1. Tổng của hai vectơ:
1. Tổng của hai vectơ: Định nghĩa: (Xem SGK)
B
A C
2. Quy tắc hình bình hành:
A
B
C
Nếu ABCD là hình bình hành thì
D
A
B
C
3. Tính chất của phép cộng các vectơ:
E
A
B
C
3. Tính chất của phép cộng các vectơ:
D
E
3. Tính chất của phép cộng các vectơ:
Với ba vectơ
tùy ý ta có
( tính chất giao hoán)
( tính chất kết hợp)
( tính chất của vectơ - không)
4. Hiệu của hai vectơ:
4. Hiệu của hai vectơ: a) Vectơ đối:
A B
D
C
Hai vectơ đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng.
đối nhau, ta viết:
Ví dụ 1:
A
B
C
N
M P
Bài tập a: Chứng minh rằng
Giải:
Ghi nhớ: Hai vec tơ đối nhau có tổng bằng
và ngược lại.
4. Hiệu của hai vectơ:
b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ: (Xem SGK)
A
B
O
Chú ý: Với ba điểm A, B, C tùy ý ta luôn có:
(quy tắc ba điểm) (quy tắc trừ)

Ví dụ 2: Cho A, B, C, D bất kỳ. Chứng minh
Giải: Lấy O tùy ý
Cách 2:
5. Áp dụng:
A
B
I
A
B
I
C
D
G
I là trung điểm của AB
G là trọng tâm của ΔABC
Chứng minh:
I là trung điểm của AB
Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm ΔABC nên GA=2GI. Lấy D đối xứng với G qua I. Khi đó, GADC là hình bình hành và G là trung điểm AD.
Ngược lai, nếu thì ta
cũng dựng được hình như bên và suy ra G là trọng tâm ΔABC.
Bài 1/12: Cho đoạn AB và M nằm giữa AB sao cho MA>MB. Vẽ các vectơ và
Giải:
A
B
N M
Lấy N trên AB sao cho
Vì MA>MB nên N nằm giữa AM.
Ta có:
A
B
M
Bài 2/12: Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:
Giải:
B C
A
D
Cách 1: ABCD là hbh nên
Cách 2: ABCD là hbh nên
Bài 3/12: Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kỳ la luôn có:
Giải:
Bài 4/12: Cho ΔABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng:
Giải:
A
J
B
C
R
I
Q
P
S
mà ABIJ, BCPQ, CARS là
các hình bình hành nên
Ta có:
Bài 5/12: Cho ΔABC đều cạnh a. Tính độ dài các vectơ
Giải:
A
B
C
*) Ta có:
nên
E
**) Lấy E đối xứng với C qua B, I là trung điểm AE.
a
I
ΔABI là nửa tam giác đều cạnh a nên Ta có:

nên
Bài 6/12: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:
Giải:
B C
A
D
O
nên
Ta có: nên
Ta có:
nên
Ta có: và
Ta có:
nên
Bài 8/12: So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ
nếu:
Giải:
cùng độ dài và ngược hướng.
Bài 7/12: Cho hai vectơ
khác vectơ
. Khi nào có đẳng thức:
A
B
C
Giải:
và
Dựng
a) Ta có:
và
C
B
A
Suy ra A,B, C thẳng hàng, B nằm giữa A,C. Suy ra cùng phương.
A
B
O
Bài 7/12: Cho hai vectơ
khác vectơ
. Khi nào có đẳng thức:
Giải:
và , lấy C để OACB là hbh
Dựng
b) Ta có:
và
C
Suy ra OABC là hình chữ nhật. Suy ra giá của vuông góc với nhau.
*) Nếu cùng phương thì đẳng thức trên không xảy ra.