CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI
TRƯỜNG THPT PHẠM HỒNG THÁI
GIÁO VIÊN: TẠ LÊ HAI ANH
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
1. Phương trình dạng
(a, b, c, d, e là các hằng số, c > 0; d  0)
Điều kiện (a+cx)(b-cx)  0 và a + b  0
Đặt t = ; t  0  (2)
*) xét điều kiện đối với t
Từ (2)  t 
Do t2- a - b =  (a + cx) + (b - cx)
= a + b
 t2  2(a + b)  t 
Vậy  t 
*) Khi đó phương trình (1) trở thành
2t + d(t2 – a - b) = 2e.
Ví dụ 1: Cho phương trình
a. Giải phương trình với m = 2.
b. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm
Lời giải:
Điều kiện  -1  x  3
Đặt t = , 2  t  (4)
 hay
a. Với m = 2 phương trình (3) trở thành 2t – (t2 – 4) = 4
 t2 – 2t = 0 

+) t = 0 không thoả mãn điều kiện (4)
+) t = 2  = 2
(x + 1)(3 – x) = 4
 thoả mãn điền kiện
Vậy với m = 2 phương trình (3) có hai nghiệm x = -1 và x =3.
b. phương trình (3) trở thành
2t – (t2 - 4) = 2m
 t2 – 2t +2m - 4 = 0
phương trình có  = 5 - 2m  0 thì phương trình có hai nghiệm
t1 =
t2 = (không thoả mãn điều kiện (4))
Để phương trình (3) có nghiệm thì


Vậy với thì phương trình (3) có nghiệm.
2. Phương trình dạng

(a, b, c, d là hằng số, a  0)
Điều kiện x  b
Đặt t = , t  0  x = t2 + b
Phương trình (5) trở thành

 (6).
Xét hai trường hợp:
+) t  a thì phương trình (6) trở thành
2t = ct2 +bc + d  ct2 - 2t +bc + d = 0
+) 0  t < a thì phương trình (6) trở thành
2a = ct2 +bc + d  ct2 - 2a +bc + d = 0.
Ví dụ 2: Cho phương trình
a. Giải phương trình với m = 23.
b. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm
Lời giải:
Điều kiện x - 9  0  x  9.
đặt t = thì x = t2 + 9
phương trình (7) trở thành




a. Khi m = 23 phương trình (7) trở thành
  

vậy với m = 23 phương trình (7) có 3 nghiệm x = 73; x = 25;
x = 13.
b.Với t  3 thì phương trình t2 -12t + 9 + m = 0
có  = 27 – m
để phương trình có nghiệm    0  m  27.
Với 0  t < 3 thì phương trình t2 -27+ m = 0
để phương trình có nghiệm  27 - m  0
 m  27.
Vậy với m  27 thì phương trình (7) có nghiệm
3.Phương trình dạng
(a, c  0)
Lời giải:
(1) 


Ví dụ 1: Giải phương trình

Lời giải :
(2) 


 


Vậy phương trình có tập nghiệm là

Ví dụ 2: Giải phương trình

Lời giải:
(3) 

Mà theo (3) thì phương trình (4) trở thành






Vậy phương trình có tập nghiệm là
4.Các phương trình khác
Ví dụ 1: Giải phương trình
Lời giải : ĐK x  -3
Nhận thấy x=-3 không phải nghiệm của phương trình nên
(1) 

Nhân hai vế phương trình (1’) với ta được

Nhận thấy x=0 là một nghiệm của phương trình (1)
Với x  0 chia hai vế cho x2 ta được


Vậy phương trình (1) có nghiệm x=0 và
Ví dụ 2: Giải phương trình

Lời giải : ĐK
(2) 



Nhân hai vế phương trình (2’) với ta được










Vậy phương trình (2) có một nghiệm x =1
Ví dụ 3: Giải phương trình

Lời giải: Đk x  -3 và x  0
(3) 

Nhân hai vế phương trình với ta được pt





Phương trình(3’’) có nghiệm x = 1
pt(3’’’)  
vônghiệm
Vậy phương trình (3) có một nghiệm x = 1
Ví dụ 4: Giải phương trình
Lời giải: ĐK x  -3
Nhận thấy x = -3 không phải là nghiệm của phương trình (4)
(4) 

Nhân 2 vế của phương trình (4’) với ta có
(4’) 





Vậy phương trình có 2 nghệm x = 1 và x = -2
Ví dụ 5: Giải phương trình
Lời giải: Đk

(5) 







Kết hợp với đk thì phương trình (5) có 3 nghiệm
Ví dụ 6: Giải phương trình
Lời giải: vì x = -1 không là nghiệm của phương trình (6) nên
(6)








Phương trình (6’) có nghiệm , phương trình (6’’) vô nghiệm
Vậy phương trình (6) có 2 nghiệm

Ví dụ 7: Giải phương trình sau:
Lời giải: điều kiện x  -1













Phương trình (7’) có nghiệm

Phương trình (7’’)
(vô nghiệm)
Vậy phương trình (7) có 2 nghiệm
BÀI TẬP :
Bài 1: Giải các phương trình sau
a.
b.
c.
Bài 2:Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm
a.
b.
c.
Bài 3 : Giải các phương trình sau
a.
b.
c.
Tiết học dừng ở đây
Cám ơn các thầy cô và các em