Chuyên
đề:
Phân tích đa

thức thành
nhân tử

1. Phương pháp đặt nhân tử chung: AB AC  A.( B C )
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
( A B) 2  A2 2 AB  B 2

( A B)3  A3 3 A2 B  3 AB 2 B 2

A2  B 2 ( A  B ).( A  B )

A3 B 3 ( A B ).( A2 AB  B 2 )

3. Phương pháp nhóm hạng tử
4. Phối hợp nhiều phương pháp

1. Phương pháp tách hạng tử
a) Với đa thức bậc 2: ax2 + bx + c
- Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất bx
+ Tính a.c rồi phân tích a.c ra tích của hai thừa số ac = a1c1 = a2c2 = .....
+ Chọn ra hai thừa số có tổng bằng b
VD: ac = a1c1 với a1 + c1 = b
+ Tách bx = a1x + c1x
+ Dùng phương pháp nhóm số hạng để phân tích tiếp

1. Phương pháp tách hạng tử
a) Với đa thức bậc 2: ax2 + bx + c
- Cách 2: Tách hạng tử bậc ax2
Ta thường làm làm xuất hiện hằng đẳng thức:

A2  B 2 ( A  B ).( A  B )

- Cách 3: Tách hạng tử tự do c
Ta tách c thành c1 và c2 để dùng phương pháp nhóm hạng tử hoặc tạo ra hằng đẳng
thức bằng cách c1 nhóm với ax2 còn c2 nhóm với bx.

1. Phương pháp tách hạng tử
a) Với đa thức bậc 2: ax2 + bx + c

- Áp dụng: Phân tích thành nhân tử:
a) 3x2 + 8x + 4

b) 9x2 + 12x – 5

c) 3x2 – 7x + 2

d) x4 – 7x + 6

e) x2 – x + 12

f) 3x2 – 16x + 5

1. Phương pháp tách hạng tử
b) Với đa thức bậc 3: ax3 + bx2 + cx + d
Chú ý:
- Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
- Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc
lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
- Nếu f(x) có nghiệm nguyên thì mọi nghiệm nguyên của P(x) đều là một trong các ước số của
hệ số tự do a0

r
- Nếu P(x) có nghiệm hữu tỉ thì mọi nghiệm hữu tỉ của P(x) có dạng , trong đó r là ước của
s
a0, s là ước của an và (r, s) = 1

1. Phương pháp tách hạng tử
b) Với đa thức bậc 3: ax3 + bx2 + cx + d
- Áp dụng: Phân tích thành nhân tử:

a) a3 + 4a2 – 29a + 24
b) 4x3 – 13x2 + 9x – 18
c) x3 – 2x – 4
d) 2x3 – 3x2. (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)3

b) Với đa thức bậc 4 và bậc cao hơn:
VD: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1. A(x) = 6x4 + 19x2 + 15
2. B(x) = x4 + x3 – x – 1
3. C(x) = x4 + 2008x2 + 2007x + 2008
4. D(x) = x8 + 14x4 + 1
5. E(x) = x11 + x10 + x9 +…+ x2 + x + 1

2. Phương pháp thêm bớt cùng các hạng tử:
- Phương pháp:
+ Các đa thức không thể sử dụng các phương pháp như đặt nhân tử chung, nhóm
hạng tử và sử dụng hằng đẳng thức cũng như đoán nghiệm,
+ Trong các thành phần của đa thức có chứa các hạng tử bậc 4, ta sẽ thêm bớt để
đưa về hằng đẳng thức số 3 : a2 – b2 = (a + b). (a – b)
+ Đối với đa thức bậc cao có dạng x3m + 1 + x3n + 1 + 1 luôn luôn có nhân tử chung là
bình phương thiếu của tổng hoặc hiệu, nên ta thêm bớt để làm xuất hiện bình
phương thiếu của tổng hoặc hiệu: (x2 + x + 1) hoặc (x2 – x + 1)

2. Phương pháp thêm bớt cùng các hạng tử:
- Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 4x4 + 81

b) x4 + 64

c) x8 + x4 + 1

d) x8 + x + 1

e) x8 + x7 + 1

f) x6 – 64y6

3. Phương pháp đặt ẩn phụ (đổi biến số):
- Phương pháp: Trong một số bài toán, ta
nên đưa một biến phụ vào để việc giải bài
toán được gọn gàng, tránh nhầm lẫn. Đặt
ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi
sử dụng các phương pháp cơ bản khác và
tiếp tục phân tích.

3. Phương pháp đặt ẩn phụ (đổi biến số):
a) Đặt biến phụ (x2 + ax + m). (x2 + ax + n) + p
- Đặt t = x2 + ax hoặc t = a2 + ax + để đưa đa thức về đa thức ẩn t.
- Thay t ngược lại ta được kết quả.
b) Đặt biến phụ (x + a). (x + b). (x + c). (x + d) + e
- Biến đổi đa thức về dạng (x2 + ax + m). (x2 + ax + n) + p
- Đặt biến phụ như trên a)

3. Phương pháp đặt ẩn phụ (đổi biến số):
- Vận dụng phương pháp a, b:

a ) ( x 2  4).( x 2  10)  72
b) ( x 2  2 x) 2  9 x 2  18 x  20

c)  x 2  2 x  7    x 2  2 x  4 .  x 2  2 x  3 

d ) ( x  1).( x  3).( x  5).( x  7)  15
e) (4a  1).(12a  1).(3a  2).(a  1)  4
f ) (3 y  2).(3 y  5).( y  9).(9 y  10)  24 y 2