CHƯƠNG I

§1. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

§2. Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

§3. Bài tập cuối chuyên đề 1

CHUYÊN ĐỀ I.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN
CHƯƠNG I

CHUYÊN ĐỀ I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

1

2

4

1

2

3

5

TOÁN ĐẠI SỐ

➉

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

1

Thuật ngữ

*Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn *Nghiệm của hệ phương trình bậc nhất *Phương pháp Gauss
Kiến thức kĩ năng

*Nhận biết hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. *Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss. *Tìm nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng máy tính cầm tay.
_Tình huống mở đầu:_

_:_
*Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là:
trong đó

là ba ẩn;

là các hệ số và

không đồng thời bằng 0.

Mỗi bộ ba số

thỏa mãn

gọi là một _nghiệm của phương trình bậc nhất ba ẩn _đã cho.
1. KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

*Xét hệ phương trình với ba ẩn
a) Mỗi phương trình của hệ trên có bậc mấy đối với các ẩn

HĐ1: Khái niệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

sau:
1. KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

*Xét hệ phương trình với ba ẩn
b) Thử lại rằng bộ ba số

HĐ1: Khái niệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

sau:

thỏa mãn cả ba phương trình của hệ.
1. KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

*Xét hệ phương trình với ba ẩn
c) Bằng cách thay trực tiếp vào hệ, hãy kiểm tra bộ ba số

HĐ1: Khái niệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

sau:

có thỏa mãn hệ phương trình đã cho không.
*_Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn_ là hệ gồm một số phương trình bậc nhất ba ẩn. Mỗi nghiệm chung của các phương trình đó được gọi là một _nghiệm của hệ phương trình_ đã cho. *Nói riêng, hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là
trong đó

là ba ẩn,

Các chữ số còn lại là các hệ số.

Trong mỗi phương trình, ít nhất một trong các hệ số

phải khác 0.
*Trong sách này ta chỉ xét các hệ phương trình có số phương trình bằng đúng số ẩn, nên từ nay về sau ta sẽ gọi tắt là _hệ phương trình bậc nhất ba ẩn_ (hay hệ bậc nhất ba ẩn) thay cho _hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn_.
Chú ý:

Chú ý:
*Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra bộ số
Chú ý:
Ví dụ 1.

có phải là một nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không?
Chú ý:
Ví dụ 1.

Hệ phương trình ở câu a) không phải là hệ phương trình bậc nhất vì phương trình thứ ba chứa

LỜI GIẢI
Chú ý:
Ví dụ 1.

Hệ phương trình ở câu b) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.

Thay

vào các phương trình trong hệ ta được

Do đó,

là một nghiệm của hệ.

LỜI GIẢI
*Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra bộ số
Chú ý:
LUYỆN TẬP 1.

có phải là một nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không?
Chú ý:

Hệ phương trình ở câu a) không phải là hệ phương trình bậc nhất vì phương trình thứ ba chứa

LỜI GIẢI
LUYỆN TẬP 1.
Chú ý:

Hệ phương trình ở câu b) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.

Thay

vào các phương trình trong hệ ta được

Do đó,

là một nghiệm của hệ.

LỜI GIẢI
LUYỆN TẬP 1.
2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GAUSS

*Cho hệ phương trình
- Phương trình đầu có đủ ba ẩn

*Phương trình hai có hai ẩn

khuyết ẩn *Phương trình ba có một ẩn

khuyết hai ẩn

Hệ phương trình bên được gọi là hệ phương trình ba ẩn dạng tam giác.
HĐ2: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tam giác
2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GAUSS

*Cho hệ phương trình
HĐ2: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tam giác

*Trước hết ta giải từ phương trình chứa một ẩn, *Sau đó thay giá trị tìm được của ẩn này vào phương trình chứa hai ẩn để tìm giá trị của ẩn thứ hai, *Cuối cùng thay các giá trị tìm được vào phương trình còn lại để tìm giá trị của ẩn thứ ba.
Chú ý:
Ví dụ 2.

Giải hệ phương trình:

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là

Từ phương trình thứ ba ta có

Thay

vào phương trình thứ hai ta có

Với

thay vào phương trình thứ nhất ta được
Chú ý:
LUYỆN TẬP 2.

Giải hệ phương trình:

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là

Từ phương trình thứ nhất ta có

Thay

vào phương trình thứ hai ta có

Thay

vào phương trình thứ ba ta được
2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GAUSS

*Cho hệ phương trình
Để giải một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, ta đưa hệ đó về một hệ đơn giản hơn (thường có dạng tam giác), bằng cách sử dụng các phép biến đổi sau đây:

*Nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số khác 0. *Đổi vị trí hai phương trình của hệ
HĐ3: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GAUSS

*Cho hệ phương trình
*Cộng mỗi vế của một phương trình (sau khi đã nhân với một số khác 0) với vế tương ứng của một phương trình khác để được phương trình mới có số ẩn ít hơn.

Từ đó ta có thể giải hệ phương trình đã cho. Phương pháp này gọi là phương pháp Gauss.
HĐ3: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
Johann Carl Friedrich Gauss (1977-1855), nhà toán học và vật lí người Đức, là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất trong lịch sử.
Chú ý:
Ví dụ 3.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss:

*Nhân hai vế của phương trình (1) với

rồi cộng với phương trình (2) theo từng vế tương ứng ta được hệ:
Chú ý:
Ví dụ 3.

*Nhân hai vế của phương trình (1) của hệ (II) với

rồi cộng với phương trình (3) theo từng vế tương ứng ta được hệ:
*Nhân hai vế của phương trình (1) với

rồi cộng với phương trình (2) theo từng vế tương ứng ta được hệ:
Chú ý:
Ví dụ 3.

*Nhân hai vế của phương trình (1) của hệ (II) với

Rồi cộng với phương trình (3) theo từng vế tương ứng ta được hệ:
*Nhân hai vế của phương trình (2) của hệ (III) với

rồi cộng với phương trình (3) theo từng vế tương ứng ta được hệ dạng tam giác:
Chú ý:
Ví dụ 3.

*Từ phương trình (3) có *Thay vào phương trình (2) được *Cuối cùng thay vào phương trình (1) được

Vậy nghiệm của hệ phương trình (I) là
*Nhân hai vế của phương trình (2) của hệ (III) với

rồi cộng với phương trình (3) theo từng vế tương ứng ta được hệ dạng tam giác:
Chú ý:
Ví dụ 3.

*Từ phương trình (3) có *Thay vào phương trình (2) được *Cuối cùng thay vào phương trình (1) được

Vậy nghiệm của hệ phương trình (I) là
Chú ý:
Ví dụ 4.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss:

*Đổi chỗ phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai của hệ ta được hệ phương trình:
Chú ý:
Ví dụ 4.

*Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với

Rồi cộng với phương trình hai theo từng vế tương ứng ta được hệ:
*Đổi chỗ phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai của hệ ta được hệ phương trình:
Chú ý:
Ví dụ 4.

*Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với

rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ:
*Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với

Rồi cộng với phương trình hai theo từng vế tương ứng ta được hệ:
Chú ý:
Ví dụ 4.

*Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với

rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ:
*Từ hai phương trình cuối ta suy ra:

Vậy hệ phương trình ban đầu vô nghiệm.
(Vô lý)
Chú ý:
Ví dụ 5.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss:

*Đổi chỗ phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai của hệ ta được hệ phương trình:
Chú ý:
Ví dụ 5.

*Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với

Rồi cộng với phương trình hai theo từng vế tương ứng ta được hệ:
*Đổi chỗ phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai của hệ ta được hệ phương trình:
Chú ý:
Ví dụ 5.

*Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với

rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ:
*Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với

Rồi cộng với phương trình hai theo từng vế tương ứng ta được hệ:
Chú ý:
Ví dụ 5.

*Nhận thấy phương trình thứ hai và phương trình thứ ba giống nhau.

Vậy ta có hệ phương trình hình thang

Vậy hệ phương trình ban đầu vô số nghiệm.
*Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với

rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ:
Chú ý:
Ví dụ 5.

*Nhận thấy phương trình thứ hai và phương trình thứ ba giống nhau.

Vậy ta có hệ phương trình hình thang

Vậy hệ phương trình ban đầu vô số nghiệm.
Chú ý:
Ví dụ 5.

*Nhận thấy phương trình thứ hai và phương trình thứ ba giống nhau.

Vậy ta có hệ phương trình hình thang

Vậy hệ phương trình ban đầu vô số nghiệm.
*Từ phương trình thứ hai của hệ ta được:

- Thế vào phương trình thứ nhất ta được:

- Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là: