L

L
LOVE

TOÁN 9 - KẾT
NỐI
TRI
L

PIRCE
G
THỨC
VỚI
S

T
H
L

CUỘC SỐNG

Chương 5: ĐƯỜNG TRÒN
Bài 13:
MỞ ĐẦU VỀ ĐƯỜNG TRÒN
Giáo viên: Tổ Toán - Tin

KHỞI ĐỘNG
Bạn Oanh có một mảnh giấy hình tròn nhưng không còn
dấu vết của tâm. Theo em, Oanh làm thế nào để tìm lại
được tâm của hình tròn đó ?

MỞ ĐẦU
Tại sao ngoại trừ cầu thủ đá penalty,
thủ môn và trọng tài, các cầu thủ còn
lại đều phải đứng ngoài đường cong
màu trắng, thay vì đứng ngoài đường
thẳng màu xanh ?

MỞ ĐẦU
Ngoại trừ cầu thủ đá penalty, thủ môn và
trọng tài, các cầu thủ còn lại đều phải đứng
ngoài đường cong (một phần đường tròn có
bán kính 9,15 m tâm là điểm đặt bóng) để
các cầu thủ đó đều cách đều điểm đặt bóng.

Bài 13:

Nội dung bài học

MỞ ĐẦU VỀ ĐƯỜNG TRÒN
1 Đường tròn
2 Tính đối xứng của đường tròn
3 Bài tập Sách giáo khoa
4 Bài tập Trắc nghiệm

1. ĐƯỜNG TRÒN

Chú ý:

Định nghĩa

* Đường tròn, điểm thuộc đường tròn
Đường tròn tâm O có bán kính R (R > 0),

O

kí hiệu là (O; R), là hình gồm tất cả các
điểm cách điểm O một khoảng bằng R
 Khi không cần để ý tới bán kính, ta kí hiệu đường tròn tâm O là (O).
 Nếu A là một điểm của đường tròn (O) thì ta viết A∈ (O). Ta còn nói
(O) đi qua điểm A hay điểm A nằm trên đường tròn (O).

1. ĐƯỜNG TRÒN
?1

Gọi tên, xác định tâm và bán kính của các đường tròn
trong các hình vẽ sau:

Đường tròn (I; R)
có tâm I và bán kính R

Đường tròn (O; 3)
có tâm O và bán kính bằng
3

1. ĐƯỜNG TRÒN
Ví dụ

Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB

1

Chứng minh rằng: Đường tròn (O; OA) đi qua B

Lời giải:
Vì O là trung điểm của AB nên OB = OA.
Do đó, B ∈ (O; OA) hay đường tròn (O; OA) đi qua B.
Đoạn thẳng AB là đường kính của (O) nên (O) còn gọi là đường tròn
đường kính AB.

1. ĐƯỜNG TRÒN

Nhận xét

1) Điểm A nằm trên, điểm C nằm trong và điểm B nằm ngoài đường tròn.
 Điểm M nằm trên đường tròn (O; R) nếu OM = R;
 Điểm M nằm trong đường tròn (O; R) nếu OM < R;
 Điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R) nếu OM > R.
2) Hình tròn tâm O bán kính R là hình gồm các điểm nằm trên và nằm trong
đường tròn (O; R).

1. ĐƯỜNG TRÒN
?2

Cho đường tròn (O; R) và năm điểm M, N, P, H, K. So
sánh độ dài các đoạn thẳng OM, ON, OH, OK, OP với

Lời giải:

R.

Vì M, H, K thuộc đường tròn (O; R) nên OM = OH = OK = R.
Ta có:

ON < OK nên ON < R;
OP > OH nên OP > R.

1. ĐƯỜNG TRÒN
Luyện tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng

Lời giải:

điểm A thuộc đường tròn đường kính BC.

Gọi O là trung điểm của BC.
Ta có AO là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
OA = OB = OC = BC
=> A, B, C cùng thuộc đường tròn bán kính OA.
Tâm O là trung điểm của BC nên BC là đường kính.
Vậy điểm A thuộc đường tròn đường kính BC.

Vận dụng 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các
điểm A(3; 0), B(−2; 0), C(0; 4). Vẽ hình và cho biết
trong các điểm đã cho, điểm nào nằm trên, điểm nào
nằm trong, điểm nào nằm ngoài đường tròn (O; 3) ?

Lời giải:
Ta có: OA = 3 nên điểm A nằm trên đường tròn (O; 3).
 OB = 2 < 3 nên điểm B nằm trong đường tròn (O; 3).
 OC = 4 > 3 nên điểm C nằm ngoài đường tròn (O; 3).
Vậy trong các điểm đã cho, điểm A nằm trên, điểm B nằm trong, điểm C nằm
ngoài đường tròn (O; 3).

2. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG
Đối xứng
TRÒN
tâm
Hai điểm M và M' gọi là đối xứng với nhau qua điểm I (hay qua tâm
I), nếu I là trung điểm của đoạn MM'.
M
I

Ví dụ :
Nếu O là giao điểm 2 đường chéo của hình bình
hành ABCD thì OA = OC nên A và C đối xứng với
nhau và O.

M
'

2. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG
Đối xứng
trục

TRÒN

Hai điểm M và M' gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d (hay qua trục d)
nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng MM'.

d
M

H

Ví dụ :
Nếu AH là đường cao của tam giác ABC cân tại A. thì AH
cũng là đường trung trực của BC nên B và C đối xứng với
nhau qua AH.

M
'

2. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG
Tâm đối xứng của đường
tròn TRÒN
Nếu một điểm thuộc đường tròn O thì điểm đối xứng với nó

?3

qua tâm O có thuộc đường tròn hay không ?
Lời giải:
A
Xét đường tròn ( O;R).

Lấy điểm A thuộc (O); điểm B đối xứng với A qua O
Khi đó, O là trung điểm của AB.
Þ OA = OB = R
Hay B cũng thuộc đường tròn (O).

Tâm đối xứng

B

2. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG
Trục đối xứng của đường
tròn TRÒN

? Cách một hình tròn tâm O bằng giấy, kẻ đường kính d bất kỳ. Gấp đôi hình tròn
4 theo đường kính đó. Hai nửa đường tròn đó có chồng khít lên nhau không ?

O

Trục đối xứng

2. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG
?5

Trục đối xứng của đường
tròn
TRÒN
Lấy điểm M thuộc (O; R) và điểm N đối xứng với M qua d. Điểm N có
thuộc đường tròn (O) hay không ?

Lời giải:
M đối xứng N qua d thì d là đường trung
trực của đoạn thẳng MN
=> OM = ON = R (vì O thuộc d)
Do đó, N cũng thuộc đường tròn (O).

Nhận xét

2. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG
 Đường tròn là hình
có tâm đối xứng, tâm của đường tròn là tâm
TRÒN
đối xứng của đường tròn đó.
 Đường tròn là hình có trục đối xứng. Mỗi đường thẳng đi qua tâm
là một trục đối xứng của đường tròn đó.

Tâm đối xứng

Trục đối xứng

2. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
? 4 Cho đường tròn tâm (I), tìm tâm đối xứng và vẽ hai trục đối xứng của (I)

Lời giải:
 Tâm I là tâm đối xứng của (I)
 Vẽ hai đường thẳng a và b đi qua tâm I.
Ta có: a và b đều là trục đối xứng của (I).

2. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Cho dây MN của đường tròn (O). Gọi d là đường trung trực của đoạn
? 6 thẳng MN. Chứng minh rằng đường thẳng d là một trục đối xứng của
đường tròn (O).

Lời giải:
 Vì OM = ON nên điểm O nằm trên đường
trung trực d của đoạn thẳng MN.
 Do đường thẳng d đi qua tâm của (O) nên d là
một trục đối xứng của đường tròn (O).

?7

Xác định tâm đối xứng và trục đối xứng của bánh xe trong hình dưới
đây. Giải thích cách làm.

Lời giải:
 Tâm đối xứng O của bánh xe là tâm
của bánh xe (hình vẽ);
 Trục đối xứng của bánh xe là các nan
vành của bánh xe (hình vẽ).

Trục đối xứng

O

?7

Nêu cách chia một cái bánh có dạng hình tròn tâm O (như hình vẽ) thành
hai phần bằng nhau.

Lời giải:
 Vì mọi đường thẳng đi qua tâm của
đường tròn đều là trục đối xứng của
nó, nên ta sẽ chia bánh thành hai
phần bằng nhau bằng cách cắt qua
tâm O của chiếc bánh (hình vẽ).

O

2. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
?8

Em hãy giúp bạn Tròn vẽ hình mà em cho rằng là đúng với định nghĩa
được đưa ra sau đây sau khi bạn học xong bài này:

Đường tròn có một
tâm đối xứng nhưng có
vô số trục đối xứng

Cho điểm M nằm trên đường
tròn (O) và đường kính AB sử

M

dụng tính đối xứng của O hãy
Ví dụ nêu cách tìm:
2

a) Điểm N đối xứng với điểm

O

A

H

M qua tâm (O).
b) Điểm P đối xứng với điểm
M qua đường thẳng AB

N

B
P

Giải
a) Do O là tâm đối xứng của (O) nên điểm N đối xứng với điểm M qua tâm O phải
vừa thuộc (O), vừa thuộc đường thẳng OM. Vậy N là giao điểm (khác M) của (O)
với đường thẳng OM.
b) Do AB là trục đối xứng của (O) nên điểm P đối xứng với M qua AB phải vừa
thuộc (O), vừa thuộc đường vuông góc hạ từ M xuống AB. Vậy P là giao điểm
(khác M) của (O) với đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB.

Luyện tập 2 (SGK – tr.86)
Cho đường tròn tâm O và hai điểm A, B thuộc (O). Gọi d là đường trung trực của
đoạn AB. Chứng minh rằng d là một trục đối xứng của (O).
Giải
Do nên
Suy ra thuộc đường trung trục của
Suy ra
Suy ra là trục đối xứng của

Vận dụng 2 (SGK – tr.86)
Trở lại tình huống mở đầu, bằng cách gấp mảnh giấy hình tròn theo hai cách
khác nhau, Oanh có thể tìm được tâm của hình tròn. Em hãy làm thử xem.
Giải
Khi gấp đôi hình tròn ta được đường kính, khi ta thực hiện 2 lần gấp như vậy
theo 2 cách khác nhau ta được hai đường kính, mà hai đường kính sẽ giao
nhau tại tâm của hình tròn. Từ đó ta xác định được tâm của hình tròn.

3. LUYỆN TẬP

Bài tập 5.1 (SGK – tr.86)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm M(0; 2), N(0; -3)
và P(2; -1). Vẽ hình và cho biết trong các điểm đã cho, điểm
nào nằm trên, điểm nào nằm trong, điểm nào nằm ngoài
đường tròn (O; ) ? Vì sao ?
Giải
 Điểm M(0; 2) nằm tròn vì OM = 2 < R =
 Điểm N(0; - 3) nằm ngoài vì ON = 3 > R =
 Điểm N(2; - 1) có OP2 = 22 + 12 = 5, tức là OP = R = nên P nằm trên (O; )

Bài tập 5.2 (SGK – tr.86)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Chứng minh rằng các điểm A,
B, C thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
Giải
Vẽ AO là trung tuyến của ABC
⇒ OA = OB = OC = (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền trong tam giác vuông)
=> Ocách đều 3 đỉnh A; B; C
=> Ba điểm A; B; C thuộc đường tròn đường kính BC.
Theo pythagore trong ABC: BC = = = 5 (cm)
=> Bán kính (O) là: = 2,5 (cm)

Bài tập 5.3 (SGK – tr.86)
Cho đường tròn (O), đường thẳng d đi qua O và điểm A
thuộc (O) nhưng không thuộc d. Gọi B là điểm đối xứng
với A qua d, C và D lần lượt là điểm đối xứng với A và B
qua O.
a) Ba điểm B, C và D có thuộc (O) không ? Vì sao ?
b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
c) Chứng minh rằng C và D đối xứng với nhau qua d.

Giải
a) Vì là một trục đối xứng của đường tròn và đối xứng với qua nên từ A (O)
⇒ B (O)
Mà ta có: O là tâm đối xứng của (O) và C; D đối xứng với A; B qua O. ⇒ C; D (O)
Vậy ba điểm B; C; D thuộc (O)
b) Ta có: O là trung điểm AC và BD ⇒ ABCD là hình bình hành.
Mà ta có OA = OB nên AC = BD ⇒ ABCD là hình chữ nhật
c) Vì ABCD là hình chữ nhật (ý b) nên AB = CD và AB // CD mà B đối xứng với A
qua d (gt) ⇒ d là trung trực của AB
⇒ d cũng là trung trực của CD
⇒ C; D đối xứng nhau qua d.

Bài tập 5.4 (SGK – tr.86)
Cho hình vuông ABCD có E là giao điểm
của hai đường chéo.
a) Chứng minh rằng có một đường tròn
đi qua bốn điểm A, B, C và D. Xác định
tâm đối xứng và chỉ ra hai trục đối xứng
của đường tròn đó.
b) Tính bán kính của đường tròn ở câu a,
biết rằng hình vuông có cạnh bằng 3 cm.

Giải
a) Do ABCD là hình vuông nên:
AC = BD (hai đường chéo bằng nhau)
EA = EC = EB = ED (nửa đường chéo)
⇒ A; B; C; D nằm trên đường tròn (E; EA)
Hai đường chéo AC; BD đi qua tâm E nên AC; BD là trục đối xứng của (E; EA)
b) ABC là tam giác vuông cân tại B
⇒ AB = BC = 3 cm
⇒ AC2 = AB2 + BC2 = 18 (cm)
⇒ Bán kính của đường tròn(E; EA) là: EA = (cm)

4. VẬN DỤNG (bt trắc
nghiệm)
Trò chơi:
ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH OLYMPIA

LUẬT CHƠI
1. Có 8 câu hỏi. Hãy chọn đáp án đúng nhất
2. 1 Câu trả lời đúng sẽ được 1 điểm.
3. Trả lời sai sẽ không được tính điểm.
4. Đội nhiều điểm nhất sẽ chiến thắng

1

Câu hỏi: Tâm của đường tròn là
A. Điểm bất kì bên trong đường tròn
B. Điểm bất kì trên đường tròn

1
9
3
0
7
2
5
10
4
6
8

C. Điểm bất kì bên ngoài đường tròn
D. Tâm của đường tròn
ĐÁP ÁN

D. Tâm của đường tròn
ANS

2

Câu hỏi: Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về trục đối xứng của
đường tròn:
A. Đường tròn không có trục đối xứng.

1
9
3
0
7
2
5
10
4
6
8

B. Đường tròn có duy nhất một trục đối xứng là đường kính.
C. Đường tròn có hai trục đối xứng là hai đường kính vuông góc với nhau.
D. Đường tròn có vô số trục đối xứng là đường kính.
ĐÁP ÁN

D. Đường tròn có vô số trục đối
xứng là đường kính.
ANS

3

Câu hỏi: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vị trí tương đối của điểm A(3;4) và đường tròn (O;2cm) là:
A. Điểm A nằm ngoài đường tròn

1
9
3
0
7
2
5
10
4
6
8

B. Điểm A nằm trên đường tròn
C. Điểm A nằm trong đường tròn
D. Không kết luận được
ĐÁP ÁN

A. Điểm A nằm ngoài
đường tròn
ANS

4

Câu hỏi: Cho đường tròn (O;R) và điểm M bất kỳ, biết rằng OM =
R. Khi đó:
A. Điểm M nằm ngoài đường tròn

1
9
3
0
7
2
5
10
4
6
8

B. Điểm M nằm trên đường tròn
C. Điểm M nằm trong đường tròn
D. Điểm M không thuộc đường tròn
ĐÁP ÁN

B. Điểm M nằm trên
đường tròn
ANS

5

Câu hỏi: Cho đường tròn (O;R) và điểm M bất kỳ, biết rằng OM <
R. Khi đó:
A. Điểm M nằm ngoài đường tròn

1
9
3
0
7
2
5
10
4
6
8

B. Điểm M nằm trên đường tròn
C. Điểm M nằm trong đường tròn
D. Điểm M không thuộc đường tròn
ĐÁP ÁN

C. Điểm M nằm trong
đường tròn
ANS

6

Câu hỏi: Cho đường tròn (O;5 cm) và một điểm M, biết rằng đoạn OM =
5 cm. Vậy vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (O;5 cm) là:

1
9
3
0
7
2
5
10
4
6
8

A. M nằm trong (O)

B. M nằm ngoài (O)

C. M nằm trên (O)

D. Không thể xác định được

ĐÁP ÁN

C. M nằm trên (O)
ANS

7

Câu hỏi: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là O. Hỏi điểm A có vị trí
tương đối nào với đường tròn (O;OB) ?

1
9
3
0
7
2
5
10
4
6
8

A. Không xác định được

B. A nằm trong (O; OB)

C. A nằm ngoài (O; OB)

D. A nằm trên (O; OB)

ĐÁP ÁN

D. A nằm trên (O; OB)
ANS

8

Câu hỏi: Tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là:
A. Trung điểm cạnh AB

1
9
3
0
7
2
5
10
4
6
8

B. Trung điểm cạnh CB
C. Giao điểm của hai đường chéo AC và BD
D. Trung điểm cạnh AD
ĐÁP ÁN

D. A nằm trên (O; OB)
ANS

CỦNG CỐ, DẶN DÒ
• Ghi nhớ kiến thức trong bài.
• Hoàn thành bài tập trong SBT.
• Chuẩn bị bài sau:
“ Bài 14: Cung và dây của một đường tròn”.