O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
Quan sát vị trí của các đồ thị màu hông với các đường thẳng màu vàng
Tiệm cận
1.Đinh nghĩa:giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và M(x;y) là một điểm thay đổi trên (C).
a)Nhánh vô cực của đồ thị hàm số là gì?
Ta nói (C) có nhánh vô cực nếu ít nhất một trong hai tọa độ x, y dần tới ? và viết M??? x?? hoặc y??
O
x
y
d
M
H
M
H
M
H
M
H
M
H
M
H
Cho đường thẳng d
và MH = d(M,d)
D là tiệm cận của (C) ?
Lim MH = 0
M?0
M?(C)
b)Tiệm cận của đồ thị hàm số là gì?
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
Quan sát vị trí của các đồ thị màu hồng với các đường thẳng màu vàng
Tiết:Tiệm cận
Thiết kế và thực hiện:Nguyễn Thị Vân
Giáo viên:THPT Trần Hưng Đạo
2.Các loại tiệm cận
Giả sử d là một tiệm cận của đồ thị hàm số y = f (x)
a)Nếu d cùng phương với Oy ta gọi d là tiệm cận đứng..
b) Nếu d cùng phương với Ox ta gọi d là tiệm cận ngang.
c) Nếu d không thuộc hai loại trên ta gọi d là tiệm cận xiên.
3.Dấu hiệu tiệm cận của đồ thị y = f (x).
Định lý:Nếu lim f(x) = ?
x?x0
Thì d : x = x0 là tiệm cận đứng của (C).
a) Tiệm cận đứng
Chứng minh
Định lý: Nếu lim f(x) = ?
x?x0
Thì d : x = x0 là tiệm cận đứng của (C).
O
x
y
x0
M
x
y
H
lim f(x) = ? ? khi x?x0 thì y = f(x) ??
x?x0
=> M(x;y) ?? => đồ thị có nhánh vô cực
Khi đó MH = |x-x0|?0 (khi M(x;y) ??)
?
lim MH = 0 ? d có phương trình x = x0 là một tiệm cận đứng của (C)
M??
Chứng minh
3.Dấu hiệu tiệm cận của đồ thị y = f (x).(tiếp)
Hàm số y =
x2 - 3x +1
x-3
(C)
Kết luận nào sau đây đúng?
a) (C) không có tiệm cận đứng.
b) (C) có tiệm cận đứng phương trình là : x =- 3
c) (C) có 2 tiệm cận đứng phương trình là : x = 3 và x = -3
d) (C) có tiệm cận đứng phương trình là: x = 3
d
Bài giải :
lim
x?3
x2 - 3x +1
x-3
=
?
(C) có tiệm cận đứng phương trình là: x = 3
3.Dấu hiệu tiêm cận của đồ thị y = f (x).(tiếp)
b) Tiệm cận ngang
Định lý: Nếu lim f(x) = y0
x??
Thì d : y =y0 là tiệm cận ngang của (C).
Chứng minh
O
x
y
y0
M
x
y
H
MH = |y-y0|
Vì lim f(x) = y0 ? khi x?? thì y = f(x) ?y0 ? y-y0?0 ? MH?0
x??
=> d: y = y0 là một tiệm cận ngang của đồ thị (C)
Đồ thị hàm số nào có tiệm cận ngang
x2 - 3x +1
x-3
a)y =
- 3x +1
x-3
b)y =
- 3x +1
3
c)y =
x2- 3x +1
d)y =
b
Bài giải :
lim
x??
- 3x +1
x-3
=
- 3
(C) có tiệm cận ngang phương trình là: y = - 3
3.Dấu hiệu tiêm cận của đồ thị y = f (x).(tiếp)
c) Tiệm cận xiên.
Cho đồ thị M(x;y) ? (C) dần tới vô cực thì cả hai tọa độ x và y đều dần
tới vô cực, Gọi d là đường thẳng có phương trình y = ax+b
Định lý:
d là một tiệm cận của (C) ?
lim [ f(x) - (ax+b)] = 0 (*)
x? -?
lim [ f(x) - (ax+b)] = 0 (**)
x? +?
lim [ f(x) - (ax+b)] = 0 (***)
x? ?
?Nếu thỏa mãn (*) => d là tiệm cận xiên trái của (C)
?Nếu thỏa mãn (**) => d là tiệm cận xiên phải của (C)
?Nếu thỏa mãn (***) => d là tiệm cận xiên hai bên của (C),
Nói tắt là tiệm cận xiên.
lim [ f(x) - (ax + b) ] = 0
x?+?
? d : y = ax + b là tiệm cận xiên của (C).
O
x
y
M
x
f(x)
H
P
Chứng minh
M (x ; f(x) )?(C),
P (x ; ax+b )? d
d
MH = d(M,d)
? Là góc giữa d và Ox(???/2)
Tam giác vuông MHP có MH = MP cos?
D là t/c của (C) ? lim MH = lim MP cos? = 0
M?+? M?+?
M?(C) M?(C)
Lim MH = 0
M?+?
M?(C)
lim [f(x) - ( ax+b)] = 0 (*)
x?+?
3.Dấu hiệu tiệm cận của đồ thị y = f (x).(tiếp)
c) Tiệm cận xiên.
P
O
x
y
y = f(x)
d
M
x
f(x)
H
M (x ; f(x) )?(C)
P (x ; ax+b )? d
MH = d(M,d)
? Là góc giữa d và Ox(???/2)
Tam giác vuông MHP có MH = MP cos?
D là t/c của (C) ? lim MH = lim MP cos ? = 0
M?-? M?-?
M?(C) M?(C)
Lim MH = 0
M?-?
M?(C)
lim [f(x) - ( ax+b)] = 0 (**)
x? -?
lim [ f(x) - (ax + b) ] = 0
x?-?
? d : y = ax + b là tiệm cận xiên của (C).
Chứng minh
3.Dấu hiệu tiệm cận của đồ thị y = f (x).(tiếp)
c) Tiệm cận xiên.
Đồ thị hàm số nào có tiệm cận xiên
x2 - 3x +1
x-3
a) y =
- 3x +1
x-3
b)y =
- 3x +1
3
c)y =
x2- 3x +1
d)y =
a
Bài giải :
Ta viết lại y = x +
1
x-3
lim
x??
[(x +
1
x-3
) - x]=
lim
x??
1
x-3
= 0
(C) có tiệm cận xiên phương trình là: y = x
Bài I: Tìm tất cả các tiệm cận của các hàm số sau:
1) y =
x2 - 3x +1
x +1
2) y =
x2 - 5x +7
x -1
3) y =
x2 +4x +1
x
4) y =
x2 + 3x +3
1- 2x
5) y =
x2 - 2x +1
2x +1
6) y = x +1 +
1
x
7) y = -x +
1
x-3
8) y = -x +3 -
1
x-3
9) y = x +3 -
1
x-3
Bài II: Tìm tất cả các tiệm cận của các hàm số sau:
1) y =
- 3x +1
x +1
2) y =
- 5x +7
x -1
3) y =
4x +1
x
4) y =
3x +3
1- 2x
5) y =
- 2x +1
2x +1
6) y = 1 +
1
x
7) y =
1
x
8) y = 3 -
1
x-3
9) y = -3 -
1
x+3
mx3 - 1
x2 - 3x+ 2
Bài III:Tìm m để các hàm số sau:
1.y =
x2
x - m
có tiệm cận
2.y =
2x2-3x +m
x - m
không có tiệm cận đứng.
3.y =
x2+mx - 1
x - 1
có tiệm cận xiên tạo với 2 trục tọa độ một tam giác
có diện tích bằng 8.
Bài IV:Tìm các tiệm cận tuỳ theo m của các hàm số sau:
1.y =
2x2-3x +m
x - m
2.y =
x+2
x2 - 4x+ m
3.y =
Bài V:
Lấy điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) của hàm số y = f(x) =
x2+3x - 1
x - 2
CMR:
Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C) luôn không đổi