02

60 cm

x

Hình 1.14

Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài cạnh bằng 60cm,
người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành
một chiếc hộp có dạng hình chữ nhật không có nắp (H 1.14)
Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của chiếc
hộp là lớn nhất.

1 . ĐỊNH NGHĨA .

Nhận biết khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Cho hàm số với có đồ thị như HÌnh 1.15
a) Giá trị lớn nhất M của hàm số trên đoạn là bao nhiêu?
Tìm x0 sao cho
b) Giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn là bao nhiêu?
Tìm x0 sao cho
y
3

a) Giá trị lớn nhất của đồ thị hàm số trên đoạn
là M = 3

2

Với thì
b) Giá trị nhỏ nhất của đồ thị hàm số trên đoạn
là
Với thì

y = x2 - 2x

1
-2

-1

O

1

-1

Hình 1.15

2

3

x

1 . ĐỊNH NGHĨA .

Cho hàm số xác định trên tập D
• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập D nếu với
mọi và tồn tại sao cho
M max f (x)
Kí hiệu : M max f (hoặc
x)
D

xD

• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D nếu với
mọi và tồn tại ∈𝑫 sao cho
(x)
Kí hiệu : m min fhoặc
m min f (x)
xD

D

1 . ĐỊNH NGHĨA .

• Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số (mà không nói “trên tập D”) thì ta hiểu đó là giá
trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập xác định của
hàm số .
• Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập
D, ta thường lập bảng biến thiên của hàm số trên tập D để
kết luận.

1 . ĐỊNH NGHĨA .

1

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y  f (x)  1  x
 Tập xác định của hàm số là
 Cách 1 : Sử dụng định nghĩa. Ta có :
, dấu bằng xảy ra khi , tức là khi hoặc .
Do đó :

min f (x)  ff( 1)  (1)  0
  1;1

1 . ĐỊNH NGHĨA .

1

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y  f (x)  1  x
 Cách 2 : Sử dụng bảng biến thiên
(1  x22)'
y' 
Với , ta có :

2 1  x22
Lập bảng biến thiên hàm số trên
x
y'

y

1



0

0
0
1



x
1  x2

; y ' 0  x 0

1

0

Từ BBT ta được : min f (x)  ff( 1)  (1)  0; max f (x)  f (0) 1
  1;1

  1;1


1 . ĐỊNH NGHĨA .

2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

1
y x  2 
x

 Ta có :

1 ; y '  0  x 1
y x  2 
x

(Vì )


1
Tính các giới hạn : lim y  lim  x  2   
x 0
x 0
x


1
lim y  lim  x  2   
x 
x 
x


1 . ĐỊNH NGHĨA .

2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

1
y x  2 
x

 Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng
x
y'

y

0




Từ bảng biến thiên, ta được :



1
0




0

min y y(1)  0
(0;)

Hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng

1 . ĐỊNH NGHĨA .

3

Giải bài toán trong tình huống mở đầu

 Gọi x (cm) là độ dài cạnh của các hình vuông
nhỏ ( )
Khi cắt bỏ 4 hình vuông nhỏ ở bốn góc và
gập lên ta được chiếc hộp hình chữ nhật
không có nắm, có đáy là hình vuông với độ
dài cạnh (60 – 2x) (cm) và chiều cao x (cm)
Thể tích chiếc hộp :

V (x) (60  2x)2.x  4x3  240x2  3600x (cm3)
 x 10
Ta có : V ' 12x  480x  3600 ; V '  0 
 x  30 (loại)
2

1 . ĐỊNH NGHĨA .

3

Giải bài toán trong tình huống mở đầu
 Lập bảng biến thiên :
x
V '( x )
V ( x)

0
0



10
0
16000



30
0

Vậy để thể tích của chiếc hộp là lớn nhất thì độ dài
cạnh của các hình vuông nhỏ phải cắt là 10cm.

1 . ĐỊNH NGHĨA .

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1

1
b) y  x 
trên
x 1

2

a) y  2x  x

a) Tập xác định của hàm số là

Ta có :

2

a) y  2x  x

Bảng biến thiên

x

Từ BBT , ta có :

1

0


y'

y

b) y   x 

0

0

1

1
x  1

2


0

f (x)  f (1) 1
min f (x)  ff(0)  (2)  0 ; max
[ 1;1]
[ 1;1]

[ 1;1]

1 . ĐỊNH NGHĨA .

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1

2

a) y  2x  x

1
b) y  x 
trên
x 1

1
b) Ta có : y ' 1 
 0, x  (1; )
2
(x  1)


1 
1 
 
lim y  lim   x 
  ; lim y  lim   x 


x 
x 
x 1
x 1
x  1
x

1



 Lập bảng biến thiên :
x
y'

y

1







Vậy hàm số không có giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất trên

2 . CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN.

Hình thành các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
một đoạn.
Xét hàm số trên đoạn với đồ thị như H 1.16
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
b) Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm mà
c) Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn và tại các điểm x đã tìm ở
câu b. So sánh số nhỏ nhất trong các giá trị này với
min f (x)
  1;2
số lớn nhất trong các giá trị này với min f (x)
  1
;2
1;2

y

a) Nhìn vào đồ thị ta thấy trên đoạn ta có :

min f (x)

;2
  1


min f (x)

;2
  1;2


1

-1

O

1

-1
-2
Hình 1.16

2

x

2 . CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN.
y

b) Ta có :

3

2

f (x)  x  2x  1

 x 0
f '(x)  3x2  4x ; f '(x)  0  
x  3

4
Vậy thì

c) Ta có :

f (0) 1
4
43
4
f ( ) ( )  2.( )  1  2
3
3
3
3
f (2) (2)  2.(2)  1 1

1

-1

O
-1
-2

Hình 1.16

Ta thấy số nhỏ nhất trong các giá trị này là −2, số lớn nhất là 1

 max f (x) 1 ;
  1;2

min f (x)   2
  1;2

1

2

x

2 . CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN.

Giả sử là hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên (a; b) , có thể trừ ra tại
một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn mà đạo hàm bằng 0.
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên :

1. Tìm các điểm x1 , x2 , …, xn , tại đó hoặc không tồn tại
2. Tính , , …, và
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có :

M  max f (x) ; m  min f (x)
[a;b]

[a;b]

2 . CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN.

4

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
3

2

y '  4x  8x  4x(x  2)

 Ta có :

 x 0
(Vì )
y ' 0  
 x  2
y(0)  3 ; y(4) 195 ; y( 2)  1
Do đó :

max y y(4) 195
[0;4]

min y y( 2)   1
[0;4]

2 . CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN.

5

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn

y '  cosx  sin x ; y '  0  cosx  sin x
 x  / 4
(Vì
 
 x  5 / 4

5
y(0) 1 ; y(2 ) 1 ; y( )  2; y( )  2
4
4

Do đó : max y y( )  2
[0;2 ]
4
5
min y y( )  2
[0;2 ]
4

 Ta có :

2 . CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN.

2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a) trên
b) trên

 2
5
a) Ta có : y '  6x  6x  5  6 x  x  
6


1 7
 6 x     0, x   0;2
3 2

2

Do đó hàm số đồng biến trên
Ta có :

3

2

y(0) 2 ;y(2)  2.2  3.2  5.2  2 16

 max y y(2) 16 ; min y y(0)  2
0;2

0;2

2 . CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN.

2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a) trên
b) trên
x
x
x
x
y
'

e

(
x

1
)
e

xe
.
e (1   x  1)
b) Ta có :

y ' 0  x 0 thoûa maõn x    1;1
2
Ta có : y( 1) 0 ;y(0) 1 ;y(1) 
e
 max y y(0) 1 ; min y y( 1)  0
  1;1

  1;1

2 . CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN.

Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô
hình hoá bằng hàm số , trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (tính
bằng trăm người) và t là thời gian (tuần)
a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.
b) Đạo hàm N'(t) biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ
truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?

a) Với ta có :

N '(t)  3t2  24t

 t  0 (tm)
N '(t)  0  
 t  8 (tm)
Ta có : N (0)  0 ; N (8)  256 ; N (12)  0
Do đó, số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là 256 người trong 12 tuần
đầu.

2 . CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN.

Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô
hình hoá bằng hàm số , trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (tính
bằng trăm người) và t là thời gian (tuần)
a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.
b) Đạo hàm N'(t) biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ
truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?

b) Hàm số biểu thị tốc độ lây lan của virus là :

N '(t)  3t2  24t
Đặt với ta có :

f '(t)  6t  24 ; f '(t)  0  t  4 (tm)
f (0)  0 ; f (4)  48 ; f (12)  144
Do đó, virus sẽ lây lan nhanh nhất khi (tuần thứ 4)

1.10

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y  x2  4x  3
a) Ta có :

3

2

b) y  x  2x  1

trên

2

y  x  4x  3
2

 (x  2)  7  7, x
Dấu “ = ” xảy ra khi :

x  2 0
 x 2

Do đó hàm số không có giá trị nhỏ nhất và có giá trí lớn
nhất là :

max f (x)  f (2)  7

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1.10

a) y  x2  4x  3

3

2

b) y  x  2x  1

trên



3
2
y

x

2
x
 1, x   0; 
b) Ta có :
 x 0
2

y '  3x  4x ; y '  0 
x  3

 Lập bảng biến thiên :
4

x
y'

y

0
1



4
3

0

5
27





Vậy hàm số không có giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là :

4
5
min y y( ) 
 0; 
3
27

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

x2  2x  3
c) y 
x 1

1.10

2

d) y  4x  2x

trên

2

c) Ta có :

(2x  2)(x  1)  (x  2x  3) x  2x  1
y' 

2
2
(x  1)
(x  1)
2

y '  0  x 1  2 (dox  (1; ))

 Lập bảng biến thiên :
x
y'

y

1


1 2


0

2 2



Vậy hàm số không có giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là :



min y y(1  2)  2 2



(1;)

1.10

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

x2  2x  3
c) y 
x 1

2

d) y  4x  2x

trên

d) Tập xác định của hàm số là :
Ta có :

y' 

4  4x

2 4x  2x2



2(1
2(1  x)
4x  2x2

y '  0  x 1 (tm)

y(0)  0 ; y(1)  2
Do đó :

; y(2)  0

max y y(1)  2 ; min y y(0) y(2)  0
 0;2

 0;2

1.11

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
4

x

2

b) y xe

a) y  x  2x  3
a) Tập xác định của hàm số là ℝ.
3

y '  4x  4x
y '  0  x  0;x 1

 Lập bảng biến thiên :

x




y'

y

0

1

0





0



0

3
2



1




2

Dựa vào bảng biến thiên, ta có : Hàm số không có giá trị lớn nhất
Và có giá trị nhỏ nhất là : min y y( 1) y(1)  2
(  ;)

1.11

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
4

x

2

b) y xe

a) y  x  2x  3
b) Ta có :

y ' e x  xe
.  x e x (1  x)
y '  0  x 1

 Lập bảng biến thiên :
x



y'

y





1



0
1
e



0

Vậy hàm số không có giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất là :

1
max y y(1) 
(  ;)
e

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1.11

c) y  x ln x

d) y  x  1  3  x

c) Tập xác định của hàm số là :

1
y '  ln x  x.  ln x  1
x1
y '  0  x  (tm)
e

 Lập bảng biến thiên :
x

0



y'

y

0

1
e

0

1
e





Vậy hàm số không có giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là :

1 1
min y y( ) 
(0;)
e
e

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1.11

c) y  x ln x

d) y  x  1  3  x

d) Tập xác định của hàm số là

y' 

1
2 x 1



1
2 3 x



3 x 

x 1

2 3 x x  1

y ' 0  3  x  x  1

 x 2 (tm)

 Lập bảng biến thiên :
x

1

y'

||

y

2

3

2



0
2



||
2

Từ bảng biến thiên ta có :

max y y(2)  2
 1;3

min y y(1) y(3)  2
 1;3

1.12

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y  2x3  6x  3
b) y  x4  3x2  2

a) Ta có :

trên
trên

2

y '  6x  6
y '  0  6x2  6  0

 x 1 (tm)

y( 1)  7 ; y(1)  1 ; y(2)  7

 max y y(2) y( 1)  7 ; min y y(1)  1
  1;2

  1;2

1.12

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y  2x3  6x  3
b) y  x4  3x2  2

b) Ta có :

trên
trên

3

y '  4x  6x

 x 0
y '  0  4x3  6x  0  
6

x


2
6
 1 ; y(3)  56
y(0)  2 ; y( ) 
2
4

Do

6
1
 max y y(3)  56 ; min y y( ) 
 0;3
 0;3
2
4

1.12

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

c) y  x  sin2x

trên

d) y (x2  x)ex

trên

c) Ta có :

y ' 1  2cos2x


y '  0  1  2cos2x  0  x   k (k  Z )
6

5
0;;   x  ; x 
Do x   0
6
6


3
5
5
3
; y( ) 
y(0)  0 ; y( )  
; y( ) 

6
6
2
6
6
2
5
5
3 ; min y y( )    3
 max y y( ) 

 0; 
 0; 
6
6
2
6
6
2

1.12

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

d) Ta có :

c) y  x  sin2x

trên

d) y (x2  x)ex

trên

y ' (2x  1)ex  (x2  x)ex ex (x2  x  1)

 1 5
y '  0  e (x  x  1)  0  x 
Do
2
 1 5
 1 5
y(0)  0 ; y(
) (2  5)e 2 ; y(1)  0
2
x

2

 1 5
) (2 
 max y y(0) y(1)  0 ; min y y(
 0;1
 0;1
2

 1 5
2

5)e

Trong các hình chữ nhật có chu vi là 14cm, hãy tìm
hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

1.13

 Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (cm)
Chiều rộng của hình chữ nhật là
Diện tích của hình chữ nhật là
2
S
(
x
)

x
 12x , x  (0
;12)
(0;12)
Đặt :

S '(x)  2x  12 ; S '(x)  0  x  6 (tm)

 Lập bảng biến thiên :
x



y'

y

6

0

0

0

36

12


0

Do đó, trong các hình có cùng chu
vi thì hình chữ nhật có diện tích
lớn nhất là 36cm2

Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng
hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và
diện tích bề mặt bằng 108cm2 như Hình 1.17. Tìm các kích
thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

1.14

 Hình hộp trên có độ dài cạnh đáy là x(cm)
chiều cao là h(cm)
Diện tích bề mặt hình hộp là 108cm2 nên :
2

và

108  x
(cm)
x  4xh 108  h 
Hình 1.17
4x
3
2
108x  x
3
2
2 108  x
Thể tích của hình hộp : V  x .h  x .

(cm )
4
4x
2
 3x  108 ; V '  0  x  6 (dox  0)
Ta có : V ' 
4
2

1.14

Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng
hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và
diện tích bề mặt bằng 108cm2 như Hình 1.17. Tìm các kích
thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.
 Lập bảng biến thiên :
x

0


y'

y

0



6
0



108



Hình 1.17

Do đó, thể tích của hình hộp là lớn nhất khi độ dài cạnh đáy là 6cm
Khi đó chiều cao của hình hộp là