Nắm được vị trí tương đối của hai đường thẳng, khái niệm hai đường thẳng chéo nhau.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cách thứ 2
Nắm và áp dụng được định lý về ba mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến.
Kiến thức cần nhớ:
Bài 2:
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG,
HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
2
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng a và b.
Xét vị trí tương đối của chúng?
Trả lời
1/ a và b cắt nhau.
2/ a và b song song với nhau
3/ a và b trùng nhau
Nếu a và b nằm trong không gian thì có những khả năng nào xảy ra?
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
3
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Trường hợp 1: a và b cùng thuộc một mặt phẳng (hai đường thẳng đồng phẳng)
Như vậy: hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
4
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Trường hợp 2: a và b không cùng nằm trong một mặt phẳng (hai đường thẳng chéo nhau)
Như vậy: hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng
5
Một số hình ảnh về vị trí tương đối của hai đường thẳng
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
6
Một số hình ảnh về vị trí tương đối của hai đường thẳng
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
7
Ví dụ 1
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng :
a) A’D’ và DD’
A’D’ và DD’ cắt nhau
b) AB và CD
AB và CD song song nhau
c) AA’ và CD
AA’ và CD chéo nhau
d) BD’ và CD
BD’ và CD chéo nhau
8
Ví dụ 2
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Cho tứ diện ABCD, chứng minh hai đường thẳng AB và CD chéo nhau ?
L?I GI?I
*Hãy chỉ ra cặp đường thẳng chéo nhau khác của tứ diện này ?
Ta có:
Vậy AB và CD chéo nhau
9
II. Tính chất
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
II. Tính chất
Định lí 1:
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Nhận xét : Hai đường thẳng song song xác định duy nhất một mặt phẳng.
10
II. Tính chất
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
II. Tính chất
Định lí 2:(ĐL về giao tuyến của ba mặt phẳng)
Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song với nhau.
11
II. Tính chất
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
II. Tính chất
Hệ quả:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó
12
Ví dụ 3
VD3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD.Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (SAD) và (SBC)
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
II. Tính chất
Giải
S là điểm chung của
(SAD) và (SBC). Mà:
Nên giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng d qua S và song song với AD, BC.
13
II. Tính chất
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
II. Tính chất
Định lý 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, AB, CD, AD và BC. Chứng minh các đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn
Ta có PR là đường trung bình của tam giác ABC
Và SQ là đường trung bình của tam giác ACD
Nên:
và
suy ra:
Nên tứ giác PSQR là hình bình hành. Vậy PQ cắt RS tại trung điểm G của mỗi đoạn
Giải
G là trung điểm chung của PQ và MN chứng minh tương tự
G
CỦNG CỐ
a, b chéo nhau
a // b
Mô tả
Khác nhau
Giống nhau
Không đồng phẳng
Đồng phẳng
Không có điểm chung
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian:
Đồng phẳng
Không đồng phẳng
Hai đường thẳng chéo nhau
Hai đường thẳng cắt nhau
Hai đường thẳng song song
Hai đường thẳng trùng nhau
a chéo b
17
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
II. Tính chất
III. Củng cố
IV. Hướng dẫn bài tập
Bài tập1/59
Cho Tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R, S là bốn điểm lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA. CMR nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì ba đường thẳng PQ, RS, AC hoặc song song hoặc đồng quy.
Bài tập 2/59
Cho Tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của mp(PQR) trong trường hợp:
PR song song với AC
PR cắt AC
Bài tập 3/59
Cho Tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm đoạn MN.
Tìm giao điểm của đường thẳng AG với mp(BCD)
Qua M kẻ Mx song song với AA’ và Mx cắt (BCD) tại M’. CMR: B, M, A thẳng hàng và BM’ = M’A’ = A’N
CMR: GA = 3GA’