN song song với CD.
*Phương pháp giải:
a) Tìm giao tuyến của hai mp :
C1 : Tìm điểm chung.
C2 : (α) không trùng với (β); a// b; a là con của mp(α) , b là con của mp (β)
(α) giao với (β) là d //a //b.
C3 : (α) không trùng với (β); M thuộc (α) giao với (β) => (α) giao với (β) là Mx // d.
Với d// (α), d thuộc (β).
C4 : (α) không trùng với (β); M thuộc (α) giao với (β) ; d// (α) , d// (β) => (α) giao với (β) là Mx // d.
b) Tìm giao điểm của d và (α) :
Chọn mp (β) chứa d.
Tìm giao tuyến c của (α) giao với (β)
Trong mp (β) gọi I là giao của c và d.
I là giao điểm cần tìm .
c) Chứng minh đường thẳng d// (α) : chứng minh d // d’ nằm trong (α) .
SA nét đứt
Nét đứt
a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng ( SAD) và (SBC)
_Giải_
Xét 2 mặt phẳng ( SAD) và (SBC) :




Dễ thấy:

Gọi d =
d đi qua S và song song BC song
song AD

b) Lấy M thuộc SD ( M không trùng với S hoặc D). Tìm giao điểm I của AM và (SBC)
_Giải_
Trong mặt phẳng (SAD),

Gọi I =





=> I =

c) Lấy N là giao của IB và SC. Chứng minh NM song song với mp (ABCD) . Từ đó suy ra MN song song với CD.
_Giải_


(1)
N =


(2)

(1)& (2) => MN =

Ta lại có:

MN song song AB song song CD mà
MN song song (ABCD)
Chúc các bạn thi tốt
Cảm ơn cô và các bạn đã chú ý lắng nghe!