KHỞI ĐỘNG
Trả lời
? Trong các phương trình sau, phương trình nào là
Trong
phương
trình
sau,
bậc hai
một
phươngcác
trình
bậc hai
một
ẩn.phương
Hãy giảitrình
phương
trình
đó.ẩn
là: Chọn b)
a) x3 - 2x2 + x = 0
b) 4x2 + x - 5 = 0
Có Δ = 12 – 4.4.(-5) =4 81 >2 0,


81

9
c) x - 3x + 2 = 0
Vậy phương trình
x 2  3có
x 2 6nghiệm
1 phân biệt:
d)
 5
2
 19

1

9
x 3
x1 
1 ; xx 2 9

2.4

2.4

4

KHỞI ĐỘNG
Những phương trình không phải là phương trình bậc hai
nhưng có thể biến đổi để đưa về phương trình bậc hai.
Em
hãy pháp
cho biết
phương
trìnhnày
saunhư
có đặc
điểmTagì?
Phương
giải mỗi
các dạng
phương
thế nào?
sẽ
nghiên cứu trong giờ học hôm nay. Trả lời

1) 4x4 + x2 – 5 = 0

Phương trình bậc 4,

Các biến đều là lũy thừa bậc chẵn
x 2  3x  6
1
Phương trình chứa ẩn ở mẫu
2)

x2  9
x 3

3) (x + 1)(x2 + 2x – 3) = 0

Phương trình tích

4) x3 + 3x2 + 2x = 0 Phương trình bậc 3,
Tất cả các hạng tử đều có biến x

Bài 7. Phương trình quy về phương trình bâc hai
1. Phương trình trùng phương
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng
ax4 + bx2 + c = 0 (a  0)
Trong các phương trình sau, phương trình nào là
phương trình trùng phương:
a) 4x4 + x2 - 5 = 0
b) x3 + 3x2 + 2x = 0
c) 5x4 - x3 + x2 + x = 0
d) x4 + x3- 3x2 + x - 1 = 0
e) 0x4 - x2 + 1 = 0

Bài 7. Phương trình quy về phương trình bâc hai
1. Phương trình trùng phương
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng
ax4 + bx2 + c = 0 (a  0)
Ta có thể giải phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (a  0) bằng
cách nào?
Ta có thể đưa phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (a  0) về
phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ.

Phương pháp giải:
Đặt x2 = t (t ≥ 0) , khi đó phương trình
ax4 + bx2 + c = 0 trở thành phương trình bậc
hai at2 + bt + c = 0

Bài 7. Phương trình quy về phương trình bâc hai
1. Phương trình trùng phương
Ví dụ 1: Giải phương trình x4 - 13x2 + 36 = 0 (1)

Giải
Đặt x2 = t. Điều kiện là t ≥ 0.
Ta được phương trình: t2 – 13 t + 36 = 0 (2)
Δ =(-13)2 – 4.1.36 = 169-144 = 25 > 0,

  25 5

13  5
13  5
 t1 
9( n), t 2 
4(n)
2
2
* Với t1 = 9, ta có x2 = 9 => x1= -3, x2 = 3
* Với t2 = 4, ta có x2 = 4 => x3= -2, x4= 2
Vậy phương trình (1) có bốn nghiệm: x1= -3, x2= 3, x3= -2, x4 = 2

Bài 7. Phương trình quy về phương trình bâc hai
1. Phương trình trùng phương
Nêu các bước giải phương trình trùng phương?
B1: Đặt x2 = t . Điều kiện t  0
B2: Thay x2 = t vào pt, ta được: at2 + bt + c = 0 (*)
B3: Giải phương trình (*), chọn nghiệm t  0
B4: Thay giá trị của t vào x2 = t, tìm nghiệm x
B5: Kết luận nghiệm cho phương trình đã cho.

?1Giải các phương trình trùng phương sau:
a) 4x4 + x2 – 5 = 0
b) 3x4 + 4x2 + 1 = 0
Đặt x2 = t (ĐK: t ≥ 0)
Ta được phương trình:
4t2 + t – 5 = 0
Vì a + b + c = 4 + 1 – 5 = 0
Nên
5
t1 = 1 (TMĐK), t 2  4 (loại)
Với t = 1 => x2 = 1
=> x1 = 1 và x2= -1
Vậy phương trình đã cho có

Đặt x2 = t (ĐK: t ≥ 0)
Ta được phương trình:
3t2 + 4t +1 = 0
Vì a - b + c = 3 – 4 + 1 = 0
Nên
1
t1 = -1 (loại), t 2  (loại)
3
Vậy phương trình đã cho vô
nghiệm.

Bài 7. Phương trình quy về phương trình bâc hai
1. Phương trình trùng phương
Vậy
phương
trùng
phương
có có
1 nghiệm,
2 nghiệm,
Phương
trìnhtrình
trùng
phương
có thể
bao nhiêu
nghiệm?
3 nghiệm …, vô nghiệm.
Phương trình (3) là phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Hãy cho biết phương trình (3) thuộc dạng phương trình nào?

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
2
x
 3x  6
1
Cho phương trình sau:

(3)
2
x 3
x 9

Nhắc lại các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu đã
học ở lớp 8?

Bài 7. Phương trình quy về phương trình bâc hai
1. Phương trình trùng phương
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như
sau:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức;
Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được;
Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị
không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn
điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài 7. Phương trình quy về phương trình bâc hai
1. Phương trình trùng phương
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
2
x
1
 3x  6
?2 Giải phương trình
bằng cách điền vào

2
x 3
x
9
các chỗ trống (…)
Và trả lời các câu hỏi.
Giải
- Điều kiện: x ± 3
- Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu, ta được:
x2 - 3x + 6 = x……
+ 3 <=> x2 - 4x + 3 = 0
1 x2 = …
3
- Nghiệm của phương trình: x2 - 4x + 3 = 0 là x1 = …;

1 thỏa
mãn
điều
kiện
Giá trị x1 xcó
mãn
điều
kiện
không? …………….
1 =thỏa
x2 = 3 không thỏa mãn điều kiện nên bị loại.
Giá trị x2 có thỏa mãn điều kiện không? …………….
x=1
- Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: …………..

Bài 7. Phương trình quy về phương trình bâc hai
Bài tập 1

2
Giải phương trình sau: 2 x  5 x  2 
2

x  4

1
x2

Giải
Điều kiện: x ≠ ± 2

2 x 2  5x  2
1

2
x  4
x2
2 x2  5x  2
x 2


 x  2  x  2   x  2  x  2 




2 x2  5x  2 x 
2 x 2  6 x  4 0

2
 x 2  3 x  2 0

Vì a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm x1= 1 (TMĐK) và
x2 = 2 (KTMĐK)
Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x = 1

Bài 7. Phương trình quy về phương trình bâc hai
Bài tập 2

Tìm các chỗ còn thiếu, sai trong lời giải sau ?
-x2 - x +2
4
x + 1= (x + 1)(x + 2)
2
=> 4(x + 2) = -x - x +2
<=>

ĐK: x ≠ - 2, x ≠ - 1

<=> 4x + 8 = -x2 - x +2
<=> 4x + 8 + x2 + x - 2 = 0

<=> x2 + 5x + 6 = 0
Δ = 5 2 - 4.1.6 = 25 -24 = 1 > 0

Do Δ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 

 5  1  5 1

 2 (Không TMĐK)
2.1
2

 5 1  5 1
x2 

 3 (TMĐK)
2.1
2
Vậy
phương
trình
nghiệm:
-3 x2 = -3
Vậy
phương
trình
cócó
nghiệm:
x1x==-2,

Bài 7. Phương trình quy về phương trình bâc hai
3. Phương trình tích
Phương trình tích có dạng: A(x).B(x).C(x)... = 0
Để giải phương trình A(x).B(x).C(x)...= 0 ta giải các phương
trình A(x) = 0, B(x) = 0, C(x) = 0, ... tất cả các giá trị tìm được
của ẩn đều là nghiệm.
Một tích bằng 0 khi trong tích có một nhân tử bằng 0.

Bài 7. Phương trình quy về phương trình bâc hai
3. Phương trình tích
Ví dụ 2 : Giải phương trình sau :
( x + 1 ) ( x2 + 2x – 3 ) = 0 (4)
Hãy nêu cách giải phương
Giải trình (4) và trình cách giải
( x + 1 ) ( x2 + 2x – 3 ) = 0
 x + 1 = 0 hoặc x2 +2x – 3 = 0
1) x + 1 = 0  x = –1

2) x2 + 2x – 3 = 0 có a + b + c = 1 + 2 – 3 = 0
Nên x2 = 1, x3 = 1– 3
Vậy phương trình có ba nghiệm: x1 = –1, x2 = 1, x3 = – 3

Bài 7. Phương trình quy về phương trình bâc hai
3. Phương trình tích
?3. Giải phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích
x3 + 3x2 + 2x = 0

Giải

x3 + 3x2 + 2x = 0
Nêu cách giải phương trình x3 + 3x2 + 2x = 0, đưa về PT tích.
 x.( x2 + 3x + 2) = 0  x = 0 hoặc x2 + 3x + 2 = 0
Giải pt: x2 + 3x + 2 = 0 . Vì a - b + c = 1 - 3 + 2 = 0
Nên pt: x2 + 3x + 2 = 0 có nghiệm là x1= -1 và x2 = -2
Vậy pt: x3 + 3x2 + 2x = 0 có ba nghiệm là
x1= -1, x2 = -2 và x3 = 0 .
Nêu phương pháp giải một số dạng phương trình quy được về
phương trình bậc hai? Vận dụng giải phương trình trùng phương,
phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình tích. Chúng ta sẽ học tiếp
phần luyện tập.

LUYỆN TẬP
1. Bài 34/tr.56

Giải các phương trình trùng phương:

a ) x 4  5x 2  4 0 (1)
Nêu phương pháp giải phương
Giải
trình trùng phương?
B1: Đặt x2 = t . Điều kiện t  0

Đặt x2 = t ≥ 0, khi đó phương trình trở thành: t2 – 5t + 4 = 0
B2: Thay x2 = t vào PT (1), ta được: t2 – 5t + 4 = 0 (*)
  9 3
= (-5)B2 :–Giải
4.1.4
= 25 –trình
16 =(*),
9, chọn nghiệm
phương
t0
3

(  5)  3x
B( : Thay
5)  3giá trị của t vào x2 = t, tìmnghiệm
1 (TMĐK)
t1  4
4 (TMĐK) , t1 
.1
.1 luận nghiệm cho phương trình2(1).
B : 2Kết
5

Với t1 = 4 => x2 = 4 => x1 = 2, x2= -2
Với t2 = 1 => x2 = 1 =>x3 = 1, x4= -1
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là:
x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1, x4 = -1

LUYỆN TẬP
2. Bài 35 /tr.56
Giải

Giải các phương trình :

x  3 x  3

a)
 2 x
3

1  x 

 x 2  9  6 3 x 1  x   x 2  3 3 x  3 x 2
 4 x 2  3 x  3 0

  3  4.4.  3 9  48 57,   57
2

3  57
3  57
x1 
, x2 
8
8
Vậy phương trình có hai nghiệm :
3  57
3  57
x1 
, x2 
8
8

LUYỆN TẬP
2. Bài 35/tr.56

Giải

x  2   3  x  5
6

6


, ĐK: x ≠ 2, x ≠ 5
x 5
2 x
x 5
2 x
4 x  13
6
4 x  132  x 
6 x  5





x 5
2 x
 x  52  x  2  x  x  5

x  2

b)
3 

 8 x  4 x 2  26  13 x 6 x  30

 4 x 2  15 x  4 0

  15   4.4.  4  225  64 289  0 
2

 17

15  17
15  17  1
 x1 
4 (tmdk), x2 
 (tmdk )
8
8
4
Vậy phương trình có hai nghiệm x1= 4, x2= -1/4

LUYỆN TẬP
3. Bài 36/tr.56

a) (3x2 - 5x +1 ) (x2 – 4 ) = 0

Giải
a) (3x2 - 5x +1 ) (x2 – 4 ) = 0  3x2 - 5x +1 = 0 hoặc x2 – 4 = 0

1) 3x 2  5 x  1 0

2) x 2  4 0

 ( 5) 2  4.3.1 25  12 13

 x 2 4
 x3,4 2

5  13
5  13
 x1 
, x2 
6
6
Vậy phương trình có bốn nghiệm :

5  13
5  13
x1 
, x2 
, x3 2, x4  2
6
6

4. Bài 38/tr.56

LUYỆN TẬP

Giải các phương sau: a) (x – 3)2 + (x + 4)2 = 23 – 3x
Nêu cách giải PT a) (x – 3)2 + (x +Giải
4)2 = 23 – 3x
Vận dụng hằng đẳng
thức bình phương
một hiệu, một tổng biến đổi
2
2
a)thức,
(x thu
- 3)
+về
(x
+PT
4)bậc=
3x
2
biểu
gọn đưa
dạng
hai 23
một ần ax
+ bx + c = 0
rồi
giải theo
x 2 công
 6thức
x nghiệm.
9  x 2  8 x  16 23  3 x

 2x 2  2 x  25  23  3 x 0
 2 x 2  5 x  2 0
 52  4.2.2 9>0 

  9 3

Vậy phương trình có hai nghiệm
- 5 +3
- 1
- 5- 3
x1 =
=
, x2 =
=- 2
4
2
4

LUYỆN TẬP
5. Bài 39/tr.57
Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.
b) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 ; d) (x2 + 2x – 5)2 = (x2 – x + 5)2
Giải
Ở câu b) ta có thể sử dụng phương pháp nhóm hạng tử,
2
2
Nêu
pháp
biến
đổichung.
về0phương
phương
đặt
b)
x3 phương
+ 3xpháp
– 2x
– 6nhân
= 0 tử

xmỗi
(x +phương
3) – 2(xtrình
+ 3) =
trình
tích,
cho
mỗi
thể xsử
2 thể
2dùng
Ở
d)3)ta(x
có
pháp
đẳng
câu
(x +
– biết
2) =sửở0dụng
 x câu
+phương
3 ta
= 0cóhoặc
–dụng
2 =hằng
0phương
pháp
phân
tích
đa
thức
thành
nhân
tử
nào?
(ở
lớp
8)
thức.
1) x + 3 = 0  x = – 3
2) x2 – 2 = 0  x  2
Vậy phương có ba nghiệm x1  3, x 2  2 , x 3 

2

LUYỆN TẬP
5. Bài 39 /tr.57
d) (x2 + 2x – 5)2 = (x2 – x + 5)2 = 0
 (x2 + 2x – 5)2 – (x2 – x + 5)2 = 0
 (x2 + 2x – 5 + x2 – x + 5). (x2 + 2x – 5 – x2 + x – 5) = 0
 (2x2 + x). (3x – 10) = 0  2x2 + x = 0 hoặc 3x – 10 = 0
1
1) 2x + x = 0  x(2x + 1) = 0  x 0, x 
2
10
2) 3x – 10 = 0  x 
3
1
10
Vậy phương có ba nghiệm x1 0, x 2  , x3 
2
3
2

NHIỆM VỤ HỌC Ở NHÀ
-Học bài, nắm chắc các cách giải các dạng phương trình
có thể quy về phương trình bậc hai.
-Làm bài tập còn lại của các bài 34 đến bài 39/tr.56, 57

CHÚC TẬP THỂ LỚP LUÔN VUI-KHỎE,
HỌC BÀI VÀ LÀM TẬP Ở NHÀ ĐẠT HIỆU QUẢ