CHUYÊN ĐỀ CÁC DẠNG BÀI TOÁN TÍNH NHANH
PHÂN SỐ

GV: ĐẬU ĐỨC MINH

 CHUYÊN ĐỀ CÁC DẠNG BÀI TOÁN
TÍNH NHANH PHÂN SỐ
Dạng 1: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số
của phân số liền trước 2 lần.
1 1 1 1 1 1
    
2 4 8 16 32 64

Ví dụ: Tính nhanh.

Cách 2:

Cách 1:
1 1 1 1
1
1
Bước 1: Đặt A = 2  4  8  16  32  64

Bước 2: Ta thấy: 1 1  1 ; 1  1  1 ; 1  1  1
2
2
8 4 8
4 2 4
1



1

1

1

1

1

1

Bước 3: Vậy A =  1  2    2  4    4  8   ...   32  64 

 
 



1 1 1 1 1
1
1
A = 1  2  2  4  4  8  ...  32  64

A= 1 64

1
64

1

63

A = 64  64  64

1

1

1

1

1

1

Bước 1: Đặt A = 2  4  8  16  32  64
Bước 2: Ta thấy:
1
1
1 
;
2
2
1 1 3
1
  1 
2 4 4
4

;

1 1 1 7
1
;
   1 
2 4 8 8
8
…………….
1 1 1 1
1
1





Bước 3: Vậy A =
2 4 8 16 32 64

A =1-

1
64

64

1

63

= 64  64  64

Dạng 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau
gấp mẫu số của phân số liền trước n lần. (n > 1)
1. Ví dụ:
ví dụ1: Tính nhanh.

1

1

1

1

1

1

A = 2  4  8  16  32  64

Cách giải:
Bước 1: Tính A x n (n = 2)

5 5
5
5
5
5





ví dụ 2: B = 2 6 18 54 162 486

Bước 1: Tính B x n (n = 3)
5
2

ta có: A x 2 = 2 x  1  1  1  1  1  1 
 2 4 8 16 32 64 
2 2 2 2
2
2
=     
2 4 8 16 32 64

1 1 1 1
1
1





=
2 4 8 16 32

Bước 2: Tính A x n - A = A x (n - 1)

 1 1 1 1 1 1 
       
  2 4 8 16 32 64 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A x (2 - 1) = 1      -     
2 4 8 16 32 2 4 8 16 32 64
1
64 1 63
A= 1 =


64
64 64 64

 1 1 1 1 1
A x 2 - A = 1     
 2 4 8 16 32

5
6


Bx 3 = 3 x  

=

5
5
5
5 




18 54 162 486 

15 5 5 5
5
5
  


2 2 6 18 54 162

Bước 2: Tính B x n - B
15
2

5
2
15
B x (3 - 1) = 2 

5 5 5
5  5 5 5 5
5
5 
 

 -    

6 18 54 162   2 6 18 54 162 486 
5 5 5 5
5
5 5 5 5
5
5
   

-    
2 6 18 54 162
2 6 18 54 162 486


Bx3 - B =   

Bx2=

3645  5
486
3640

486

Bx2=
Bx2

15
5

2
486

1820

B
486

B 

910
243

2. Bài tập
Tính nhanh:
2 2 2
2
2
2
2
 




3 6 12 24 48 96 192

b)

1 1 1
1
1
1
1
1
  




2 4 8 16 32 64 128 256

1 1 1
1
1
1





.
c)
3 9 27 81 243 729

d)

3
3
3
3
3
 


2
8
32
128
512

3
3
3
3



e) 3 +
5 25 125 625

1
1
1
1
1




....

g) 5 10
20 40
1280

a)

h)

1
1
1
1
1



 ... 
3
9
27
81
59049

3. Chữa bài tập
Tính nhanh:
2 2 2
2
2
2
2






a)
3 6 12 24 48 96 192
2 2 2
2
2
2
2






Đặt: A =
3 6 12 24 48 96 192
2 2 2
2
2
2
2
Ta có: Ax2 = 2x (   
)



3 6 12 24 48 96 192

4 2 2 2
2
2
2
¿ + + + +
+
+
3 3 6 12 24 48 96

4 2 2 2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
Ax2-A =
3 3 6 12 24 48 96
2 2 2
2
2
2
2






-(
)
3 6 12 24 48 96 192
4 2 2 2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
Ax(2-1) =
3 3 6 12 24 48 96
2 2 2
2
2
2
2
− − − − − − −
3 6 12 24 48 96 192

4
2
256 −2 254 127 127
−
=
=
= A=
A=
3 192
192
192
96
96

1 1 1
1
1
1
1
1
  




2 4 8 16 32 64 128 256

b)
Đặt: B =

1 1 1
1
1
1
1
1
  




2 4 8 16 32 64 128 256

Ta thấy: = 1- ;

-;

-

……………..

Vậy: B = 1- + + …… +
B=

1-

B=
B=

255
256

Các bài còn lại tự làm và báo cáo

Dạng 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng n và
thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu phân số liền sau:
1. Ví dụ: Tính nhanh
Ví dụ1:
1
1
1
1



A=
2 x 3 3x4 4 x5 5x6
3 2
4 3


2 x 3 3x4
3
2
4


A=
2 x 3 2 x3 3x4

A=

5 4 6 5

4 x5 5 x6
3
5
4
6
5





3x4 4 x5 4 x5 5 x6 5 x6

1 1
1
1
1
1
1 1







A=
2 3
3
4
4
5
5 6
1
1
3
1
2
1





A=
2
6
6
6
6
3

Ví dụ 2:

3
3
3
3



B=
2 x 5 5 x 8 8 x 11 11 x 14
5 2
8  5 11  8 14  11

B = 2 x 5 5 x 8  8 x 11  11 x 14 .

5
2
8
5
11
8
14
11







B = 2 x 5 2 x 5 5 x 8 5 x 8 8 x 11 8 x 11 11 x 14 11 x 14

B=

1 1 1 1 1
1
1
1

 
 


2 5 5 8 8 11 11 14

B=

1
1
7
1
6 3





2 14 14 14 14 7

2. Bài tập vận dụng
4
4
4
4
4
4





3 x 7 7 x 11 11 x 15 15 x 19 19 x 23 23 x 27

1)

=
=
=
=

=

=

4
4
4
4



3x6
6 x 9 9 x 12 12 x 15

2)

=

=

=
=

=

=

=

=

2. Bài tập về nhà:
Tính nhanh:

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2








 ... 

3 x 5 5 x 7 7 x 9 9 x 11 11 x 13 13 x 15 1 x 2 2 x3 3 x 4
8 x 9 9 x 10

1)

=(+
=(
+
=(
- +
=(- +
=
2)

=

=

=

3
3
3
3
3
3
77
77
77
77




 ... 



 ... 
1x 2 2 x3 3 x 4 4 x5 5 x 6
9 x 10 2 x 9 9 x 16 16 x 23
93 x 100

Dạng 4: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n, có mẫu số là tích của 3 thừa số trong đó thừa số thứ 3
hơn thừa số thứ nhất n đơn vị và hai thừa số cuối của mẫu phân số liền trước là 2 thừa số đầu của mẫu
phân số liền sau.
1. Ví dụ: Tính:

A=

4
4
4
4
4




1 x 3 x 5 3 x 5 x 7 5 x 7 x 9 7 x 9 x 11 9 x 11 x 13

A=

5 1
7 3
9 5
11  7
13  9




1x3 x5
3 x 5 x 7 5 x 7 x 9 7 x 9 x 11 9 x 11 x 13

5
1
7
3
9
5





1x3 x5 1x3 x5 3 x5 x 7 3 x5 x 7 5 x 7 x9 5 x 7 x9

A 



11
7
13
9



7 x 9 x 11 7 x 9 x 11 9 x 11 x 13 9 x 11 x 13

A=

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1









1 x 3 3 x 5 3 x 5 5 x 7 5 x 7 7 x 9 7 x 9 9 x11 9 x11 11 x13

A=

1
1

1 x 3 11 x 13

A=

11 x 13  3 143  3 140


3 x11 x 13
429
429

2. Bài tập vận dụng
Tính nhanh:
a)

6
6
6
6
6




1 3 7 3 7 9 7 9 13 9 13 15 13 15 19

b)

1
1
1
1
1




1 3 7 3 7 9 7 9 13 9 13 15 13 15 19

1
1
1
1
1
1




 ... 
2 4 6 4 6 8 6 8 10 8 10 12 10 12 14
96 98 100
5
5
5
5
d)


 ... 
1 5 8 5 8 12 8 12 15
33 36 40
c)

2. Bài tập vận dụng
Tính nhanh:
a)

6
6
6
6
6




1 3 7 3 7 9 7 9 13 9 13 15 13 15 19

= + + + +
= -+ -+- +- += -+ -+- +- += b)

= -

=

1
1
1
1
1




1 3 7 3 7 9 7 9 13 9 13 15 13 15 19

= + + + + ) = ……………..

Dạng 5: Tính tích của nhiều phân số trong đó tử số của phân số này có quan hệ về tỉ số với mẫu số
của phân số kia.
1. Ví dụ:

1991 1992 1993 1994 995




1990 1991 1992 1993 997

Tính nhanh:

 1991 1992   1993 1994  995


 

1990
1991
1992
1993

 
 997

=

 1992

1994 

995

=  1990  1992  997


1994 995

=
1990 997

997 995

=
995 997

=1

2. Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
a)

2000 2002 2001 2003 2006




2001 2003 2002 2004 2000

b)

328 468 435 432 164




435 432 164 984 468

Bài 2: Tính nhanh:
a)

1313 165165 424242


2121 143143 151515

b)

1995 19961996 199319931993


1995 19931993 199519951995

Bài 3: Tính nhanh:
a)  1  1   1  1   1  1   1  1 

c)

5

b)

3 
1
3 
3 
 3   3 

 1    1    1    1   ... 1 
  1 

4
7
10
13
97
100

 
 
 


 




2 

3 

4 


1 


2 
  1 
5 

2 
  1 
7 

2  2 
 2  2
  1   ... 1    1  
9   11 
 97   99 

Chữa bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
328 468 435 432 164




435 432 164 984 468

a)

= ()

=()

=

=

=

=
=

2000 2002 2001 2003 2006




2001 2003 2002 2004 2000

b)

=

=

=

Chữa bài tập
Bài 2: Tính nhanh:
1313 165165 424242


2121 143143 151515

a)
=

b)

1995 19961996 199319931993


1995 19931993 199519951995

=

=

=

=

=

=

Chữa bài tập
Bài 3: Tính nhanh:
b) (1 -

a)  1  1   1  1   1  1   1  1 
2 



3 

4 

5

=

=

=

=

=

2
2
2
2
2
2
c)  1    1    1    1   ... 1    1  


=
=
=

5 

7 

9 

11 



97  

99 

Dạng 6: Vận dụng 4 phép tính để tách, ghép ở tử số hoặc mẫu số nhằm tạo ra thừa số giống nhau ở cả tử số
và mẫu số rồi thực hiện rút gọn biểu thức.
1. Ví dụ:
Ví dụ 1: 2003 1999  2003 999
2004 999  1004



2003  (1999  999)
2003 1999  1004

2003 1000
2003 999  (999  1004)
2003 1000

2003 999  2003
2003 1000

2003 1000
1


1996 1994  1  996
1996 1995  996

Ví dụ 2:
1000  1996 1994
1000  1996 1994

1996 1994  (1996  996)

1000  1996 1994


1996 1994 1000
1000  1996 1994

= 1(vì tử số bằng mẫu số)
Ví dụ 3: 37 23  535353  242424 37  23  53 10101  24 10101
53 48 373737 232323 53 48 37 10101 23 10101
37 23 53 24
  
53 48 37 23
 37 53   23 24 
     
 53 37   48 23 
24 24 1
1   
48 48 2


2. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tính nhanh:
1995 1997  1
a)
1996 1995  1994

b)

1997 1996  995
1995 1997  1002

d)

c)

Bài 2: Tính nhanh:
a)
b)

2003 14  1988  2001 2002
2002  2002 503  504 2002
1996 1997 1998 3
1997 1999  1997 1997

2,43 12300  24,3 1230
c)
45 20,1  55  28,9  4,5  3,3  55 5,37

d)

1994 1993  1992 1993
1992 1993 1994 7 1996

254 399  145
254  399  253

1997 1996  1
1995 1997  1996

e)
g)

1978 1979 1980 21 1985
1980 1979  1978 1979
2006  (0,4  3: 7,5)
2005  2006

399  45  55 399
h)
1995 1996  1991 1995

i)

1988 1996  1997  1985
1997 1996  1995 1996

3. Chữa bài tập vận dụng
Bài 1: Tính nhanh:
1995 1997  1
a)
1996 1995  1994

b)

=

=

=

=

=

=1

=

=

1997 1996  1
d)
1995 1997  1996

1997 1996  995
c)
1995 1997  1002

=

=

=

=

=

254 399  145
254  399  253

=1

=

=1

=1

3. Chữa bài tập vận dụng
Bài 2: Tính nhanh:
2003 14  1988  2001 2002
a)
2002  2002 503  504 2002

( 2002+1 ) × 14+ 1988+2002 ×2001
¿
2002×(1+503 +504)
2002× 14+14 +1988+ 2002× 2001
¿
2002 ×1008
2002 × ( 14 + 2001 ) + 14 +1988
¿

2002 × 1008

2002 × 2015 +2002
2002 × 1008
2002 × (2015 +1 )
¿
2002 × 1008
2002 × 2016
¿
2002 × 1008

¿

=2

b)

1996 1997 1998 3
1997 1999  1997 1997

1996 × 1997 +(1997 +1) × 3
1997 × (1999 − 1997 )
1997 × 1996 + 1997 × 3 + 3
¿
1997 × 2
1997 ×( 1996 +3 )+ 3
¿
1997 × 2
1997 × 1999+3
¿
1997 × 2

¿

1997 × 1999 + 3
1997 × 21997 × 2
+3
1999
¿
2
1997 × 2
3992006 1996003
1999× 1997+3
¿
¿
¿
1997
3994
3994
¿

3. Chữa bài tập vận dụng
Bài 2: Tính nhanh:
c)

2,4312300  24,3 1230
45 20,1  55  28,9  4,5  3,3  55 5,37

2,43 × 1230× 10 −2,43 ×10 × 1230
45 × 20,1+ 55 ×28,9+ 4,5+ 3,3 −5,5 ×5,37
0
¿
45 × 20,1+ 55 ×28,9+ 4,5+ 3,3 −5,5 ×5,37
¿

¿0
e)

1978 1979 1980 21 1985
1980 1979  1978 1979

d)

1994 1993  1992 1993
1992 1993 1994 7 1996

1993 ×(1994 − 1992)
¿
1992×1993 + ( 1993+1 ) ×7 +( 1993+3)
1993 ×2
¿
1992×1993 +1993 ×7 +7+1993 +3
1993 × 2
¿
1993 × (1992 + 7 +1)+7+ 3
1993 × 2
¿
1993× 2000+10

1978× 1979+ ( 1979+1 ) ×21+ 1979+6
¿
1993
1979×(1980 − 1978)
¿
1993× 1000+5
1978× 1979+1979 ×21+ 21+ 1979+6
¿
1979×(1980 − 1978)
1979× 2000+27 ….
1979 × ( 1978+21+1 ) + 21+6
¿
¿
1979× 2
1979 × 2

¿

1993
1993005

3. Chữa bài tập vận dụng
Bài 2: Tính nhanh:
g)

2006  (0,4  3: 7,5)
2005  2006

i)

1988 1996  1997  1985
1997 1996  1995 1996

h)

399  45  55 399
1995 1996  1991 1995