Đề tài:
Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n cùc trÞ
h×nh häc ë cÊp THCS

A. §Æt vÊn ®Ò
I. Lý do chän ®Ò tµi:
Bộ môn toán vốn dĩ đã rất đa dạng, gây không ít hứng thú lòng say mê tìm kiếm. Tuy nhiên có những dạng toán có thể nói là rất khó, để đi tới đích không phải học sinh cấp II nào cũng thực hiện được. Trong khi đó học sinh là đối tượng mà ta trực tiếp phải quan tâm truyền tải những vấn đề còn vướng mắc. Một trong nhiều dạng toán khó đó là những bài toán cực trị h×nh häc. Toán cực trị h×nh häc quả thật rất phong phú, nó mang một nội dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán: Đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài nhất … trong một bài toán, để dần dần hình thành cho học sinh một thói quen đi tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó cho cuộc sống sau này.
Sự phong phú và đa dạng của toán cực trị h×nh häc đã dẫn đến rất nhiều khó khăn trong việc đi tìm lời giải. Có rất nhiều bài không biết bắt đầu từ đâu, vận dụng kiến thức gì trong chương đã học. Nhiều học sinh rất ngại khi gặp loại toán này và tìm lời giải một cách mò mẫm, thiếu định hướng. Là giáo viên dạy toán chúng ta không thể không trăn trở trước những băn khoăn lo ngại và những bế tắc của học sinh. Bởi vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để giải trôi chảy các bài toán cực trị h×nh häc. Hay nói một cách khác để giải được những bài toán đó, các em cần trang bị những kiến thức cơ bản nào? những kiến thức nào trực tiếp nhất và thông thường cần sử dụng các phương pháp cụ thể nào?
Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y líp 9 nh÷ng n¨m qua t«i nhËn thÊy ®a phÇn c¸c em biÕt mét sè bµi h×nh quen thuéc nh­ chøng minh c¸c tø gi¸c néi tiÕp, c¸c ®o¹n th¼ng b»ng nhau….vv. Song viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n “Cùc trÞ h×nh häc’’ th× c¸c em cßn h¹n chÕ vµ lóng tóng ch­a ®Þnh h­íng ®­îc c¸ch gi¶i, ®a phÇn c¸c em ch­a biÕt ph©n lo¹i c¸c d¹ng ®Ó gi¶i.Tõ thùc tiÔn d¹y m«n to¸n líp 9,còng nh­ båi d­ìng häc sinh giái líp 9 t«i nhËn thÊy viÖc d¹y “ Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc ë cÊp THCS ’’ lµ ®iÒu cùc kú quan träng. Bëi v× ®©y lµ mét d¹ng to¸n t­¬ng ®èi khã vµ th­êng xuÊt hiÖn trong c¸c ®Ò thi chuyÓn cÊp, ®Ò thi häc sinh giái, ®Ò thi gi¸o viªn giái.Với suy nghĩ đó tôi xin đưa ra một số phương pháp giải toán cực trị h×nh häc ở cấp THCS để cùng tham khảo.
II. Môc ®Ých, nhiÖm vô nghiªn cøu
Tõ thùc tÕ gi¶ng d¹y m«n to¸n cho häc sinh trong nh÷ng n¨m qua t«i ®· rót ra ®­îc mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y chuyªn ®Ò : “Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc ë cÊp THCS ” víi môc ®Ých ¸p dông kinh nghiÖm nµy trong gi¶ng d¹y ®Ó gióp häc sinh :
- N¾m ®­îc c¸c d¹ng bµi vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc .
- RÌn kÜ n¨ng lµm bµi to¸n cùc trÞ.
- Häc sinh thÊy ®­îc lo¹i to¸n gÇn gòi víi thùc tÕ vµ cã nhiÒu øng dông trong thùc tÕ .
- RÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn cho häc sinh c¸c phÈm chÊt trÝ tuÖ, c¸c thao t¸c t­ duy : So s¸nh, ph©n tÝch, tæng hîp, ®Æc biÖt ho¸, kh¸i qu¸t ho¸ …
- T×m hiÓu thùc tr¹ng d¹y vµ häc cña gi¸o viªn vµ häc sinh t¹i tr­êng ®Ó ®óc rót cho m×nh nh÷ng kinh nghiÖm bæ Ých.
- Nghiªn cøu kü ch­¬ng tr×nh to¸n THCS.
III. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu :
- Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu chñ yÕu lµ :
+ Ph­¬ng ph¸p thùc nghiÖm .
+ Ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch – tæng hîp .
+ Ph­¬ng ph¸p ®Æc biÖt ho¸ - Kh¸i qu¸t ho¸ .
- §iÒu tra kh¶o s¸t thùc tr¹ng ®Ó n¾m b¾t ®­îc chÊt l­îng d¹y vµ häc cña gi¸o viªn.
- §äc, nghiªn cøu SGK, tµi liÖu tham kh¶o, hái ý kiÕn ®ång nghiÖp cïng chuyªn m«n víi m×nh.
- TiÕn hµnh d¹y thÓ nghiÖm trªn ®èi t­îng häc sinh råi kiÓm tra ®¸nh gi¸ chÊt l­îng. NÕu cã kÕt qu¶ tèt th× tiÕn hµnh tæ chøc chuyªn ®Ò më réng trªn ph¹m vi tæ cña m×nh, lÊy ý kiÕn ®ãng gãp cña c¸c ®ång nghiÖp ®Ó bæ sung söa ®æi cho phï hîp vµ t×m thÊy c¸i hay, c¸i ®óng cña ®Ò tµi nµy.
IV. Ph¹m vi nghiªn cøu
- Ch­¬ng tr×nh to¸n THCS
- §èi t­îng häc sinh: líp 9
B. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò
I. §iÒu tra t×nh h×nh häc sinh
Qua kh¶o s¸t vµ ®iÒu tra häc sinh líp 9 ®Çu n¨m häc 2009-2010 vÒ gi¶i to¸n cùc trÞ h×nh häc thu ®­îc kÕt qu¶ nh­ sau:

Líp
Tæng sè
Giái
Kh¸
TB
YÕu



SL
%
SL
%
SL
%
SL
%

9D
33
4
12,1%
5
15,2%
10
30,3%
14
42,4%

9C
33
0
0%
2
6,1%
12
36,4%
19
57,5%

Tr­íc thùc tr¹ng ®ã th«ng qua c¸c giê lªn líp, c¸c buæi phô ®¹o, båi d­ìng, t«i ®· cè g¾ng t×m ra nh÷ng ph­¬ng ph¸p tiÕp cËn mét sè d¹ng to¸n cô thÓ ®Ó qua ®ã c¸c em häc sinh cã thÓ mét phÇn nµo vËn dông ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ. Sau ®©y t«i xin ®­a ra mét sè néi dung mµ t«i ®· thùc hiÖn, ¸p dông vµ ®¹t hiÖu qu¶ nhÊt ®Þnh trong gi¶ng d¹y.
II. Néi dung
1. Lý thuyÕt chung vÒ bµi to¸n cùc trÞ
C¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ h×nh häc lµ c¸c bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét ®¹i l­îng biÕn thiªn (®é dµi ®o¹n th¼ng, diÖn tÝch ®a gi¸c, thÓ tÝch khèi ®a diÖn...).
C¸c bµi to¸n cùc trÞ th­êng ®­îc tr×nh bµy theo hai c¸ch :
C¸ch 1 : ChØ ra mét h×nh råi chøng minh r»ng h×nh ®ã cã ®¹i l­îng cÇn t×m cùc trÞ lín h¬n ®¹i l­îng t­¬ng øng víi mäi h×nh kh¸c nÕu lµ bµi to¸n GTLN vµ nhá h¬n ®¹i l­îng t­¬ng øng cña mäi h×nh kh¸c nÕu bµi to¸n t×m GTNN.
C¸ch 2 : Thay mét ®¹i l­îng cÇn t×m cùc trÞ thµnh mét ®¹i l­îng kh¸c t­¬ng øng ( nÕu ®­îc) råi tõ ®ã dïng ®Õn kiÕn thøc t×m GTLN vµ GTNN cña A víi A lµ mét ®¹i l­îng nµo ®ã ( gãc , ®o¹n th¼ng…..)
a/ Ta chøng minh ®­îc A
( m kh«ng ®æi ) cã mét h×nh sao cho A = m th× GTNN cña a lµ m.
b/ Ta chøng minh ®­îc A
( n kh«ng ®æi ) cã mét h×nh sao cho A = n th× GTLN cña A lµ n.
Tõ ®ã x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña c¸c ®iÓm ®Ó ®¹t cùc trÞ.
2. Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i mét sè d¹ng to¸n cùc trÞ th­êng gÆp
2.1. C¸c bµi to¸n cùc trÞ vÒ ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng, ®é dµi cung trßn
D¹ng 1: VËn dông quan hÖ gi÷a ®­êng vu«ng gãc vµ ®­êng xiªn, ®­êng xiªn h×nh chiÕu, kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng song song
KiÕn thøc cÇn nhí:
1) Cho B
; C
; M

NÕu MA
; A
, th× :
+ MA
MB. DÊu b»ng x¶y ra khi A
B
+ AB
AC
MB
MC
2) NÕu a// b vµ A
a ; B,C
b
vµ AB
a ; AB
b th×:
AB
AC. DÊu b»ng x¶y ra khi B
C

b. VÝ dô:
VÝ dô 1: Cho (O;R) vµ ®iÓm A n»m ngoµi ®­êng trßn. Qua A vÏ ®­êng th¼ng (d) c¾t ®­êng (O) t¹i B vµ C (B n»m gi÷a A vµ C). T×m vÞ trÝ cña (d) ®Ó AB + AC lín nhÊt.
Gi¶i: Gäi I lµ trung ®iÓm BC

OI ( BC t¹i I
Ta cã: AB + AC = AI – IB + AI + IC = 2AI

(AB + AC)max
AI max
Mµ AI
AO = const (bÊt ®¼ng thøc vÒ ®­êng vu«ng
gãc vµ ®­êng xiªn)
DÊu “=” x¶y ra
I
O hay (d) ®i qua O.
VËy AB + AC lín nhÊt khi (d) ®i qua O.
Chó ý: Khi gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ, nhiÒu khi ta cÇn biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng ®iÒu kiÖn cùc trÞ cña ®¹i l­îng nµy thµnh ®¹i l­îng cùc trÞ cña ®¹i l­îng kh¸c. ë vÝ dô trªn ta ®· biÕn ®æi (AB + AC)max thµnh AI max.
VÝ dô 2: Cho tam gi¸c ABC . Qua A dùng ®­êng th¼ng d c¾t c¹nh BC cña tam gi¸c sao cho tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ B vµ C ®Õn d cã gi¸ trÞ nhá nhÊt .
H­íng dÉn:
Gäi D lµ giao ®iÓm cña d vµ c¹nh BC. VÏ BM, CN vu«ng gãc víi d. Sö dông tiªn ®Ò vÒ diÖn tÝch råi t×m c¸ch biÕn ®æi BM + CN =
(
lµ diÖn tÝch
)
Do ®ã BM + CN nhá nhÊt

nhá nhÊt
AD lín nhÊt.
Sau ®ã gi¶ sö AC
AB råi vËn dông quan hÖ gi÷a ®­êng xiªn vµ h×nh chiÕu ®Ó t×m cùc trÞ.
Gi¶i :
Gäi D lµ giao ®iÓm cña d vµ c¹nh BC .
VÏ BM , CN vu«ng gãc víi d
Víi mäi vÞ trÝ cña D trªn c¹nh BC ta cã :
SBAD + S CAD = S ABC



BM + CN =

Do ®ã BM + CN nhá nhÊt

nhá nhÊt
AD lín nhÊt.
Gi¶ sö AC
AB th× trong hai ®­êng xiªn AD , AC
®­êng xiªn AD cã h×nh chiÕu nhá h¬n do ®ã AD
AC kh«ng ®æi
AD = AC
D
C .
VËy ®­êng th¼ng d ph¶i dùng lµ ®­êng th¼ng chøa c¹nh lín nhÊt trong hai c¹nh AB,AC .
Ta cã thÓ më réng bµi to¸n trªn lµ ®­êng th¼ng d
cã thÓ c¾t hoÆc kh«ng c¾t c¹nh BC.
Khi ®ã ta ph¶i xÐt thªm tr­êng hîp d kh«ng c¾t c¹nh BC.
Ta lÊy E ®èi xøng víi B qua A (h×nh vÏ), khi ®ã d c¾t
®o¹n th¼ng CE. Gi¶i t­¬ng tù nh­ vÝ dô 2.
Trong c¶ hai tr­êng hîp, ®­êng th¼ng d ph¶i dùng lµ
®­êng th¼ng chøa c¹nh lín nhÊt trong hai c¹nh AB,AC .
Chó ý: §Æc biÖt ho¸ bµi to¸n khi
ABC vu«ng c©n t¹i A, ta cã bµi to¸n:
Cho h×nh vu«ng ABCD. Dùng ®­êng th¼ng ®i qua t©m h×nh vu«ng sao cho tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ bèn ®Ønh h×nh vu«ng ®Õn ®­êng th¼ng cã gi¸ trÞ nhá nhÊt.
( Tr¶ lêi: ®­êng th¼ng ph¶i dùng gåm hai ®­êng th¼ng chøa ®­êng chÐo h×nh vu«ng)
VÝ dô 3 : Cho hai ®­êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i A vµ B, OO’ = 3 cm. Qua A vÏ mét ®­êng th¼ng c¾t ®­êng trßn (O) t¹i M vµ c¾t ®­êng trßn (O’) t¹i N ( A n»m gi÷a M vµ N). TÝnh ®é dµi lín nhÊt cña MN.
H­íng dÉn:
VÏ OH
MN ; O’K
MN. LÝ luËn dÉn ®Õn MN = 2HK. Chøng minh tø gi¸c HKO’O lµ h×nh thang cã c¹nh bªn HK vu«ng gãc víi hai ®¸y. Sau ®ã vËn dông kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng song song ®Ó t×m ®é dµi lín nhÊt cña MN.
Gi¶i:
VÏ OH
MN ; O’K
MN ta ®­îc:
HA = HM =
AM
KA = KN =
AN
Do ®ã: HA + AK =
( AM + AN)
HK =
MN hay MN = 2HK
Ta cã OH // O’K( cïng vu«ng gãc víi MN)
Tø gi¸c HKO’O lµ h×nh thang cã c¹nh bªn HK vu«ng gãc víi hai ®¸y.
Suy ra HK
OO’( dÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi HK // OO’)
Do ®ã MN
2OO’ = 6 cm
VËy max MN = 6cm, ®¹t ®­îc khi vµ chØ khi MN // OO’.

D¹ng 2: VËn dông quy t¾c c¸c ®iÓm
a. KiÕn thøc cÇn nhí:
Víi 3 ®iÓm A,B,C bÊt kú ta cã : AB + AC
BC
DÊu b»ng x¶y ra
A n»m gi÷a B vµ C ( BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c)
Víi n ®iÓm A
,
,…..A
ta cã :
A

+
A
+……+A
A

A
A

DÊu b»ng x¶y ra khi A
,
,…..A
t