TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI ĐƯỜNG THẲNG.

TRƯỜNG THPT QUỐC HỌC
1.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Định nghĩa 1:
Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 là góc giữa hai đường thẳng ’1 và ’2 cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với 1 và 2 .
Chú ý:
- Điểm O có thể lấy trên 1 hoặc 2
- Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900.
2. HaI du?ng th?ng vuụng gúc
Định nghĩa:
Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
II.CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP ĐỂ CHỨNG MINH 2 ĐƯỞNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU TA CÓ THỂ SỬ DỤNG 1 TRONG CÁC PHƯƠNG PHÁP SAU:
CÁCH 1:QUY VỀ HÌNH HỌC PHẲNG:
*nếu 2 đường thẳng đó đổng phẳng ta vận dụng pp c/mtrong hình học phẳng:

a,b đồng phẳng
a’ // hoặc trùng a
b’ // hoặc trùng b
a’ cắt b’

Khi đó: góc (a,b)=góc(a’,b’)
a
b
a’
b’
Sau đó c/ tỏ góc tạo bởi 2 đường thẳng là 1v
a. Tính chất các hình(Hình vuông, HBH ,Tam giác vuông,cân, đều…)
Vd:
2 đchéo hình vuông thì vuông
góc với nhau, cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường:
Trong tam giác đều , trung
tuyến ,đồng thời là trung trực ,
đường cao, trung tuyến
A
B
C
D
O
b. Định lí sin,cos  mối liên hệ.
c.Định lí PITAGO:
BC2 = AB2 +AC2

AB AC tại A
5cm
3cm
4cm
A
B
C
CÁCH 2:SỬ DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG

PHƯƠNG PHÁP:
B1. Chọn bộ 3 vectơ không đồng phẳng (hệ cơ sở ) có chung 1 điểm gốc (A,B,C,D…)
B2. Biểu diễn các vectơ cần chứng minh qua hệ cơ sở :
+áp dụng qui tắc chèn (3 điểm )
AB =AC +CB
+Áp dụng qui tắc hình bình hành
AC= AB+AD
B3.C/m tích vô hướng vectơ =0

C
A
B
A
B
C
D
CÁCH 3:Dựa vào các mệnh đề , định lí, t/chất trong không gian .
a.Định lí:Nếu 1 đường thẳng với 1 mp thì đường thẳng đó  với mọi đường thẳng nằm trong mp.
a  mp(P).
b thuộc mp(P).
 a b
P
a
b
Cần chú ý phương pháp này kháquan trọng trong bài toán c/m vuông góc giữa đường với đường bằng cách thực hiện tuần tự và kết hợp với các mệnh đề sau.
Mệnh đề1:
a  b
b c
 a c
b
c
a
P
Mệnh đề 2:
Cho đường thẳng a và mp(P) song song với nhau. Đường thảng nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a.
a (P)
b  (P)
 a  b
a
b
Định lí 3 đường vuông góc:
Cho đương thẳng a khônh vuông góc với mp (P) .Khi đó , điều kiện cần và đủ để b vuông góc a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).
H
O
d
M
A’
B’
A
B
P
a’
Cách 4:c/m bằng phương pháp phản chứng.
-Gia sử điều cần chứng minh là sai.
-Ta chỉ ra điều đó vô lí
-Kết luận.
Cách 5:vận dụng một số phương pháp c/m khác :
+MP trung trực .
O là trung điểm AB
M nằm trong mặt phẳng trung trực AB
 MO  AB
P
O
A
B
M
+Dựa vào tính chất 2 mp vuông góc
(P) (Q)
(P) (Q)= 
a (P); a  
b (Q);b  
 a c

a
b
P
P
BÀI TẬP VẬN DỤNG
BÀI 1.Chứng minh rằng nếu hai cặp cạnh đối của một tứ diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối thứ ba cũng vuông góc với nhau.
GIẢI:
Cho tứ diện ABCD .giả sử
AB  CD và AC  CD .
Ta chứng minh BC  AD.
A
B
C
D
B’
D’
Cách 1:c/m bằng vectơ
BC.AD.(BA+AC).(AC+CD)=BA.AC+BA.CD+AC2
+AC.CD
=AC.(BA+AC+CD) (DO BA  CD)
=AC.BD =0 (DO AC  BD)
Vậy BC  AD
Kẻ AH (BCD) .Ta có :
CD  AH
CD  AB
Tương tự ta cũng c/m được BD  CH .
Như vậy H là trực tâm của BCD, ta có :
BC  DH
BC  AH
A
B
D
C
D’
B’
C’
H
 CD (ABH)  CD  BH
 BC(ADH)  BC  AD
CÁCH 2: CHỨNG MINH BẰNG HÌNH HỌC
CÁCH 3:CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG
BÀI 2.Cho tứ diện ABCD có AB=6cm,CD=8cm .Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AC, BD.Cho biết JK=5cm. Chứng minh rằng AB  CD, IJ  CD.
A
B
C
D
I
J
K
BAÌ GIẢI

IJ vá IK lần lượt là hai đường trung bình của hai
tam giác ABC và BCD.
Ta có: IJ //AB; IJ=AB/2=3cm
IK // CD ;IK=CD/2=4cm ;JK=5cm
Do đó IJ2 +IK2 =9+16=25=JK2   IJK vuông góc tại I SUY RA (IJK)=900 ;IJ // BA,IK // CD.Nên (AB,CD)=JIK= 900
Vậy AB  CD. Ta có : IJ // AB. Vậy IJ  CD
Cho tứ diện ABCD có AB=CB và CD=AD .Chứng minh:
AC  CD.
BÀI GIẢI:
Cách 1:
Gọi I là trung điểm của AC .
BA=BC  BA  AC (1)
DA=DC  DI  AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AC (BDI)
 AC  BD
A
B
C
D
I
Cách 2:
AC.BD =2AI .(BI+ID)
=2AI.BI+2AI.ID (Do AI  BI và AI  ID )
= 0
Suy ra AC  BD.(dpcm)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :
.Cho hình vuông ABCD.Trên đường thẳng vuông góc mp của hình vuông tại A lấy điểm S.C/M :(Gợi ý : dùng định lí 3 đường vuông góc)
a,CD  SD và BC  SB b, BD  SC
c, Vẽ AH  SD , C/M AH  HC
Ví dụ 1
M
A
B
C
D
H
Ví dụ 2
Cho tứ diện đều ABCD,AH vuông góc (BCD),M là trung điểm AH.
Chứng minh rằng :
a)Các cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau từng đôi.
b)Ba đường thẳng MB,MC,MD vuông góc với nhau từng đôi.
S
A
B
C
I
Ví dụ 3
Cho hình tròn tâm O,đường kính AB nằm trong mặt phẳng (P).Trên đường vuông góc với (P) tại A lấy điểm S,trên dường tròn (O) lấy điểm C,kẻ AI vuông góc SC,AK vuông góc AB.Chứng minh rằng:
a)Các mặt tứ diện SABC là các tam giác vuông.
b) AI vuông góc IK,IK vuông góc SB.
I
S
A
B
C
D
Vi du 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông ở A và B,AD=2AB=2BC.
a)Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b)Gọi I là trung điểm của AD chứng minh BI vuông góc SC và CI vuông góc SD.
B
A
S
C
D
Ví dụ 6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ,SA vuông góc với đáy .Một mặt phẳng qua A và vuông góc với SC tại N,cắt SB tại M,cắt SD tại P.
a)Chứng minh :AM vuông góc SB;AN vuông góc SC;AP vuông góc SD.
b)Chứng minh MP vuông góc SC;MC vuông góc AN
c)Tìm diện tích thiết diện AMNP khi SA=AB=a.
I
A
S
C
B
H
Ví dụ 5
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC),AB=AC,I là trung điểm của BC
AH vuông góc SI.Chứng minh:
a)BC vuông góc AH.
b)AH vuông góc SB.
c)SC không vuông góc với AI.
PHẦN TRÌNH BÀY ĐẾN ĐÂY LÀ KẾT THÚC.