Kính chào !
CHƯƠNG IV :
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
TIẾT 75 - 76
$ 1 : HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP
Quy tắc cộng và quy tắc nhân :
a) Quy tắc cộng :
Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1 ; m2 cách chọn đối
tượng x2 ; . mn cách chọn đối tượng xn và nếu cách
chọn đối tượng xi không trùng với bất kỳ cách chọn đối
tượng xj nào thì có m1 + m2 + . + mn cách chọn một
trong các đối tượng đã cho .
* Ví dụ :
Từ các chữ số 1; 2 ; 3 có thể lập được bao nhiêu số
khác nhau có những chữ số khác nhau ?
Giải :
. Từ 1 ; 2 ; 3 có thể lập được 3 số có 1 chữ so �? 3 cách
. Từ 1 ; 2 ; 3 có thể lập được 6 số có 2 chữ số khác nhau
? 6 cách
. Từ 1 ; 2 ; 3 có thể lập được 6 số có 3 chữ số khác nhau
? 6 cách
. Vậy có tất cả : 3 + 6 + 6 = 15 cách chọn ? 15 số
b) Quy tắc nhân :
Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp ;
�bước 1 có m1 cách ; bước 2 có m2 cách ; . bước n có mn
cách , thì phép chọn đó được thực hiện theo m1.m2.mn
cách khác nhau .
* Ví dụ : Có 18 đội bóng đá tham gia thi đấu . Hỏi có
bao nhiêu cách trao 3 loại huy chương vàng , bạc , đồng
cho 3 đội nhất , nhì , ba biết rằng mỗi đội chỉ có thể nhận
nhiều nhất là một huy chương và đội nào cũng có thể đạt
huy chương.
Giải : Mỗi đội đều có thể nhận huy chương ? có 18
cách trao huy chương vàng . Sau đó thì mỗi đội trong 17
đội còn lại nhận huy chương bạc ? có 17 cách trao huy
chương bạc . Sau đó thì mỗi đội trong 16 đội còn lại có thể
nhận huy chương đồng ? có 16 cách trao huy chương đồng .
. Vậy có : 18. 17 . 16 = 4896 cách trao giải.
2. Hoán vị :
1) Định nghĩa :
Cho tập A , gồm n phần tử ( n ? 1) .Mỗi cách sắp thứ
tự n phần tử của tập hợp A được gọi là 1 hoán vị của n
phần tử .
* Ví dụ :
. Tập A = { a ; b } có 2 hoán vị của 2 phần tử là : ab ; ba.
. B = { a ; b ; c } có các hoán vị là :
abc ; acb ; bac ; bca ; cab ; cba
2) Số hoán vị của n phần tử :
* Định lý : Pn = n (n - 1) (n - 2) ..3 . 2 . 1 = n!
(Cm s.g.k) được gọi hoán vị của n phần tử .
* Ví dụ :
Cho A = {1;2;3;4} số hoán vị là P4 = 4! = 24

3. Chỉnh hợp :
a) Định nghĩa :
Cho tập A , gồm n phần tử ( n ? 1) .Mỗi bộ gồm k
(0 ? k ? n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi
là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
* Ví dụ :
. Cho A = { a ; b ; c } các chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử
là : (a,b) ; (a,c) ; (b,c) ; (b,a) ; (c,a) ; (c,b) : có 6 chỉnh hợp.
. Lập tất cả các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau mà
chữ số nào cũng là lẻ .
Giải :
Thiết lập sự cấu trúc :
3
Cho số 13
5
Cho số 15
7
Cho số 17
9
Cho số 19
Vậy có tất cả 4 số lẻ chữ số 1 đầu
Tương tự với các chữ số : 3 ; 5 ; 7 ; 9 :
1
Cho số 31
5
Cho số 35
7
Cho số 37
9
Cho số 39
Vậy có tất cả 4 số lẻ chữ số 3 đầu
Vậy có tất cả các số là : 4 . 5 = 20 số lẻ phải tìm.
b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử :
* Ví dụ 1: Tính chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử : a ; b ; c
Giải :
* Định lý :
= n (n - 1) (n - 2) . (n - k + 1)
Cm s.g.k
* Ví dụ 2 : Tính chỉnh hợp chập 3 của 5 số :1,2,3,4,5
= 5 .(5 - 1) (5 - 2) (5 - 3 + 1) = 5.4.3 = 60
= 3 .(3 - 2 + 1) = 3.2 = 6
* Ví dụ 3 : Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp thứ tự 5
cầu thủ để đá bóng luân lưu 11 m , biết rằng cả 11 cầu
thủ (cả gôn) đều có khả năng như nhau .
Giải :
Mỗi cách chọn và sắp thứ tự là 1 chỉnh hợp chập
5 của 11 phần tử , do đó số khả năng chọn là :
= 11 .(10).(9).(8).(7) = = 55440
* Chú ý : * Biểu thức tính chỉnh hợp :
* Quy ước :
4. Tổ hợp :
a) Định nghĩa :
Cho tập A , gồm n phần tử ( n ? 1) .Mỗi tập con gồm k
(0 ? k ? n) phần tử của tập hợp A được gọi là 1 tổ hợp
chập k của n phần tử dã cho .
b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử :
* Định lý :
* Ví dụ 1 :
Có 6 thầy giáo tham gia hỏi thi . Mỗi phòng cần 2 giám
khảo . Hỏi có bao nhiêu cách ghép 6 thành đôi để hỏi thi
* Ví dụ 2 :
Có 20 đội bóng đá tham gia đấu tính điểm , thể lệ cuộc
thi là bất kỳ 2 đội nào cũng chỉ gặp nhau 1 lần . Hỏi phải
tổ chức bao nhiêu trận đấu ?

Số trận đấu :
Ví dụ 2 :
Có bao nhiêu đường chéo trong 1 hình thập giác lồi .
Một thập giác lồi có 10 đỉnh .Qua mỗi cặp đỉnh có 1
đường thẳng duy nhất ; mỗi cặp điểm là 1 đường thẳng
là đường chéo hoặc 1 cạnh .

Số đường chéo là :
c) Các hệ thức giữa các số Cnk :
Cm s.g.k
TIẾT 77 - 78
BÀI TẬP:
HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP
Bài 1:
Từ các chữ số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số
tự nhiên có 4 chữ số
Số được lập có dạng :
a,b,c,d được chọn : 4 trường hợp trong các số 1,5,6,7
Vậy có : 44 = 256 số phải tìm .
2) Bài 2:
Từ các chữ số N = { 0,1,2,3,4,5,6 } .Có thể lập được bao
nhiêu chữ số tự nhiên chẵn có 3 chữ số
Soá döôïc laäp coù daïng :
vôùi a  0 vaø c chöõ soá chaün .
3) Bài 3:
? c được chọn {2 , 4, 6, 0} : có 4 cách
a được chọn N{0} : có 6 cách
b được chọn trong N : có 7 cách
? Tổng số được lập : 4.6.7 = 168 số chẵn
Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số mà cả 2 chữ số
đều chẵn
N = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ; Số phải tìm có dạng :
( trong doù a , b ñeàu laø chöõ soá chaün )
a ñöôïc choïn : {2,4,6,8} coù 4 caùch choïn .
b ñöôïc choïn : {1,2,4,6,8} coù 5 caùch choïn
 Vaäy soá coù 2 chöõ soá chaün laø : 4.5 = 20 soá
4) Bài 4:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số
cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau .
a = e ? 0 có 9 cách chọn đồng thời 2 chữ số .
Số phải lập có dạng :
trong đó :


b = d có10 cách chọn cùng 2 chữ số .
c có10 cách chọn bất cứ số nào .
? có 9.10.10 = 900
}
5) Bài 5:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5 .
Số lập có dạng :
trong ñoù f choïn : { 0 ; 5} coù 2 caùch
? Tổng số phải tìm là : 2.9.10.10.10.10 = 180 000 số
a ? 0 có 9 cách chọn
; b,c,d,e : mỗi chữ có 10 cách chọn
6) Bài 6:
Một đội văn nghệ đã chuẩn bị được 2 vở kịch , 3 điệu múa
và 6 bài hát . Tại hội diễn mỗi đội văn nghệ chỉ được
trình diễn 1 vở kịch , 1 điệu múa và 1 bài hát . Hỏi đội văn
nghệ nói trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu
diễn ; biết rằng chất lượng các vở kịch , các điệu múa ,
các bài hát là như nhau .
Chọn kịch , múa , hát mỗi kiểu 1 tiết mục
2 vở kịch có 2 cách chọn ;
3 điệu múa có 3 cách chọn ;
6 bài hát có 6 cách chọn .
? Vậy có : 2.3.6 = 36 cách chọn.
7) Bài 7:
Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường . Từ
thành phố A đến thành phố C có 2 con đường . Từ thành
phố B đến thành phố D có 2 con đường , Từ thành phố C
đến thành phố D có 3 con đường . Không có con đường
nào nối từ thành phố B với thành phố C .
Hỏi có bao nhiêu con đường từ A đến D.
Từ A đến D qua B có 3.2 = 6 đường
A
B
C
D
Từ A đến D qua C có 2.3 = 6 đường
Vậy từ A đến D có tất cả :
6 + 6 = 12 con đường
8) Bài 8
Tính các số : P4 ; P6 ; P7 : A73
P4 = 4! = 1.2.3.4 = 24 ; P6 = 6 ! = 1.2.3.4.5.6 = 720
9) Bài 9:
Giản ước các biểu thức .
10) Bài 10:
Giải phương trình :
ĐK : m ? 1 ? 0 ? m ? 1
Giải phương trình :
ĐK :
; x ? Z
Thế x = 1 ; x = 2 ; x = 3 vào phương trình :
* x = 1 ?
? 3 = 3 (N)
* x = 2 ?
? 6 = 6 (N)
* x = 3 ?
18 = 6 (L)
* Vậy nghiệm : x = 1 ; x = 2
11) Bài 13:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác không ,
biết rằng tổng 3 chữ số này bằng 8 .
Số phải tìm có dạng :
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
với a + b + c = 8 và a ? b ? c ? 0
Với a = 1 ? b = 2 ; c = 5
a = 1 ? b = 3 ; c = 4
? có 2 trường hợp xảy ra với a,b,c hoán vị nên có : 2.P3 = 12 số
12) Bài 14 b :
Chứng minh rằng :
13 ) Bài 15:
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 người khách vào 5 ghế
thành 1 dãy .
A B C D E

Saép xeáp gheá :

laø 1 hoaùn vò P5 = 120 caùch
14 ) Bài 17:
Có bao nhiêu cách phân phối 5 đồ vật khác nhau cho 3 người
sao cho :
a) 1 người nhận được 1 đồ vật , còn 2 người kia mỗi người nhận
được 2 đồ vật
b) mỗi người nhận được ít nhất 1 đồ vật .
Có 5 đồ vật ; gọi 3 người thứ tự là : A , B , C
Giải :
a) A nhận 1 đồ vật trong 5 đồ ? có C51 cách
B nhận được 2 đồ vật trong 4 đồ còn lại ? có C42 cách
C nhận được 2 đồ vật trong 3 đồ còn lại ? có C32 cách
Vậy có : C51 .C42 .C32 = 30 cách
Mà B,C có thể nhận thay như A ? có tất cả: 30 +30 +30 = 90 cách
b) Có các trường hợp xảy ra :
A nhận 1 đồ vật ; B nhận 2 đồ ; C nhận 2 đồ ? có C51.C42.C32 = 30
và A,B,C luân phiên cho nhau ? có 3.30 = 90 cách
A nhận 1 đồ ; B nhận 3 đồ , C nhận 1 đồ ? có C51 C43 .C31 = 20 cách
và A,B,C luân phiên nhau ? có 3.20 = 60 cách
Vậy tổng số cách là : 90 + 60 = 150 cách .
$ 2 : CÔNG THỨC NHỊ THỨC NƯUTƠN
Công thức nhị thức Nưutơn :
(a + b)n = Cn0 an + Cn1 a n-1 b + Cn2 an-2 b 2 + . . . + .
+ Cnk a n - k b k + . + Cnn b n
Ký hiệu :
Ví dụ :
Tính (3x - 4)5
= C50(3x)5
= 243 x5 – 1620 x4 + 4320 x3 – 5760 x2 + 3840 x – 1024 .
+ C51(3x) 4(-4)
+ C52(3x)3(-4)2
+ C53(3x)2(-4)3
+ C54(3x)(-4)4
+ C55(3x)0 (-4)5
2. Các tính chất của công thức nhị thức Nưutơn :
1). Số các số hạng của công thức bằng n + 1
2). Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng
số mũ của nhị thức : (n - k) + k = n
3). Số hạng tổng quát có dạng :
4). Các hệ số nhị thức cách đều 2 số hạng đầu và cuối
bằng nhau : Cnk = Cnn - k
5). Có thể viết :
6). 2n = (1 + 1)n =Cn0 + Cn1 + Cn2 + . + Cnk + . + Cnn
7). 0 = (1-1)n = Cn0 - Cn1 + Cn2 - . + (-1)kCnk + . + (-1)kCnn
3. Tam giác Pascan :
( Pascal )
( Có thể sắp xếp các hệ số của (a + b) n thành 1 tam giác )
n = 0 các hệ số là :
1
C00
1
n = 1 các hệ số là :
1
C10
1
1
C11
1
n = 2 các hệ số là :
1
C20
1
2
C21
2
1
C22
1
n = 3 các hệ số là :
1
C30
1
3
C31
3
3
C32
3
1
C33
1
n = 4 các hệ số là :
1
C40
1
4
C41
4
6
C42
6
4
C43
4
1
C44
1
n = 5 các hệ số là :
1
C50
1
5
C51
5
10
C52
10
10
C53
10
5
C54
5
1
C55
1
n = 6 ? :
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
1
6
+
=
15
+
=
20
+
=
15
+
=
6
1
..... ? :
+
=
21
+
=
35
Ví dụ :
= 32x5 + 80 x4 + 80 x3 + 40 x2 + 10 x + 1
Khai triển .
a) (2x + 1) 5
= C50 (2x)5
+ C51 (2x)4
+ C52 (2x)3
+ C53 (2x)2
+ C54 (2x)
+ C55
b) Tính tổng sau :
Dùng (1 + x)5 = C50 + C51 x + C52 x2 + C53 x3 + C54 x4 + C55 x5
Thay x = 2 ? (1 + 2)5 = 35 = 243
TIẾT 82 - 83
ÔN TẬP CHƯƠNG IV
Vấn đề tổ hợp
2) Vận dụng công thức nhị thức Nưutơn .
3) Giải các bài tập .
1. Giản ước biểu thức .
2) Giải bất phương trình :
(nN*)
ĐK : n ? 1 ? 0 ? n ? 1
So đk : ? n = 3 ; n = 4 ; n = 5
3) Giải phương trình :
ĐK : n ? k ? 0 ? 0 ? k ? n ; n ? N
4) Chứng minh :
Khai triển (a + b)n = Cn0 an + Cn1 an - 1b + Cnn - 2 ann - 2 b2 + . + Cnn bn
Cho a = 1 ; b = ?1
1 ? Cn1 +Cn2 ? .+ (?1) p Cnp
Mà : Cn - 1p = Cnp+1 ? Cn?1p+1
? Cn?1p+1 = ? Cnp+2 + Cn?1p+2
+ Cn?1p+2 = Cnp+3 + Cn?1p+3
.....................
?
(?1)n?p.Cn?1p?2 = (?1)n?p .Cnn?1 + (?1)n?p+1.Cn?1n?1
Cn?1p = Cnp+1 ? Cnp+2 + ...+ (?1)n?p. Cnn?1 + (?1)n?p+1. Cnn
? (1 ? 1)n = 1? Cn1 + Cn2 ? . +(?1)n Cnn
= (?1)p .(Cnp + 1 ? Cnp + 2 +.?(?1)n - p + 1 Cnn )
(?1)n?p+1.Cn?1n?1 = (?1)n?p+1.Cnn
-?????????????????????????????????????
? (?1)p . Cn?1p = (?1)p . (Cnp+1 ? Cnp+2 + ..+ (?1)n?p+1. Cnn)
5) Tìm các số âm của dãy : {xn} =

xn =
Mà xn < 0 ? 4 n2 + 28 n ? 95 < 0
n? N* ? n = 1 ; n = 2
? ?19/2 < n < 5/2
+) n = 1 ? x = ? 63/ 4
+) n = 2 ? x = ?23/8
6)
Một da giác lồi n cạnh (n ? 4) có bao nhiêu đường chéo ?
Cứ qua 2 điểm cho ta 1 đường (cả đường chéo và các cạnh) .
? Cn2 = n (n ? 1) / 2 đường .
Đa giác có n cạnh ? có n cạnh
Vậy số đường chéo là : Cn 2 ? n = n (n ? 3) / 2
7)
Cứ 3 đỉnh trên 3 cạnh cho 1 tam giác
AB có n điểm ? có n cách lấy ;
BC có m điểm ? có m cách lấy ;
CA có k điểm ? có k cách lấy .
Vậy tổng số cách lấy là : m.n.k tam giác .
Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy n điểm , trên cạnh
BC lấy m điểm và trên cạnh CA lấy k điểm . Hỏi có bao
nhiêu tam giác với đỉnh là các điểm đó .
8) Một chi đoàn thanh niên có 50 đoàn viên . Hỏi có bao nhiêu
cách phân công 3 đoàn viên phụ trách 3 nhóm thiếu nhi .
Là 1 chỉnh hợp chập 3 của 50
? A503 = 48.49.50 = 117 600 cách
9)
a) 3 con ngựa về nhất , nhì , ba là 1 chỉnh hợp chập 3 của 12
? A123 = 1320 khả năng .
Trong một cuộc đua ngựa có 12 con ngựa cùng xuất phát .
Hỏi có bao nhiêu khả năng xếp loại :
a) 3 con ngựa về nhất , nhì , ba ?
b) 3 con ngựa về đích đầu tiên .
b) 3 con ngựa về đích đầu tiên là 1 tổ hợp chập 3 của 12
? C123 = 220 khả năng
10)
Trong khai triển
. Hệ số các số hạng thứ 3
lớn hơn hệ số thứ 2 là 35 . Tính số hạng không phụ thuộc vào x .
? hệ số số hạng thứ 3 và thứ 1 theo bài ra có : Cn2 ? Cn1 = 35
? n2 ? 3n ? 70 = 0 ? n = 10 ; n = ?7 (L)
Với n = 10 . Tính số hạng không chứa x .

Số hạng tổng quát :
Để số đó không chứa x ? 10 ? 2p = 0 ? p = 5 ? C105 = 252
Kính chào ! Chúc thắng lợi !