Buổi 3
Ứng dụng Tích phân
1) Tính diện tích hình phẳng
a) Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành






Ứng dụng Tích phân
(trục hoành)
1) Tính diện tích hình phẳng
a) Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Chú ý:
Nếu trên đoạn [a; b] hàm số f(x) không đổi dấu thì


Nếu trên khoảng (a; b) phương
trình f(x) = 0 có nghiệm c, d thì



Ứng dụng Tích phân
1) Tính diện tích hình phẳng
a) Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:


Lời giải





Ứng dụng Tích phân
1) Tính diện tích hình phẳng
b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong






Ứng dụng Tích phân
1) Tính diện tích hình phẳng
b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:


Lời giải
a)

b) Phương trình hđgđ:


Ứng dụng Tích phân
1) Tính diện tích hình phẳng
b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Chú ý 1: Khi so sánh với dạng chuẩn (hình phẳng giới hạn bởi các đường x = a, x = b, y = f(x) và y = g(x)), nếu thiếu cận thì cận còn thiếu sẽ được xác định thông qua việc giải phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x) và:
+ Cận dưới a chính là nghiệm nhỏ nhất của phương trình f(x) = g(x).
+ Cận trên b chính là nghiệm lớn nhất của phương trình f(x) = g(x).
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
Lời giải
Phương trình hđgđ: (cận dưới).

Ứng dụng Tích phân
1) Tính diện tích hình phẳng
b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Chú ý 2: Một số trường hợp (thường là hình phẳng giới hạn bởi nhiều hơn hai đồ thị và việc dựng các đồ thị này là tương đối dễ dàng) ta nên kết hợp với việc vẽ đồ thị để phân chia thành các hình phẳng đơn giản.
Ứng dụng Tích phân
1) Tính diện tích hình phẳng
b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường
Lời giải
Ta có:





Ứng dụng Tích phân
H1
H2
0
4
6

Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
a) Thể tích của vật thể

Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
a) Thể tích của vật thể
Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = -1 và x = 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là một hình vuông có cạnh là
Lời giải
Diện tích thiết diện:
Áp dụng công thức (3), ta được:

(đvtt).


Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
a) Thể tích của vật thể
Ví dụ 2: Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h.
Lời giải
Chọn trục Ox song song với đường
cao của khối lăng trụ, còn hai đáy
nằm trong hai mặt phẳng vuông góc
với Ox tại x = 0 và x = h.
Áp dụng công thức (3) ta có:




O

Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
b) Thể tích khối tròn xoay
Hình phẳng quay quanh trục hoành:








Khi cho (H) quay quanh Ox, ta được vật thể tròn xoay có thể tích:



Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
b) Thể tích khối tròn xoay
Hình phẳng quay quanh trục tung:








Khi cho (H) quay quanh Oy, ta được vật thể tròn xoay có thể tích:



Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
b) Thể tích khối tròn xoay
Ví dụ 1. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:

Lời giải
a) Áp dụng công thức (4), ta được:



b) Phương trình hđgđ của đồ thị hai hàm số:
Do đó (H) chính là hình phẳng giới hạn bởi các đường x = -1, x = 1,
. Áp dụng công thức (4), ta được:


Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
b) Thể tích khối tròn xoay
Ví dụ 2. Một khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h. Tính thể tích V của khối chỏm cầu đó theo R và h.
Lời giải
Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ
Chỏm cầu bán kính R, chiều cao h là khối
tròn xoay thu được khi quay hình phẳng
(H) giới hạn bởi các đường: x = R - h

quanh trục Ox, do đó áp dụng (4), ta được:


Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
b) Thể tích khối tròn xoay
Ví dụ 3. Cho hình phẳng (B) giới hạn bởi các đường y = 1, y = 8,
và trục Oy. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (B) quanh trục tung.
Lời giải




Áp dụng công thức (5), ta được:


Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
b) Thể tích khối tròn xoay
Ví dụ 4. Cho hình phẳng A giới hạn bởi đường cong có phương trình và các đường thẳng y = 2, x = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A:
a) Quanh trục hoành; b) Quanh trục tung.
Lời giải
a) Hoành độ giao điểm của đường cong
và đường thẳng y = 2 là
nghiệm phương trình
Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo
thành khi quay A quanh trục hoành thì
dễ thấy , trong đó:

Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
b) Thể tích khối tròn xoay
Lời giải








Vậy:

Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
b) Thể tích khối tròn xoay
Lời giải
b) Gọi V’ là thể tích khối tròn xoay tạo
thành khi quay A quanh trục tung.
Ta có:





Ứng dụng Tích phân
3) Tính quảng đường đi được
Chú ý: Kí hiệu s(t), v(t) và a(t) lần lượt là quảng đường, vận tốc và
gia tốc của vật. Khi đó ta có mối liên hệ:
Ví dụ 1. Một vật chuyển động với gia tốc
. Khi t = 0 thì vận tốc của vật là . Tính quảng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (m là mét, s là giây).
Lời giải
Vận tốc của vật:
Theo bài ra:
Quảng đường cần tính là:

Ứng dụng Tích phân
3) Tính quảng đường đi được
Ví dụ 2. Một ô tô đang chạy với vận tốc 36km/h thì tăng tốc chuyển
động nhanh dần đều với gia tốc Tính quãng
đường mà ô tô đi được sau 6s kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
Lời giải
Đổi 36km/h = 10m/s. Chọn mốc thời gian là lúc ôtô bắt đầu tăng tốc
Vận tốc của vật:
Theo bài ra:
Quảng đường cần tính là:

TIẾT HỌC ĐÃ KẾT THÚC
BUỔI HỌC ĐÃ KẾT THÚC
CHÚC CÁC EM HỌC TỐT!