CHƯƠNG III: DÃY SỐ ? CẤP SỐ CỘNG ? CẤP SỐ nhânBài 1: Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC
* Bài toán mở đầu:
I/ Phương pháp quy nạp toán học:
II/ Ví dụ:
* Chú ý:
* Bài thu hoạch:
BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
Chứng minh rằng�:
1 + 2 + 3+ ... + n = , ? n ?N*


Bằng các phương pháp đã biết ,chúng ta khó có thể chứng minh được vì ở đây số n là không cố định và vô hạn.
I/ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC�
Để chứng minh một mệnh đề đúng ?n?N*� ta tiến hành 2 bước như sau�:

* Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

* Bước 2: Ta giả thiết mệnh đề đúng tới một số tự nhiên bất kỳ
n = k ? 1.
- Từ giả thiết đó, ta chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.
- Như vậy mệnh đề đúng ? n?N* (Vì chúng ta lấy k bất kỳ)

@ Phương pháp trên gọi là phương pháp quy nạp toán học
II/ VÍ DỤ: GIẢI BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
Chứng minh rằng�:

1 + 2 + 3+ ... + n = , ? n ?N*


Chứng minh  1 + 2 + 3+ ... + n = , ? n ?N* (1)
* Kiểm tra n = 1: ta có 1 = 1 (Đúng).
* Giả sử (1) đúng với n = k ? 1�:

1 + 2 + 3 +.....+ k =

- Ta chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1.
Tức cần CM: 1 + 2 + 3+.....+ k + (k +1) =
- Thật vậy do (1) đúng với n = k nên:
1 + 2 + 3+.....+ k + (k +1) = + (k+1)



Vậy mệnh đề đúng ?n?N*
CHÚ Ý�
@ Nếu phải CM một mệnh đề đúng ? n ? p
(p ?N, p ? 1) thì�:
* Bước 1: Ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.

* Bước 2: Ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ? p. Ta chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.

Như vậy mệnh đề đúng ? n ? p
Chứng minh�:  3n > 3n + 1 , ? n ?N và n ? 2 (2)
GIẢI
* Kiểm tra n = 2: Ta có 32 > 3.2 +1 (Đúng)
* Giảthiết (2) đúng với n = k ? 2�:
3k > 3k + 1 (*)
- Ta chứng minh (2) cũng đúng với n = k +1.
Tức cần CM: 3(k + 1) > 3(k+1) +1
Thật vậy do (2) đúng với n = k nên :
Nhân hai vế của (*) với 3, ta được:
3k+1 > 9.k + 3 = 3k + 4 + 6k-1 > 3k + 4 (vì 6k ? 1 > 0)
Hay 3k+1 > 3k + 4 = 3(k+1) + 1
* Vậy mệnh đề đúng ? n? N, n ? 2
Bài thu hoạch: Chứng minh:  (1 + a)n > na nếu a > 1, ? n ?N* (3)
Giải:
+ Kiểm tra với n =1: Ta có 1+ a > a (đúng)
+ Giả sử (3) đúng tới n = k > 1 bất kỳ:
Tức: (1 + a)k > ka (*)
* Ta chứng minh (3) cũ�ng đúng với n = k +1.
Nghĩa là cần CM: (1 + a)k+1 > (k+1)a
Thật vậy: Nhân hai vế của (*) cho (1+ a):
(1 + a)k.(1+a) > ka.(1+a)
(1 + a)k+1 > ka + ka2 = ka + a + (ka2 ? a)
(1 + a)k+1 > ka + a + (ka2 ? a)> ka + a = (k+1)a
Vây (1 + a)n > na nếu a > 1, ? n ?N*