Ch�o m?ng
Th?y cụ giỏo , cỏc em h?c sinh .
Chuyện cổ tích
Ngày xưa có một bà tiên phúc hậu đến thăm một làng nghèo nằm cheo leo trên núi …
§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
Chương III
§ 2: d·y sè
§ 3: cÊp sè céng
§ 4: cÊp sè nh©n
Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n):”3n < n + 100” vµ Q(n): ”2n > n” víi n N*
a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b. Với mọi n N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
Trả lời:
P(n) Q(n)
b. Với mọi n N* P(n) sai;
Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn.
3
9
27
81
243
101
102
103
104
105
2
8
16
32
5
4
3
2
1
4
Việc chứng tỏ cho Q(n) đúng với mọi số tự nhiên n ? N* bằng cách
thử với 1 số giá trị của n"cho dù làm được với số lượng lớn" cũng
không thể được coi là CM hơn nữa tập số tự nhiên là vô hạn nên việc
thử là không thể thực hiện được.
Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
1. Phương pháp qui nạp toán học
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n??N* là đúng với mọi n ta làm như sau:
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1
B2: .Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN)
.Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
. KL mệnh đề đúng với mọi nN*.
2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi nN*, ta có:
Lưu ý: Nếu ở Bước 1 sai thi ta kết luận mệnh dề cần c/m là sai.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi nN*, ta có:
Lời giải:
+) Với n = 1, ta có ,đẳng thức (1) đúng.
+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là (GTQN)
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh:
Thật vậy:
Vậy với mọi nN*, ta có:
Xét mệnh đề chứa biến Q(n): “ 3n > 3n + 1” víi n  N*
a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì Q(n) đúng hay sai?
b. Với mọi n  N* thì Q(n) đúng hay sai?
Trả lời:
Q(n)
b. Với mọi n  N*, Q(n) sai.
3
9
27
81
243
4
7
10
13
16
c. Dù ®o¸n
c. Dự đoán kết quả tổng quát của Q(n) vµ c/m b»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p
CM :
§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
1. Phương pháp qui nạp toán học
Chú ý: Để chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ? p ( p là một số tự nhiên) thỡ :
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p
B2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ p (Giả thiết qui nạp - GTQN)
Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n= k+1
2. Ví dụ áp dụng:
HOẠT ĐỘNG NHÓM
Nhóm 1:
Nhóm 2:
Nhóm 3:
CMR:?n ? N*c� 2 + 4 + 6 + . . . . . . + 2n = n(n+1) (1)
CMR:?n ? N*c� un = n3 - n chia h�t cho 3 (2)
Giải: * Với n =1, ta có VT=VP = 2. Vâ�y (1) đúng với n=1.
* Giả sử (1) đúng với n = k ? 1, tức là
2 + 4 + 6 +. . . .+ 2k = (2) (GT quy nạp)
* Ta phải cmr (1) cũng đúng với n = k +1, tức là
2 + 4 + 6 +. . . .+ 2k + 2(k +1) = (3)
Thật vậy, từ (2) ta có
VT(3) = 2+ 4+ 6 +. . .+ 2k + 2(k+1)
= k(k+1) + 2(k +1) = (k+1)(k+2)=VP(3)
Vậy hệ thức (1) đúng với mọi số n ? N*.
k(k+1)
(k+1)(k+2)
Nhóm 1:
CMR:?n ? N*c� 2 + 4 + 6 + . . . . . . + 2n = n(n+1) (1)
Với n = 1 ta có: u1 = 0 chia hÕt cho 3 (Mệnh đề (2) đúng)
Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: uk= k3 – k chia hÕt cho 3
Ta phải c/m (2) đúng với n = k+ 1, tức là :uk +1 =(k+1)3 – (k+1) chia hÕt cho 3
Thật vậy:
Vậy với mọi nN*, ta có: un = n3 – n chia hÕt cho 3
Nhóm 2:
Uk +1 =(k+1)3 – (k+1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 – k – 1
=(k3 – k) +3(k2 + k)
=uk + 3(k2 + k) chia hÕt cho 3

CMR:?n ? N*c� un = n3 - n chia h�t cho 3 (2)
Nhóm 3:
Với n = 2, ta có VT = 9 > 7 = VP, bất đẳng thức (3) đúng
Giả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 2, nghĩa là:
Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là :
Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có:
Vậy:
Nêu phương pháp qui nạp toán học
Chú ý khi chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên n ≥ p
Hướng dẫn về nhà
Cung c?
Học thuộc và nắm chắc qui trình chứng minh bài toán bằng phương pháp qui nạp
Làm bài tập 1,2 trang 82 .
§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
QUÝ THẦY CÔ CÙNG CÁC EM SỨC KHỎE THÀNH ĐẠT.