TỔ HỢP - XÁC SUẤT

_Bài 1._

HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

TOÁN 11 CHƯƠNG II
_QUY TẮC ĐẾM_

_Nhắc lại tập hợp:_

Số phần tử của tập hợp hữu hạn A được kí hiệu là n(A) hoặc |A|

Ví dụ : Cho A={1;2;3;4;5;6} ; B= {2;4;6;8}

Dùng kí hiệu viết số phần tử của các tập hợp sau:

*A;B

b)
_Giải_

a) n(A) = 6; n(B) = 4

b)

CÁCH KÍ HIỆU SỐ PHẨN TỬ CỦA MỘT TẬP HỢP
Người ta dùng hai kí hiệu _n(A) _hoặc_ |A|_
VD: Nếu A={a;b} và B={1;a;b}, ta viết
+ Số phần tử tập hợp A là _n(A)= 2 hoặc |A|=2_
_+ Số phần tử tập hợp B là n(B)=3 hoặc |B|=3_
_ AB={1} thì ta viết thì ta viết số phần tử của tập hợp AB là n(AB)=1 hoặc |AB|=1_
ĐẶT VẤN ĐỀ
VD1: Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu. Mỗi câu có 4 phương án trả lời. Hỏi bài thi đó có bao nhiêu phương án?
_=> 10.4=40 phương án_
VD2: Lớp 11/11 có 23 bạn nữ và 16 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn để thi văn nghệ học đường?
_=> TH1: Nữ có 23 cách_
_ TH2: Nam có 13 cách_
_ 23+16=39 cách chọn_
QUY TẮC NHÂN

QUY TẮC CỘNG

?

I. QUY TẮC CỘNG
I. QUY TẮC CỘNG
VD: Trong một hợp chứa năm quả cầu màu vàng được đánh số từ 1 đến 5 và năm quả cầu màu đỏ được đánh số từ 6 đến 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một quả cầu trong các quả cầu ấy?
_TH1: Chọn quả màu vàng 5 cách_
_TH2: Chọn quả màu đỏ 5 cách_
_--> Số cách chọn một trong_
_ các quả cầu là 5 + 5 = 10 cách._
3

4

5

7

8

9

10

1

2

6

I. QUY TẮC CỘNG
Quy tắc cộng:
Giả sử một công việc bởi một trong hai hành động

(hoặc hành động A hoặc hành động B).

Nếu hành động A có _m_ cách thực hiện, hành động B

có _n_ cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào

của hành động A thì công việc đó có thể

thực hiện bởi _m + n _ cách thực hiện.

I. QUY TẮC CỘNG
Quy tắc cộng giữa số phân tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau, được phát biểu như sau:
_Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau, thì: _
I. QUY TẮC CỘNG
Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.
Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong _k_

phương án _A1, A2, ...,Ak_. Có _n1_ cách thực hiện phương

án _A1_, có _n2_ cách thực hiện phương án _A2_, ..., có _nk_

cách thực hiện phương án _Ak. _Khi đó công việc có thể thực

hiện bởi _n1 + n2 + ... + nk _cách.

I. QUY TẮC CỘNG
VD: Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách đề tài bao gồm: 5 đề tài về lịch sử, 12 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 7 đề tài về văn hóa. Mỗi thí sinh được quyền chọn một đề tài. Hỏi bạn Minh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài?
*_TH1: Lịch sử 5 cách chọn TH2: TN 12 cách chọn _

_TH3: Con người 10 cách chọn TH4: VH 7 cách chọn_
_ Theo quy tắc cộng ta có: 5 + 12 + 10 + 7 = 34 cách chọn_
_Vậy bạn Minh có 34 khả năng lựa chọn đề tài._
I. QUY TẮC CỘNG
VD: Trong lớp 11/11 có 28 học sinh tham gia câu lạc bộ Tự nhiên và 14 học sinh tham gia câu lạc bộ Xã hội, không có học sinh cùng tham gia hai câu lạc bộ và mỗi học sinh đều tham gia một câu lạc bộ. Hỏi lớp 11CB6 có bao nhiêu học sinh?
_=> TH1: Học sinh tham gia CLB Tự nhiên n(A)=28_
_ TH2: Học sinh tham gia CLB Xã hội n(B)=14_
_ Theo quy tắc cộng ta có: n(A)+n(B)=42 học sinh_
_Vậy lớp 11/11 có 42 học sinh._
Ví dụ 2: Có bao nhiêu hình vuông trong hình bên ?

?
1 cm
1

2

1

3

4

5

6

7

8

9

10

2

3

4

Tổng số hình vuông là: 10 + 4 = 14 (hv)

Loại 1: Cạnh có độ dài 1cm là 10(hv)

Loại 2: Cạnh có độ dài 2cm là 4(hv)

c c
_QUY TẮC ĐẾM_

_Ví dụ 3 :_ Có 5 viên bi xám, 2 viên bi trắng, và 4 viên bi đen.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 viên bi trong số các viên bi đó?

Giải

Số cách chọn một viên bi xám là 5

Số cách chọn một viên bi trắng là 2

Số cách chọn một viên bi đen là 4

Vậy theo quy tắc cộng số cách chọn 1 viên bi trong số các viên bi đó là : 5+2+4 = 11 cách

Mở rộng Quy tắc: Nếu A , B, C là các tập hợp hữu hạn, đôi một không giao nhau thì: n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C)
_QUY TẮC ĐẾM_

_Ví dụ 4_: Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có bao nhiêu cách chọn một số hoặc là số chẵn, hoặc là số chia hết cho 3?

_Gợi ý:_

Gọi A = { tập hợp các số chẵn}

B={Tập hợp các số chia hết cho 3}

Khi đó: n(A) =?

n(B)=?

n( )=?

Số cách chọn cần tìm là?

NXét. Nếu và là hai tập hợp hữu hạn và A B   thì:
A

B

A

B

n

phần tử

m

phần tử

Giả sử A và B là các tập hữu hạn , không giao nhau . Khi đó :

Nếu A và B là hai tập hữu hạn bất kì thì :

Tổng quát
_QUY TẮC ĐẾM_

BT3: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, có các chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1,2,3.

BT1: Trong một hộp chứa _năm_ quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 5, _ba _quả cầu vàng được đánh số từ 6 đến 8 và _sáu_ quả cầu đỏ được đánh số từ 9 đến 14. Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?

_ BT2 _: Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có bao nhiêu cách chọn một số hoặc là số lẻ, hoặc là số nguyên tố ?

BT4: Một lớp có 40 HS đăng kí chơi ít nhất 1 trong 2 môn thể thao bóng đá và cầu lông. Có 30 em đăng ký chơi môn bóng đá, 25 em đăng ký chơi môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký chơi cả 2 môn ?

LG – BT 1

LG – BT 2

LG – BT 3

LG – BT 4
_QUY TẮC ĐẾM_

_BT1: Trong một hộp chứa năm quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 5, ba quả cầu vàng được đánh số từ 6 đến 8 và sáu quả cầu đỏ được đánh số từ 9 đến 14._

_Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?_

9

10

11

12

13

14

1

2

3

4

5

6

7

8

Ta có: n(A)= 6; n(B) = 3 ; n(C) = 6

Số cách chọn một quả cầu là: 5 + 3 + 6 = 14 (cách)

A = { 1, 2, 3, 4, 5, } ; B = { 6, 7, 8 } ; C = { 9,10,11,12,13,14 }

VỀ ĐẦU
_QUY TẮC ĐẾM_

Gọi A={2,4,6,8}

B={2,3,5,7}

Khi đó: n(A) =4 ; n(B)=4

n( )=1

Số cách chọn cần tìm là: n( ) = n(A)+n(B) - n( )

= 4 + 4 – 1 = 7

_ BT2 : Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có bao nhiêu cách chọn một số hoặc là số chẵn, hoặc là số nguyên tố ?_

VỀ ĐẦU
_QUY TẮC ĐẾM_

_BT3: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, có các chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1,2,3._

_HĐ1_: Từ các chữ số 1,2,3 có thể lập được 3 số khác nhau có một chữ số là 1,2,3.

_HĐ2_: Từ các chữ số 1,2,3 có thể lập được 6 số khác nhau có hai chữ số là: 12,13,21,23,31,32.

_HĐ3_: Từ các chữ số 1,2,3 có thể lập được 6 số khác nhau có ba chữ số là:123,132,213,231,312,321

Các cách lập trên đôi một không trùng nhau. Vậy theo quy tắc cộng có 3+6+6=15 số số tự nhiên khác nhau có các chữ số khác nhau được lập từ ba chữ số : 1,2,3

VỀ ĐẦU
_QUY TẮC ĐẾM_

_BT4: Một lớp có 40 HS đăng kí chơi ít nhất 1 trong 2 môn thể thao bóng đá và cầu lông. Có 30 em đăng ký chơi môn bóng đá, 25 em đăng ký chơi môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký chơi cả 2 môn ?_

Gọi A = { HS đăng ký chơi bóng đá }  n(A) = 30

B = { HS đăng ký chơi cầu lông }  n(B) = 25

và : n(AB) = 40

Vậy có : n( A B) = n(A) + n(B) – n(AB)

= 30 + 25 – 40 = 15

( HS đăng ký chơi cả 2 môn)

VỀ ĐẦU
_QUY TẮC ĐẾM_

* Quy tắc cộng

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+ n cách thực hiện.

_* Cho A và B là các tập hợp hữu hạn và_

_Khi đó: _(1)
* Nếu và là hai tập hợp hữu hạn bất kì thì:
* Nếu là các tập hợp hữu hạn tuỳ ý đôi một không giao nhau thì:
II. QUY TẮC NHÂN II. QUY TẮC NHÂN
VD: Bạn Hoàng có hai cái áo khác màu và ba quần kiểu khác nhau. Hỏi bạn Hoàng có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo?
_=> Ta đặt: + Hai chiếc áo khác nhau là a, b_
_ + Ba quần kiểu khác nhau là 1, 2, 3_
_ Hành động 1: Chọn áo: 2 cách (chọn a hoặc b) _
_ Hành động 2: Chọn quần: 3 cách (chọn 1 hoặc 2 hoặc 3)_
_ Vậy chúng ta có 2.3=6 cách chọn một bộ quần áo_
II. QUY TẮC NHÂN
Quy tắc nhân
Nếu một công việc được thực hiện bằng hai hành

động liên tiếp nhau. Nếu có _m cách_ thực hiện hành

động thứ nhất, thì ứng với mỗi cách đó là _n cách_ thực

hiện hành động thứ hai thì công việc đó được thực

hiện bởi _m.n_ _cách_.

II. QUY TẮC NHÂN
Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động.
Giả sử một công việc nào bao gồm _k_ công đoạn _A1, A2,..,Ak._

Công đoạn _A1 _có thể thực hiện theo _n1 _cách, Công đoạn _A2 _

có thể thực hiện theo _n2 _cách, ..., Công đoạn _Ak _có thể thực

hiện theo _nk _cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo

n_1_n_2_...n_k_ cách.

II. QUY TẮC NHÂN
VD: Từ các chữ số 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau)?
=> Gọi _abcd_ là số có 4 chữ số lập từ các số 1, 3, 5, 7.
HĐ1: Chọn chữ số _a_ = {1, 3, 5, 7} --> 4 cách chọn
HĐ2: Chọn chữ số _b_ = {1, 3, 5, 7} --> 4 cách chọn
HĐ3: Chọn chữ số _c_ = {1, 3, 5, 7} --> 4 cách chọn
HĐ4: Chọn chữ số _d_ = {1, 3, 5, 7} --> 4 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có: 4.4.4.4=256 số có 4 chữ số được lập từ 4 chữ số 1, 3, 5, 7.
II. QUY TẮC NHÂN
VD: Anh muốn qua nhà Cương nhưng phải đi qua nhà Bảo
Nhà Anh Nhà Bảo Nhà Cương
Hỏi Anh có bao nhiêu cách chọn đường đến nhà Cương?
=> HĐ1: Anh đi đến nhà Bảo có 4 con đường --> 4 cách đi
HĐ2: Từ nhà Bảo, Anh đi đến nhà Cương có 5 con đường --> 5 cách đi
Theo quy tắc nhân, ta có: 4.5=20 cách đi từ nhà Anh qua nhà Bảo đến nhà Cương
LUYỆN TẬP
Xét mạng đường nối các xã A, B, C, D và E. C
Trong đó số viết trên một cạnh cho 4 7
biết số con đường nối hai tỉnh nằm A 6 B E
ở hai đầu mút của cạnh. Hỏi có bao nhiêu 4 5
cách đi từ xã A đến xã E?
D

LUYỆN TẬP
_TH1: Đi theo A-->B-->C-->E_
_+ HĐ1: Đi từ A-->B: 6 con đường_
_+ HĐ2: Đi từ B-->C: 4 con đường_
_+ HĐ3: Đi từ C-->E: 7 con đường_
_Theo quy tắc nhân ta có: 6.4.7=168 cách đi_
D

LUYỆN TẬP
_TH2: Đi theo A-->B-->D-->E_
_+ HĐ1: Đi từ A-->B: 6 con đường_
_+ HĐ2: Đi từ B-->D: 4 con đường_
_+ HĐ3: Đi từ D-->E: 5 con đường_
_Theo quy tắc nhân ta có: 6.4.5=120 cách đi_
D

LUYỆN TẬP
Xét mạng đường nối các xã A, B, C, D và E. C
Trong đó số viết trên một cạnh cho 4 7
biết số con đường nối hai tỉnh nằm A 6 B E
ở hai đầu mút của cạnh. Hỏi có bao nhiêu 4 5
cách đi từ xã A đến xã E?
*_TH1: Có 168 cách đi _

_ TH2: Có 120 cách đi_
_Theo quy tắc cộng ta có: 168+120=288 cách đi_
_Vậy có 288 cách đi từ xã A đến xã E_
D

TRÒ CHƠI Ô CHỮ
Câu 1: Từ các chữ số 1, 6, 9, 5, 4 có thể lập được bao nhiêu số có một chữ số?
A. 5 B. 2 C. 4 D. 3
=> A
TRÒ CHƠI Ô CHỮ
Câu 2: Nhà trường dự định khen thưởng cho 1 học sinh loại giỏi trong lớp 11A và 11B. Lớp 11A có 5 học sinh loại giỏi, lớp 11B có 7 học sinh loại giỏi. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
A. 5 B. 7 C. 12 D. 35
=> C
TRÒ CHƠI Ô CHỮ
Câu 3: Có chữ số 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể lập bao nhiêu số có hai chữ số (không nhất thiết khác nhau) từ các chữ số trên?
A. 4 B. 256 C. 16 D. 8
=> C
TRÒ CHƠI Ô CHỮ
Câu 4: Bạn Nam muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 9 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 11 màu khác nhau. Hỏi Nam có bao nhiêu lựa chọn?
A. 99 B. 20 C. 9 D. 11
=> B
TRÒ CHƠI Ô CHỮ
Câu 5: Một mật mã gồm 3 kí tự: kí tự thứ nhất gồm các chữ cái (trong 26 chữ cái la-tinh) và kí tự thứ hai và thứ ba gồm các chữ số (trong 10 chữ số từ 0 đến 9). Hỏi có bao nhiêu mật mã nếu kí tự thứ nhất là a? Mật mã là a**
A. 10 B. 20 C. 2600 D. 100
=> D
TRÒ CHƠI Ô CHỮ
Câu 6: Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
A. 280+352 B. 280.325 C. 280+325 D. 208.325
=> C