Đường thẳng là tập hợp điểm, được xác định bởi tính chất đặc
trưng của các điểm thuộc đường thẳng đó.

Do vậy, ta có thể đại số hoá đường
thẳng bằng cách thể hiện tính chất
đặc trưng đó bởi điều kiện đại số
đối với toạ độ của các điểm tương
ứng.

1

Cho vectơ và điểm A .
Tìm tập hợp những điểm M sao cho vuông góc với

n

Ta có : nên đường thẳng AM vuông góc
với giá của vectơ
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu
bài toán là đường thẳng đi qua điểm A và
vuông góc với giá của vectơ

M
A

Hình 7.1a

 Vectơ khác được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng
nếu giá của nó vuông góc với
y

 Nhận xét :
+ Nếu là vectơ pháp tuyến của đường
thẳng thì cũng là vectơ pháp tuyến của

Δ
n

x

O

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu
biết một điểm và một vectơ pháp tuyến
của nó.

Hình 7.1b

Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác có ba đỉnh là A(3;1),
B(4;0), C(5;3) . Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường
trung trực của đoạn thẳng AB và một vectơ pháp tuyến của
đường cao kẻ từ A của tam giác ABC
y

Đường trung trực của đoạn thẳng AB vuông góc
với AB nên có vectơ pháp tuyến là
Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC vuông góc
với BC có vectơ pháp tuyến là

C

3

1

A

O

3

4

B

5

x

2

Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến . Chứng minh rằng điểm thuộc
khi và chỉ khi :

uuur
Ta có : AM = ( x - x0 ; y - y0 )

Vì điểm M(x;y) thuộc

r uuur
Û n ^ AM
r uuur
Û n. AM = 0
Û a( x - x0 ) + b( y - y0 ) = 0

Vậy điểm M(x; y) thuộc ∆ khi và chỉ khi a( x - x0 ) + b( y - y0 ) = 0

 Nhận xét :
+ Phương trình (1) tương đương : ax - ax0 + by - by0 = 0
Û ax + by - ax0 - by0 = 0
Nếu đặt c =- ax0 - by0 thì (1) còn được viết dưới dạng
ax + by + c = 0
và được gọi là phương trình tổng quát của
Trong đó vectơ pháp tuyến có toạ độ

2

Trong mặt phẳng toạ độ, lập phương trình tổng quát của
đường thẳng đi qua điểm A(2;1) và nhận là một vectơ
pháp tuyến .

 Đường thẳng có phương trình tổng quát là :
a ( x - x0 ) + b( y - y0 ) = 0

Û 3( x - 2) + 4( y - 1) = 0
Û 3x - 6 + 4 y - 4 = 0
Û 3 x + 4 y - 10 = 0

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh A(– 1; 5),
B(2; 3), C(6; 1). Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ
từ A của tam giác ABC.
A(-1;5)

uuu
r
 Ta có : BC = (4; - 2)

Gọi đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác
ABC là đường thẳng ∆, do đó ∆ ⊥ BC.
Suy ra đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 1; 5)
và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.

B(2;3)

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là

4( x +1) - 2( y - 5) = 0
Û 2x - y +7 = 0

H

C(6;1)

3

Trong mặt phẳng toạ độ, lập phương trình đường thẳng đi
qua điểm A(0;b) và có vectơ pháp tuyến , với a, b là các số
cho trước. Đường thẳng có mối liên hệ gì với đồ thị của
hàm số

 Đường thẳng có phương trình tổng quát là :

a ( x - 0) - 1( y - b) = 0
Û ax - y + b = 0

Đường thẳng là tập hợp những điểm M(x;y) thoả mãn ( hay
là )
Do đó đồ thị của hàm số chính là đường thẳng

LUYỆN TẬP

2

Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng

∆:

 Ta có : y = 3x + 4
Û 3x - y + 4 = 0

Vậy một vectơ pháp tuyến của ∆ là

 Nhận xét :
Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng
• Nếu thì phương trình có thể đưa về dạng
(với ) và vuông góc với Ox.
• Nếu thì phương trình có thể đưa về dạng
(với )