PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Đại số 11 - Bài 1-Tiết 29
Daklak 1 December 2021
1./ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:
Với n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 thì P(n) , Q(n) đúng hay sai?
Xét hai mệnh đề chứa biến
và
với n N*
Với mọi n N* thì P(n) , Q(n) đúng hay sai?
Hoạt động mở đầu
Phương pháp chứng minh mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên như sau:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 1(gọi là giả thiết quy nạp) ,chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1
Phương pháp này là phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi là phương pháp quy nạp
Hoạt động nhóm
Bắt đầu
Tính:
1 + 3 =
1 + 3 + 5 =
1 + 3 + 5 + 7 =
…………………
1 + 3 + 5 + 7 + …+ (2n – 1) =
Dự đoán
?
Cho An = 13n – 1
Khi A1 , A2 , A3 , A4 có chia hết cho 6 không?
Dự đoán An có chia hết cho 6 với mọi n  N* không?
A1 = 131 – 1 chia hết cho 6
A2 = 132– 1 chia hết cho 6
A3 = 133 – 1 chia hết cho 6
A4 = 134 – 1 chia hết cho 6
………………..
Dự đoán: An = 13n – 1 có chia hết cho 6 hay không?
Dự đoán
?
a2 – b2 =
a3 – b3 =
a4 – b4 =
…………………….
Dự đoán: an – bn =
với n N* và n ≥ 2
Viết các hằng đẳng thức sau
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
a4 – b4 = (a2 – b2)(a2 + b2)
= (a – b)(a + b)(a2 + b2)
= (a – b)(a3 + a2b + ab2 + b3)
Dự đoán: an – bn =
Dự đoán
?
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số
nguyên dương n ≥ 2 thì:
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:
chia hết cho 6
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:
2. VÍ DỤ ÁP DỤNG:
Bước 1: Khi n = 1, vế trái bằng 1,vế phải bằng 1. Vậy hệ thức (1) đúng
Bước 2: Đặt vế trái bằng Sn
Ta chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k +1 , tức là:
Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là:
Thật vậy ,ta có:
Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi n N*
Bước 1: Khi n = 1
Đặt
Bước 2: Giả sử với n = k ≥ 1, ta có :
Vậy hệ thức (2) đúng
Ta chứng minh rằng (2) cũng đúng với n = k +1 , tức là:
Thật vậy ,ta có:
Vậy đẳng thức (2) đúng
Vì:
nên
Khi n = 2 , vế trái bằng
vế phải bằng
Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k ≥ 1.Tức là:
Vậy đẳng thức (3) đúng khi n = 2
Ta phải chứng minh (3) cũng đúng với n = k + 1, tức là:
Thật vậy ,ta có:
Vậy đẳng thức (3) đúng
Củng cố:
Dự đoán:
Kiểm tra bài cũ
Hãy nêu phương pháp chứng minh quy nạp toán học ?
Phương pháp chứng minh quy nạp toán học thực hiện như sau:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 1(gọi là giả thiết quy nạp) ,chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1
Phương pháp này là phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi là phương pháp quy nạp
Chứng minh rằng với nN* ta có đẳng thức:
Bước 1: Khi n = 1, vế trái bằng 12 ,vế phải bằng 1. Vậy hệ thức (1) đúng
Bước 2: Đặt vế trái bằng Sn
Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là:
Lời giải bài tập 1:
Ta chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k +1 , tức là:
Thật vậy ,ta có:
Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi n N*
Chứng minh rằng với n  N* , ta có :
chia hết cho 3
Bước 1: Khi n = 1
Đặt
Bước 2: Giả sử với n = k ≥ 1, ta có :
Vậy hệ thức (2) đúng
Ta chứng minh rằng (2) cũng đúng với n = k +1 , tức là:
Thật vậy ,ta có:
Vậy đẳng thức (2) đúng
Vì:
nên
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có bất đẳng thức sau:
Bước 1: Khi n = 2, vế trái bằng 9,vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức (3) đúng
Ta chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k +1 , tức là:
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là:
Bước 2:
Thật vậy ,ta có:
Vậy đẳng thức (3) đúng với mọi n N*
đúng với mọi k ≥ 2
Cho tổng:
với n  N*
a. Tính S1, S2 , S3
b. Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.
Phân tích:
Dự đoán:
Củng cố và bài tập về nhà:
Chứng minh rằng với mọi n  N* ta có:
2 + 4 + 6 + …+ 2n = n(n +1)
a.
b.
c.
Cảm ơn
các học sinh đã tham gia tiết học này !