Môn: Toán lớp 11
Gv TRẦN QUỐC NAM
Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN*

1 + 3 =
BÀI TOÁN THỨ NHẤT
1
1 + 3 + 5 =
1 + 3 + 5 + 7 =
1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
1
4
= 22
9
= 32
16
= 42
25
= 52
= 12
+ 3
+ 5
+ 7
+ 9
n
+...+
(2n – 1)
= n2
2
.2
1
.1
3
.3
4
.4
5
.5
.n
Tiết37 §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Chương III
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Bài toán: Chứng minh những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN*.
Bước 1 :
Bước 2 :
Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với n = 1
Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k  1. Chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.
Phương pháp quy nạp:
=
+ 2k + 2 – 1
VT = 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2k – 1)
VT = 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2k – 1)
hay 1 = 1. (*) đúng
§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 Ta có đẳng thức :
1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n2 (*)
Giải :
1) Khi :
1 + 3 + 5 + 7+ . . . +
(2 – 1) = 2
2) Giả thiết (*) đúng với một số tự nhiên bất kỳ
1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2 – 1) = 2
n n
n n
Ta sẽ chứng minh (*) đúng :
khi n = k + 1
+ [2(k + 1) – 1]
k2
= (k + 1)2 = VP.
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n  1.
.1 1
k k
n = k
 1 :
n = 1
1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n2
1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n2
Ví dụ 1.
1
k
k2
(*) <=> 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + [2(k + 1) – 1] = (k+1)2
BÀI TOÁN THỨ HAI
1
1 + 2 =
1 + 2 + 3 =
1 + 2 + 3 + 4 =
1
3
6
10
+ 2
+ 3
+ 4
n
+...+
n
n
.(n + 1)
2
.3
1
.2
3
.4
4
.5
Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n N*
§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1. Ta có đẳng thức :
Giải :
1) Khi :
1 + 2 + 3 + 4 + . . . +
2) Giả thiết (*) đúng với một số tự nhiên bất kỳ
1 + 2 + 3 + 4 + . . . +
Ta sẽ chứng minh (*) đúng :
VT = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k
khi n = k + 1
+ (k + 1)
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n  1.
hay 1 = 1. (*) đúng
VT = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k
=
n = k
 1:
n = 1
+ (k + 1)
1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n
Ví dụ 2
n n
n
1 1
1
n
n n
k k
k
1
k
CMR 1 + 2 + 3 + 4 + . . + n
§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Với giá trị nào của số tự nhiên n thì 2n+1 > n2 + 3n
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
n = 6
§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
*Lưu ý :

Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên) thì:
- Ở bước 1 ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.

- Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Ví dụ 3
CMR với số tự nhiên n ≥ 4. Ta có :
2n+1 > n2 + 3n (*)
1) Khi n = 4 : VT = 32; VP = 28. Nên (*) đúng.
Giải :
2) Giả thiết (*) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 4. Tức là : 2k+1 > k2 + 3k (**)
Ta sẽ chứng minh (*) đúng với n = k + 1.
Tức là : 2(k+1) + 1 > (k+1)2 + 3(k+1)
Nhân 2 vế (**)cho 2 ta sẽ được: 2.2k+1 > 2(k2 + 3k)
<=> 2k+2 > 2k2 + 6k =
(k + 1)2 + 3(k + 1) + k2 + k - 4
Vì k ≥ 4 nên k2 + k – 4 > 0
Do đó :2k+2 > (k + 1)2 + 3(k + 1) (đpcm).

§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
2
+ 4
+ 6
+ 8
+ ... +
2n
= n(n + 1)
(n + 1)
n
BÀI TOÁN THỨ BA
Bài tập về nhà :
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 Ta có đẳng thức :
§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Củng cố :
Bài toán : Chứng minh những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN*
Bước 1 :
Bước 2 :
Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với n = 1
Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k  1 (hay n = k  p). Chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1
Phương pháp quy nạp :
(hay n = p)
(hay n  p, pN*)
(p là số tự nhiên nhỏ nhất mà Mệnh đề Đúng)
§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC