1
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
Tiết 55
GIẢI TÍCH 12
Tính diện tích hình phẳng
Tính thể tích
Thể tích của khối tròn xoay
Kiến thức chuẩn bị
2. Cho hàm số y= f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục ox, đường thẳng x = a, x =b là S khi đó
1. Cho hàm số y = f(x) liên trên đoạn [a; b] tích phân của f(x) từ a đến b là hiệu của F(a) – F(b), với F(x) là 1 nguyên hàm của f(x).
3
Ví dụ 1.
a) Hãy tính diện tích S1 của hình thang vuông giới hạn bởi các đường thẳng :
y = 2x + 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5
b) Hãy so sánh diện tích với diện tích S2 của hình phẳng giới hạn bởi y = -2x - 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5
Nhận xét S1 = S2. Do hai đường thẳng y = -2x -1
và y = 2x +1 đối xứng nhau qua ox

S2 =
Lời giải
 
 
Nếu tính
4
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Nếu f(x) ≤ 0 trên đoạn [a;b]
.
liên tục trên đoạn
Nếu f(x) ≥ 0 trên đoạn [a; b]
-f(x)
f(x)
5
Tổng quát
Cho (C) : y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và 2 đường thẳng x=a ; x=b có diện tích S được tính theo công thức :
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3, y = 0, x = - 1, x= 2
Giải:
Cách 1
 
 
 
 
+ Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi ĐT của hs f(x) liên tục, trục hoành và 2 đường thẳng x=a ; x=b là :
 
Dễ thấy x3 ≤ 0 trên đoạn [-1;0]
và x3 ≥ 0 trên đoạn [0;2]
nên ta có
Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
các đường y = x3, y = 0, x = -1,x =2
Giải:
Cách 2
 
Bảng xét dấu
Dt hình phẳng cần tính là:
Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
y= x3, y = 0, x = -1, x = 2
Giải:
Cách 3
Chú ý 1: Nếu f(x) không đổi dấu trên đoạn [a;b] thì

 
Dt hình phẳng cần tính là:
 
 
 
 
 
 
Trong ví dụ 1 ta có
2. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 2 đuờng cong.
Cho hai hàm số y=f(x), y = g(x) liên tục trên [a;b]
Trong trường hợp f(x) ≥ g(x) x[a;b], diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y= f(x), y=g(x), x=a, x=b là:
Trong trường hợp tổng quát ta có công thức
.
Chú ý 2
Nếu trên khoảng (a; b) phương trình f(x) = 0 có nghiệm c, d thì



Ví dụ 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng
x = 0, x =  và đồ thị của 2 hàm số : y = sinx , y = cosx .
Giải : Xét phương trình sinx = cosx  x = /4  [0; ]
Vậy diện tích hình phẳng là :
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong : y = x3 – x và y = x – x2.
Giải : Phương trình hoành độ giao điểm
x3 – x = x – x2  x3 + x2 – 2x = 0  x = -2 ; x = 0 ; x = 1
Vậy diện tích hình phẳng là :
13

Củng cố:


S1
S2
 
Củng cố
y = f(x)
y = g(x)
y = g(x)
y = f(x)
15
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1 : Cho đồ thị hàm số y=f(x). Diện tích phần gạch trên hình là :
16
Câu 2 : diện tích hình phẳng phần bôi đen trong hình tính bằng công thức :
17
Các em có thể dùng MTCT tính nhanh tìm đáp án
Hướng dẫn học bài ở nhà
Làm bài tập 1,2,3 trang 123 SGK GT 12
Đọc phần II, III của bài.
18