§2
§3
§4
§1
Xét hai mệnh đề chứa biến :
P(n) : “ 3n < n + 100 ” và Q(n) : “ 2n > n ” với nN*
a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai ?
b) nN* thì P(n), Q(n) đúng hay sai ?
P(n) : “ 3n < n + 100 ”

Q(n) : “ 2n > n ”

a) n = 1 : 2 > 1 (Đ)
n = 2 : 4 > 2 (Đ)
n = 3 : 8 > 3 (Đ)
n = 4 : 16 > 4 (Đ)
n = 5 : 32 > 5 (Đ)
a) n = 1 : 3 < 101 (Đ)
n = 2 : 9 < 102 (Đ)
n = 3 : 27 < 103 (Đ)
n = 4 : 81 < 104 (Đ)
n = 5 : 243 < 105 (S)
b)  n  N* thì P(n) sai,
vì khi n = 5 thì P(5) sai.
b) Q(n) có đúng với n  N* hay không vẫn chưa kết luận được, vì ta không thể thử trực tiếp với mọi n.
§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Bước 1
Bước 2
Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k  1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.
I. Phương pháp quy nạp toán học
Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
II. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với n  N* thì
1 + 3 + 5 + … + (2n -1) = n2 (1)
Giải
Bước 1. Khi n = 1, VT chỉ có một số hạng bằng 1, VP = 12. Vậy hệ thức (1) đúng.
Bước 2. Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k  1, nghĩa là
1 + 3 + 5 + … + (2k -1) = k2 (giả thiết qui nạp).
Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là 1 + 3 + 5 + … +(2k – 1)+[2(k + 1)-1]=(k + 1)2.
Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + [2(k + 1) -1] = k2 + [2(k + 1) -1] = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2.
Vậy hệ thức (1) đúng với mọi n  N*.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với n  N* thì n3 – n chia hết cho 3.
Giải
Đặt An = n3 – n.
Bước 1. Với n = 1, ta có A1 = 0 nên A1 chia hết cho 3.
Bước 2. Giả sử với n = k ta có Ak = k3 – k chia hết cho 3 (giả thiết qui nạp).
Ta phải chứng minh Ak+1 chia hết cho 3. Thật vậy, ta có Ak+1 = (k + 1)3 – (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 – k – 1
= (k3 - k) + (3k2 + 3k) = Ak + 3(k2 + k).
Theo giả thiết qui nạp ta có Ak chia hết cho 3, hơn nữa, 3(k2 + k) chia hết cho 3 nên Ak+1 chia hết cho 3.
Vậy An = n3 – n chia hết cho 3.
 Chú ý
Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số
tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên ) thì :
Ở bước 1. Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.
Ở bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  p, chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1.
Ví dụ 3. Cho hai số 3n và 8n với n N*
a) So sánh 3n và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.
b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng qui nạp.
Ví dụ 3. Cho hai số 3n và 8n với n N*
a) So sánh 3n và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.
b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng qui nạp.
Chứng minh rằng 3n > 8n với mọi n  3.
Giải
Bước 1. Khi n = 3 ta có 33 = 27 > 24 = 8.3
Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k  3, nghĩa là 3k > 8k.
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là 3k+1 > 8(k+1).
Thật vậy, ta có 3k+1 = 3.3k. Mà theo giả thiết qui nạp ta có 3k > 8k nên 3k+1 > 3.8k = 24k = 8k + 16k. Vì k  3 nên 16k  48.
Do đó 3k+1 > 8k + 16k > 8k + 48 > 8k + 8 = 8(k + 1).
Vậy 3n > 8n với mọi n  3.