Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời
điểm t, vật thể ở vị trí M (cost – sint; cost + sint, cost). Hỏi vật
thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?

Để biết được vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố
định hay không, ta sẽ đi tìm hiểu bài học này về phương trình
mặt phẳng.

I . VECTƠ PHÁP TUYẾN VÀ CẶP VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật
phản lực pháp tuyến , giá của vectơ vuông góc với mặt bàn. Nếu
mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì có phương gì?

Vectơ có phương thẳng đứng, vuông góc với mặt bàn.

Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng (𝛼) nếu giá của vuông góc với (𝛼).

 Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một vectơ
pháp tuyến của nó.
 Nếu là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thì với cũng là vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng .

1

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây đúng?
a) và đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD ).
b) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ACC'A' ).
c) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD ).

 và đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
(ABCD ).
 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ACC'A' ).
 không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD ).

1

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (1; –2; 3), B (–3; 0;
1). Gọi (𝛼) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy
chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (𝛼).
Ta có hay là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ = (a; b; c ) và = (a'; b';
c' ).
a) Vectơ = (bc' – b'c; ca' – c'a; ab' – a'b) có vuông góc với cả
và hay không?
b) = khi và chỉ khi và có mối quan hệ gì?
a) Ta có và nên vuông góc với cả và .
b) = khi và chỉ khi cùng phương.

2. Tích có hướng của hai vectơ
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ
= (a; b; c) và = (a'; b'; c' ).
Khi đó vectơ = (bc' – b'c; ca' – c'a; ab' –
a'b) vuông góc với cả hai vectơ và , được
gọi là
tích có hướng của và , kí hiệu là
[, ].
 [, ] = khi và chỉ khi , cùng phương.
 Với bốn số x, y, x', y' ta kí hiệu = xy' – x'y. Khi đó tích có hướng
của = (a; b; c) và = (a'; b'; c' ) là: .

 Trong không gian Oxyz cho . Tính .

 Giải. Ta có .

 Trong không gian Oxyz cho . Tính

 Giải. Ta có .

3. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ không cùng phương và có
giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P ).
a) Vectơ [, ] có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với
cả hai giá của và hay không?
b) Mặt phẳng (P ) có nhận [, ] làm một vectơ pháp tuyến hay
không?
a. Vectơ [, ] khác vectơ-không và có giá vuông góc với hai vectơ , .
b. Mặt phẳng (P ) nhận [, ] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
 Trong không gian Oxyz, hai vectơ
được gọi là cặp vectơ chỉ phương của
mặt phẳng (P ) nếu chúng không cùng
phương và có giá nằm trong hoặc
song song với mặt phẳng (P ).
 Nếu là cặp vectơ chỉ phương của (P )
thì [] là một vectơ pháp tuyến của (P ).

Trong không gian Oxyz, cho các vectơ = (2; –1; 0), = (1; –1; 2). Gọi ()
là một mặt phẳng song song với các giá của , . Hãy tìm một vectơ
pháp tuyến của ().


    1 0 0 2 2  1
n   u , v  
;
;
  2;  4;  1  0
  1 2 2 1 1  1
Vậy , là cặp vectơ chỉ phương, là một vectơ pháp tuyến của ().
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A (1; –2; 1), B (–
2; 1; 0), C (–2; 3; 2). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
(ABC ).
Ta có = (–3; 3; –1) và = (–3; 5; 1). Suy ra:
= (8; 6; –6) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC ).

Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự
quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không
gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị
trí một lực để vặn con ốc ở vị trí thì moment lực được tính bởi
công thức = [, ].
a) Cho = (x; y; z), = (a; b; c). Tính .
b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động trong khi thay
vị trí đặt lực từ sang sao cho = thì moment lực sẽ tăng lên gấp
đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết
vặn ốc?
a) Ta có = (cy – bz; az – cx; bx – ay)
b) Nếu = thì
Từ đó, để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc,
ta cầm cán mỏ lết tại vị trí càng xa càng
tốt?

II . PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (). Gọi = (A; B; C ) là một
vectơ pháp tuyến của () và M0(x0; y0; z0) là một điểm thuộc ().
a) Một điểm M (x; y; z ) thuộc () khi và chỉ khi hai vectơ và có
mối quan hệ gì?
b) Điểm M (x; y; z ) thuộc () khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả
mãn hệ thức nào?
a) M (x; y; z )  () 
b)   A (x – x0) + B (y – y0) + C (z – z0) = 0

(1)

Vậy M (x; y; z ) thuộc () khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn hệ thức (1)
Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương
trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời
bằng 0) được gọi là phương trình tổng quát của mặt
phẳng đó.

Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình Ax + By + Cz + D =
0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) xác định một mặt phẳng
nhận
= (A; B; C ) làm một vectơ pháp tuyến.
Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình
tổng quát của một mặt phẳng?
1 2 3
2
a) x  2y  3z  1 0;
b)   0;
c) y  1 0.
x y z
Phương trình y + 1= 0 là phương trình mặt phẳng vì: Có dạng Ax + By +
Cz + D = 0 và thoả mãn A, B, C không đồng thời bằng 0 (A = 0, B = 1, C =
0).
Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình
tổng quát của một mặt phẳng?
a) x 2  2y 2  3z 2  1 0;

b)

x
z
 y  0;
2
3

c) xy  5 0.

Tương tự VD4, ta có câu b là phương trình mặt
phẳng.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (): x + 2y – z + 1 = 0.
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của ().
b) Vectơ = (2; 4; –2) có là vectơ pháp tuyến của () hay không?
c) Trong hai điểm A (1; 3; 2), B (1; 1; 4), điểm nào thuộc mặt
phẳng ()?
a) Mặt phẳng () nhận = (1; 2; – 1) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Do = 2 nên cũng là vectơ pháp tuyến của ().
c) 1 + 2 – 1 – 4 + 1 = 0 nên toạ độ điểm B thoả mãn phương trình
mặt phẳng (). Vậy điểm B thuộc mặt phẳng ().
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (): x + 2 = 0. Điểm A (–2;
1; 0) thuộc () hay không? Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của ().
Điểm A (–2; 1; 0) thuộc () vì –2 + 2 =
0.
Một vectơ pháp tuyến của () là = (1; 0; 0)

III . LẬP PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

1. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp
tuyến
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng () đi qua điểm M0(x0; y0; z0)
và có vectơ pháp tuyến = (A; B; C ). Dựa vào HĐ4, hãy nêu phương
trình của ().
Từ HĐ4, ta thấy điểm M (x; y; z) thuộc mặt phẳng () khi và chỉ
khi toạ độ của nó thoả mãn hệ thức A (x – x0) + B (y – y0) + C (z
– z0 ) = 0
Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng () đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có
vectơ pháp tuyến = (A; B; C ) thì có phương trình là:
A (x – x0) + B (y – y0) + C (z – z0) = 0  Ax + By + Cz + D = 0, D = –(Ax0 + By0
+ Cz0)

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng () đi qua
điểm
M (2; –1; 0) và có vectơ pháp tuyến = (3; –4; 6).

Phương trình mặt phẳng () là
3(x – 2) – 4(y + 1) + 6(z – 0) = 0  3x – 4y + 6z – 10 = 0.

6

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng () đi qua
điểm
M (1; 2; –4) và vuông góc trục Oz.

()  Oz nên có vectơ pháp tuyến là = (0; 0; 1). Phương trình mặt
phẳng ():
0(x – 1) + 0(y – 2) + 1(z + 4) = 0  z + 4 = 0.

2. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ
phương
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng () đi qua điểm M0(x0; y0; z0)
và biết cặp vectơ chỉ phương = (a; b; c ), = (a'; b'; c' ).
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ().
b) Viết phương trình mặt phẳng ().
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng () là = [, ].
b) Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M và biết vectơ pháp
tuyến
= [, ].
Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua
điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương , có thể thực hiện theo các bước
sau:
 Tìm vectơ pháp tuyến = [, ].
 Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ
pháp tuyến .

7

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' với A (1; 2; 3), B
(4; 3; 5), C (2; 3; 2), A' (1; 1; 1). Viết phương trình mặt phẳng (A'B'C' ).

Mặt phẳng (A'B'C' ) nhận = (3; 1; 2), = (1, 1; – 1)
làm cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến
là
= [, ] = (–3; 5; 2).
Mặt phẳng (A'B'C' ) đi qua A' (1; 1; 1) và nhận = (–3;
5; 2) làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
–3(x – 1) + 5(y – 1)+ 2(z – 1) = 0 3x – 5y – 2z + 4 = 0
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (1; –2; –1), B (4; 1; 2), C (2; 3;
1). Viết phương trình mặt phẳng () đi qua A (1; –2; –1), song song với
trục Oy và đường thẳng BC.
Mặt phẳng () đi qua A (1; –2; – 1), nhận = [, ] = (–1; 0; 2) làm vectơ pháp
tuyến có phương trình: –1(x – 1) + 0(y + 2) + 2(z + 1) = 0  x – 2z – 3 =

3. Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thằng hàng
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A (1; 2; 3), B (–
1; 3; 4), C (2; –1; 2).
a) Hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC ).
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC ).
a) Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng là , .
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC ) đi qua điểm A và biết vectơ
pháp tuyến
= [, ]
Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba
điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:
 Tìm cặp vectơ chỉ phương , .
 Tìm vectơ pháp tuyển = [, ].
 Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ
pháp tuyến .

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (2; 1; –1), B (3; 2; 1), C (3;
1; 4).
a. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC ).
a. A, B, C không thẳng hàng vì hai vectơ , không cùng phương.
b. Mặt phẳng (ABC ) qua A (2; 1; –1), vectơ pháp tuyến = [, ] = (5; –3; –1).
có phương trình: 5(x – 2) – 3(y – 1) – 1(z + 1) = 0  5x – 3y – z – 8 = 0.

8

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng () không đi qua gốc toạ độ
và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng tại các điểm A (a; 0; 0), B (0;
x y z
 () có
1
b; 0), C (0; 0; c) (a, b, c ≠ 0). Chứng minh rằng mặt phẳng
a b c
phương trình:
Vì toạ độ của 3 điểm A (a;0; 0), B (0; b; 0), C (0;
0; c)
x y z
  1
a b c
đều thỏa mãn phương trình
x y z
Nên phương trình mặt phẳng (ABC ) là   1
a b c

Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu
hỏi đã được nêu ra.
a) Xác định tọa độ của vị trí M1, M2, M3 của vật tương ứng với các
thời điểm t = 0, t = , t = .
b) Chứng minh M1, M2, M3 không thẳng hàng. Viết phương trình
mặt phẳng (M1M2M3).
c) Vị trí M (cost – sint; cost + sint; cost) có luôn thuộc mặt phẳng
(M1M2M3) hay không?
a) Ta có: M1(1; 1; 1), M2(–1; 1; 0), M3(–1; –1; –1).
b) M1, M2, M3 không thẳng hàng vì và không cùng phương. Mặt phẳng
(M1M2M3) đi qua M1(1; 1; 1), nhận = (1; 1; –2) làm vectơ pháp tuyến có
phương trình là x + y – 2z = 0.
c) Tọa độ điểm M luôn thỏa mãn phương trình mặt phẳng (M1M2M3). Vậy
vị trí điểm M luôn thuộc mặt phẳng cố định.

IV. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0
và mặt phẳng (): A'x + B'y + C'z + D' = 0 với hai vectơ pháp tuyến
= (A; B; C ) và = (A' ; B' ; C' ) tương ứng.
a) Góc giữa hai mặt phẳng (), () và góc giữa hai giá của hai vectơ ,
có mối quan hệ gì?
b) Hai mặt phẳng () và () vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai
vectơ pháp tuyến tương ứng , có mối quan hệ gì?
a) Góc giữa hai mặt phẳng (), () là góc giữa hai giá của hai vectơ , .
b) () ()  = 0  AA' + BB' + CC' = 0.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:
(): Ax + By + Cz + D = 0, (): A'x + B'y + C'z + D' = 0,
hai vectơ pháp tuyến =(A; B; C ), =(A' ; B' ; C' ) tương
ứng.
Khi đó:

Trong không gian Oxyz, CMR hai mặt phẳng sau vuông góc với nhau:
(): x – 3y + 2z + 1 = 0, (): 5x + y – z + 2 = 0.
(), () có vectơ pháp tuyến tương ứng là = (1; −3; 2), = (5; 1; –1).


 
Ta có: n.n  1  5   3  1  2   1 0  n  n       

9

Trong không gian Oxyz, hai mặt phẳng sau đây có vuông góc với
nhau không?
(): 3x + y – z + 1 = 0, (): 9x + 3y – 3z + 3 = 0

(), () có vectơ pháp tuyến tương ứng là = (3; 1; −1), = (9; 3; 3).


Ta có: n.n  27  3  3 33 0      

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua hai
điểm
A (1; 2; –2), B (2; 4; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q ): x
+ 3y + z – 1 = 0.
Mặt phẳng (Q ) có vectơ pháp tuyến = (1; 3; 1).
Mặt phẳng (P ) đi qua A, B và vuông góc với (Q ) nên có cặp vectơ chỉ
phương là = (1; 2; 3) và = (1; 3; 1)
Do đó (P ) có vectơ pháp tuyến là: = [] = (–7; 2; 1).
Mặt phẳng (P ) qua A (1; 2; –2) và có vectơ pháp tuyến = (–7; 2; 1) có
phương trình:
–7(x – 1) + 2(y – 2) + 1(z + 2) = 0  7x – 2y – z – 5 = 0.

Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ
giác với bốn đỉnh O (0; 0; 0), A (2; 0; 0), B (2; 3; 0); C (0; ; 0). Bốn
bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn.
a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức
tường đó.
b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy
chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.
a) Mặt phẳng chứa bức tường (Oxz ) có phương trình là
y = 0.
Mặt phẳng chứa bức tường (Oyz ) có phương trình là x
= 0.
Mặt phẳng chứa bức tường chứa điểm A và B có
phương trình là x = 2. Ta có: ,
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa bức tường
chứa điểm B, C là:
Phương trình mặt phẳng chứa bức tường chứa B và C
b) Mặt phẳng (Oxz ) vuông góc với mặt phẳng (Oyz ).
là
Mặt phẳng (Oxz ) vuông góc với mặt phẳng chứa bức tường chứa hai

V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
(): Ax + By + Cz + D = 0 và (): A'x + B'y + C'z + D' = 0
với các vectơ pháp tuyến = (A; B; C ) và = (A' ; B' ; C' ) tương ứng.
Nếu hai mặt phẳng () và () song song/trùng nhau/cắt nhau thì các
vectơ pháp tuyến , có mối quan hệ gì?
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
(): Ax + By + Cz + D = 0 và (): A'x + B'y + C'z + D' = 0
với các vectơ pháp tuyến = (A; B; C ) và = (A'; B'; C' ) tương ứng. Khi đó:
 () // ()  = k. và D' k.D (với k 0).
 () ()  = k. và D' = k.D (với k 0).
 () cắt ()  k. (với k  ).

Hai mặt phẳng song song/trùng nhau có cùng vectơ pháp
tuyến.

11

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
(): , (): .
Hỏi () và () có song song với nhau hay không?

Các mặt phẳng trên có vectơ pháp tuyến tương ứng là ,
Ta có: và nên () // ()

10

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
(): 5x + 2y – 4z + 6 = 0, (): 10x + 4y – 2z + 12 = 0.
a) Hỏi () và () có song song với nhau hay không?
b) Chứng minh rằng điểm M (1; –3; 5) không thuộc mặt phẳng ()
nhưng thuộc mặt phẳng ().
c) Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua M và song song với ().

a) = (5; 2; –4) và = (10; 4; –2) không cùng phương nên () và () cắt nhau.
b) 5.1+2.(–3) –4.5 + 6 = –15 0 và 10.1 + 4.(–3) – 2.5 + 12 = 0 M (), M ().
c) Mặt phẳng (P ) đi qua M (1; –3; 5) và nhận = (5; 2; –4) làm vectơ pháp
tuyến nên có phương trình là
5(x – 1) + 2(y + 3) – 4(z – 5) = 0  5x + 2y – 4z + 21 = 0.

Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh.
Trong không gian Oxyz, người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí
sinh điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán,
Ngữ văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.
a) CMR các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số
điểm ba môn thi bằng 27 cùng thuộc mặt phẳng có phương trình x
+ y + z – 27 = 0.
b) CMR tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau
sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi
bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng
đó.

a) Mỗi thí sinh có điểm thi Toán, Văn, Tiếng Anh tương ứng là 27 thì x + y + z
= 27. Do đó các điểm biểu diễn các thí sinh có tổng điểm bằng 27 đều cùng
thuộc mặt phẳng có phương trình x + y + z – 27 = 0.

Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh.
Trong không gian Oxyz, người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí
sinh điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán,
Ngữ văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.
a) CMR các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số
điểm ba môn thi bằng 27 cùng thuộc mặt phẳng có phương trình x
+ y + z – 27 = 0.
b) CMR tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau
sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi
bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng
đó.

b) Các mặt phẳng song song với nhau vì các mặt phẳng đó đều có vectơ
pháp tuyến là = (1; 1; 1).

Trong không gian Oxyz, cho điểm M (x0; y0; z0) và mặt
phẳng (P ): Ax + By + Cz + D = 0 và có vectơ pháp
tuyến = (A; B; C ). Gọi N là hình chiếu vuông góc của
M trên (P ).
a) Giải thích vì sao tồn tại số k để = k.. Tính
tọa độ điểm N theo k, tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.
b) Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P ) để từ đó
tính k theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.
c) Từ = k., hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M
và hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm
M đến mặt phẳng (P ).
a) Vì và là hai vectơ cùng phương nên tồn tại k để = k. Khi đó:
N (kA + x0; kB + y0; kC + z0).
 Ax 0  By 0  Cz0  D
b) Ta tính được:k 
A2  B 2  C 2

Ax 0  By 0  Cz 0
Ax 0  By 0  Cz0
d M , P  
c) Ta có:MN 
. Khi đó:
.
2
2
2
2
2
2
A  B C
A  B C

VI. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M (x0; y0; z0) đến mặt
phẳng (P ): Ax + By + Cz + D = 0 là:
d M , P  

Ax 0  By 0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ điểm M (1; 2; –1) đến
mặt phẳng (P ): x + 2y – 2z + 5 = 0.
Khoảng cách từ điểm M (1; 2; –1) đến mặt phẳng (P ): x + 2y – 2z + 5
= 0 là:
1.1  2.2   2.  1  5
d M , P  
4
2
2
2
1  2   2

11

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P ): x + 3y + z + 2
= 0 và mặt phẳng (Q ): x + 3y + z + 5 = 0.
a) Chứng minh rằng (P ) và (Q ) song song với nhau.
b) Lấy một điểm thuộc (P ), tính khoảng cách từ điểm đó đến
(Q ). Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P ) và (Q ).

a) Một vectơ pháp tuyến của (P ) là = (1; 3; 1), vectơ này cũng là một vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng (Q ), mặt khác có A (0; –1;1) thuộc (P ) nhưng
không thuộc (Q ), do đó (P ) // (Q ).
b) Khoảng cách giữa (P ) và (Q ) bằng khoảng cách giữa điểm A và (Q ), do
vậy khoảng cách cần tìm bằng

d (P ), (Q )  d A, (Q )  

0  31 5

3

3 11


.
11
1 9 1
11

Góc quan sát ngang của một camera là 115°. Trong không gian với
hệ trục tọa độ Oxyz, camera được đặt tại điểm C (1; 2; 4) và chiếu
thẳng về phía mặt phẳng (P ): x + 2y + 2z + 3 = 0. Hỏi vùng quan
sát được trên mặt phẳng (P ) của camera là hình tròn có bán kính
bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

d C , P  

1 4  8  3

16
 .
3
1 4  4

Gọi H là chân đường cao kẻ từ C đến (P ).
Khi đó, bán kính hình tròn là
16
115

R HA CH .tan ACH  tan
 8, 4.
3
2