CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

VIDEO 1

KHỞI ĐỘNG
Một mái nhà hình tròn được đặt trên
ba cây cột trụ (H.5.33). Các cây cột
vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có
độ cao lần lượt là 7 m, 6 m, 5 m. Ba
chân cột là ba đỉnh của một tam giác
đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 4 m.
Hỏi mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà
một góc bao nhiêu độ?

KHỞI ĐỘNG

CHƯƠNG V. PHƯƠNG PHÁP
TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 16: CÔNG THỨC TÍNH GÓC
TRONG KHÔNG GIAN

VIDEO 2

NỘI DUNG BÀI HỌC

1

CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI

2

CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG

3

CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI

ĐƯỜNG THẲNG
THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

MẶT PHẲNG

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

1.CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA
HAI ĐƯỜNG THẲNG

VIDEO 3

HĐ1
Trong không gian , cho hai đường thẳng và tương ứng có các vectơ chỉ
phương (H.5.34).
a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc và
b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa và ?
GIẢI:
a) Nếu thì
.
Nếu thì
.

HĐ1
Trong không gian , cho hai đường thẳng và tương ứng có các vectơ chỉ
phương (H.5.34).
a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc và
b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa và ?
GIẢI:
b) Ta có:
.

VIDEO 4

KẾT LUẬN
Trong không gian , cho hai đường thẳng và tương
ứng có vectơ chỉ phương ,. Khi đó:

VÍ DỤ 1
Trong không gian , tính góc giữa hai đường thẳng:
và

GIẢI:
Hai đường thẳng và tương ứng có các vectơ chỉ phương , Khi đó:
Vậy .

VIDEO 5

- Các em hãy mở ứng dụng GeoGebra 3D Calculator
trên điện thoại.
- Nhập phương trình của hai đường thẳng trong Ví dụ 1
vào phần mềm.
- Sử dụng công cụ đo góc (Angle tool) để máy tính hiển
thị góc giữa 2 đường thẳng, sau đó đối chiếu với kết quả
tính bằng công thức.
- Chụp ảnh màn hình GeoGebra và up lời giải tự luận lên
Padlet.

Luyện tập 1
Trong không gian , tính góc giữa trục và đường thẳng

GIẢI:
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là , trục có một vectơ
chỉ phương là . Ta có:

Do đó .

2.CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

HĐ2
Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng . Xét là một vectơ chỉ phương của và (với giá )
là một vectơ pháp tuyến của . (H.5.35)
a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc và
b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa và ?

GIẢI:
a) Ta có:
b) Ta có:

KẾT LUẬN
Trong không gian , cho đường thẳng có vectơ chỉ
phương và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến . Khi
đó:

VÍ DỤ 2
Trong không gian , tính góc tạo bởi trục

và mặt

phẳng :
GIẢI:
Trục có vectơ chỉ phương , mặt phẳng có vectơ pháp tuyến Ta có:
Vậy tạo với góc .

Luyện tập 2
Trong không gian , tính góc giữa đường thẳng và

GIẢI:
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là , mặt phẳng có một
vectơ pháp tuyến . Ta có:
.

CÔNG THỨC TÍNH GÓC
GIỮA HAI MẶT PHẲNG

HĐ3.
Trong không gian , cho hai mặt phẳng tương ứng có các vectơ pháp tuyến là ,
Lấy các đường thẳng tương ứng có vectơ chỉ phương . (H.5.36)
a) Góc giữa hai mặt phẳng và và góc giữa hai đường thẳng và có mối quan hệ
gì?
b) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng và .
GIẢI:
a) .

b)

KẾT LUẬN
Trong không gian , cho hai mặt phẳng tương ứng
có các vectơ pháp tuyến là , . Khi đó, góc giữa và ,
kí hiệu là , được tính theo công thức:

VÍ DỤ 3
Trong không gian , tính góc giữa hai mặt phẳng
và
GIẢI:
Các mặt phẳng tương ứng có các vectơ pháp tuyến là , Ta có:

Do đó .

Luyện tập 3
Trong không gian , tính góc giữa hai mặt phẳng và
GIẢI:
A
c

a
c

Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là , mặt phẳng có một

b

B

vectơ pháp tuyến là . Ta có:

y

0

y = sin
x

x

p=q

HOẠT ĐỘNG NHÓM
ĐÔI
Sử dụng Chatbot AI (ChatGPT/Gemini)
tra cứu: Trong thực tiễn kiến trúc hoặc
kĩ thuật, góc giữa hai mặt phẳng (góc
nhị diện) thường được tính toán để
làm gì? Cho 1 ví dụ cụ thể.

TOÁN 12-

VÍ DỤ 4
Trong không gian , cho , , , Tính góc giữa hai mặt phẳng và
GIẢI:
Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là
và
Suy ra có vectơ pháp tuyến
Do đó cũng là vectơ pháp tuyến của

VÍ DỤ 4
GIẢI:
Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là và
Suy ra có vectơ pháp tuyến
Do đó cũng là vectơ pháp tuyến của

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và Khi đó:
Vậy

p=q

HOẠT ĐỘNG NHÓM
Khi thiết kế mái nhà hai dốc, ngườiĐÔI
ta
phải tính góc nhị diện giữa hai mặt
mái để:

+ Nước mưa thoát nhanh.
+ Không bị đọng nước gây thấm.
+ Chịu được tải trọng gió và tuyết (ở
vùng lạnh).

TOÁN 12-

Vận dụng
Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu.
GIẢI:
Giả sử , tam giác đều cạnh bằng nên .
Đơn vị trên các trục tọa độ là mét, nên ta có:
.
,.
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
.

Vận dụng
Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu.
GIẢI:
Mặt phẳng tọa độ có một vectơ pháp tuyến là . Khi đó:
.
Vậy góc giữa mái nhà và mặt sàn gần bằng .

TỔNG KẾT VÀ TRAO THƯỞNG

LUYỆN TẬP

Bài 5.20 (SGK-tr53).
Trong không gian , tính góc giữa hai đường thẳng:

GIẢI:
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là , đường thẳng có
một vectơ chỉ phương là . Ta có :

Bài 5.21 (SGK-tr53)
Trong không gian , tính góc giữa trục và mặt phẳng

GIẢI:
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là , mặt phẳng có
một vectơ pháp tuyến là . Ta có :

B à i  5.22 ( SGK − tr 53)
và mặt phẳng

GIẢI:
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là , mặt phẳng có
một vectơ pháp tuyến là .

Bài 5.23 (SGK-tr53)
Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng
hình chóp , có đáy là hình vuông với
cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng
nhau

và

dài

219

m

(theo

britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa
hai mặt phẳng và

VẬN DỤNG

Bài 5.23 (SGK-tr53)
GIẢI:
Chọn hệ trục sao cho là giao điểm của
và , điểm thuộc tia , điểm thuộc tia điểm
thuộc tia .
Ta có :
.
.

Bài 5.23 (SGK-tr53)
GIẢI:

.

Từ các vectơ trên ta tính được :
•

Một vectơ pháp tuyến của là

;
•
;

Một vectơ pháp tuyến của là

B à i  5.24 ( SGK − tr 53)
(H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta
đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có
dạng hình bình hành và khoảng cách từ các điểm đến đáy bể tương ứng là 40
cm, 44 cm, 48 cm.
a) Khoảng cách từ điểm đến đáy bể bằng
bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy
giá trị nguyên.)
b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm
ngang một góc bao nhiêu độ?

B à i  5.24 ( SGK − tr 53)

GIẢI:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Ta có : .
Có .

a)

Vì

nên

Suy ra .
Vậy khoảng cách từ điểm đến đáy bể là 44 cm.

GIẢI:

B à i  5.24 ( SGK − tr 53)
b) Ta có đáy bể nằm trong mặt phẳng : có
vectơ pháp tuyến .
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là .

Khi đó :
Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang gần bằng .