Giáo viên thực hiện
LƯU VĂN CHUNG
TỔ TOÁN
TRƯỜNG THPT DL
NHÂN VĂN
CHÚC CÁC EM HỌC TỐT !
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Phương trình của đường tròn ñöôïc vieát nhö theá naøo ?
Nhắc lại định nghĩa đường tròn?
Khi nào thì M(x; y) thuộc đường tròn tâm I(a;b) bán kính R
Đường tròn C(I; R) là tập hợp các điểm cách
điểm I(a;b) một khoảng không đổi bằng R > 0
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Đường tròn tâm I(a;b) , bán kính R có phương trình:
1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước
(x - a)2 + (y - b)2 = R2
O
M(x;y)
I
b
a
R
x
y
Để viết pt đường tròn cần biết tọa độ tâm I và bán kính R.
Để viết pt đường tròn cần biết điều kiện gì?
a/ Vi?t phuong trình đường tròn tâm I(2 ; - 3) và có bán kính R = 5
Ví dụ 1
Phuơng trình của đường tròn có dạng : (x - a)2 + (y - b)2 = R2
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 52 =25
b/ Vi?t phuong trình đường tròn tâm là gốc tọa độ và có bán kính R
Phuơng trình của đường tròn có dạng : (x - a)2 + (y - b)2 = R2
(x – 0)2 + (y + 0)2 = R2
x 2 + y2 = R2
Đường tròn (O ; R) có phương trình là : x2 + y2 = R2
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Đường tròn tâm I(a;b) , bán kính R có phương trình:
1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước
(x - a)2 + (y - b)2 = R2
Đường tròn tâm là gốc tọa độ , bán kính R
có phương trình:
x 2 + y2 = R2
Ví dụ 2
a) Du?ng tròn có tâm là A(5 ; - 4) và có bán kính là R = AB
Phuơng trình của đường tròn có dạng : (x - a)2 + (y - b)2 = R2
(x – 5)2 + (y + 4)2 = 100
Cho hai điểm A(5 ; - 4) và B(- 1 ; 4).
a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B
b) Viết phương trình đường tròn đường kính AB
Để viết pt đường tròn cần biết tọa độ tâm và bán kính R.
Ta có : R2 = AB2 = (xB - xA)2 +( yB - yA)2 = (- 6)2 + 82 = 100
b) Du?ng tròn có tâm là I là trung điểm AB nên I (2 ; 0) là tâm
Ta có R = AB:2 nên R2 = AB 2 : 4 = 100 : 4 = 25
Phuơng trình của đường tròn có dạng : (x - a)2 + (y - b)2 = R2
(x – 2)2 + y 2 = 25
2. Phương trình tổng quát của đường tròn
Phuơng trình của đường tròn có dạng :
(x - a)2 + (y - b)2 = R2
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = R2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0
Đặt c = a2 + b2 – R2 .
Ta có phương trình
x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
Phương trình trên được gọi là phương trình tổng quát cùa đường tròn tâm I(a;b) , bán kính R.
Từ c = a2 + b2 – R2 suy ra R2 = a2 + b2 – c
Từ đó ta có điều kiện : a2 + b2 – c > 0
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Đường tròn tâm I(a;b) , bán kính R có phương trình:
1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước
(x - a)2 + (y - b)2 = R2
Đường tròn tâm là gốc tọa độ , bán kính R
có phương trình:
x 2 + y2 = R2
Phương trình tổng quát của đường tròn :
x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
Điều kiện để phương trình trên là phương trình của đường tròn : a2 + b2 – c > 0
Bán kính của đường tròn
2. Phương trình tổng quát của đường tròn
BÀI TẬP NHÓM
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của đường tròn?
Đ
S
Đ
S
S
Tâm và bán kính đường tròn có phương trình
x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0 là :
A. I(1 ; - 1) ; R = 1
B. I(1 ; - 1) ; R = 2
C. I(1 ; 1) ; R = 1
D. I(1 ; 1) ; R = 2
D
Ví dụ 3
Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm
A (-2; -1), B (-1; 4), C (4; 3).
Gọi I (a; b) và R là tâm và bán kính của đường tròn đi qua 3 điểm
A, B, C.Ta có IA = IB = IC
Ta có hệ phương trình :
Giải hệ phương trình ta có a = 1; b= 1.
Khi đó R2 = IA2 = 13. Phương trình đường tròn cần tìm là:
(x - 1)2 + (y - 1)2 = 13
Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm
A (-2; -1), B (-1; 4), C (4; 3).
Cách khác:
Giả sử pt đường tròn có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 .
Do A, B, C thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình :
Thay a = 1, b= 1, c = -11 vào phương trình trên ta có:
Phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 - 2x - 2y - 11 = 0
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Cho du?ng tròn có phuơng trình là: (x - 3)2 + (y + 2)2 - 25 = 0
Viết phương trình đường tròn tâm K(2 ; - 5) và đi qua A (2 ; - 5)
Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn
b) Viết phương trình đường tròn dưới dạng tổng quát
Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm
A (1 ; - 3) ; B(5 ; 2) và C(1 ; 2)
Viết phương trình đường tròn đường kính AB với
A(3 ; -2) và B(5 ; 4)
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Phương trình đường tròn có dạng :
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
b. Nhận xét thấy M(1;1) thuộc đường tròn
Vậy đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua M và có
véc tơ pháp tuyến là
Phương trình đường thẳng là : -2(x – 1) + 1(y – 1) = 0
2x – y – 1 = 0
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M có dạng :
(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0
Cho điểm M(x0 ; y0) thuộc đường tròn tâm I(a;b) bán kính R
Ví dụ
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M(3 ; 4)
biết phương trình đường tròn là (x – 1)2 + (y – 2)2 = 8
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M(3; 4) có dạng :
(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0
Từ phương trình đường tròn là (x – 1)2 + (y – 2)2 = 8
Ta suy ra tâm I(1 ; 2)
Thay x0 = 3 ; y0 = 4 ; a = 1 ; b = 2 vào phương trình ta được :
(3 – 1)(x – 3) + (4 – 2)(y – 4) = 0
Thu gọn ta có phương trình : x + 2y – 7 = 0
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm N(4 ; 7)
biết phương trình đường tròn là x2 + y2 + 2x – 4y = 0
Từ phương trình đường tròn là x2 + y2 + 2x – 4y = 0
Ta suy ra tâm I (-1 ; 2) và bán kính R =
Nhận xét thấy M(4;7) không thuộc đường tròn
Gọi phương trình đường thẳng (D) qua N có dạng :
A(x – 4) + B(y – 7) = 0 ( A và B không đồng thời bằng 0)
hay Ax + By – 4A – 7B = 0
Vì đường thẳng (D) tiếp xúc với đường tròn nên d(I ; D) = R
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm N(4 ; 7)
biết phương trình đường tròn là x2 + y2 + 2x – 4y = 0
Bình phương hai vế ta có :
Chọn A = 1 ta có :
Với A = 1 ; B = -½ ta có phương trình tiếp tuyến : 2x – y – 1 = 0
Với A = 1 ; B = - 1 ta có phương trình tiếp tuyến : x – 2y + 10 = 0
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Cho đu?ng tròn có phuơng trình là: x 2 + y 2 - 2x + 4y - 20 = 0
Chứng tỏ điểm M(4 ; 2) thuộc đường tròn
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M
Cho đu?ng tròn có phuơng trình là: (x - 3)2 + (y + 2)2 = 25
Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua N(1; - 2)
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và song song với đường thẳng : 3x + 4y + 1 = 0
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và vuông góc với đường thẳng : 5x + 12 y - 3 = 0