Hình thoi có những
Họa
tính
tiết
chất
cácgì?
emCó
thấy
những
trên hình
dấu 55
hiệu
gợi
nào
lênđể
hình
nhậnảnh
biếtcủa
mộthình
tứ giác
thoi.
là hình thoi.

I

ĐỊNH NGHĨA

sánh độ dài các cạnh của tứ giác ABCD ở Hình 56
* Định So
nghĩa
B

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

C

A
D
Hình 56

ĐỊNH NGHĨA

Ở Hình 57, tứ giác nào là hình thoi? Vì sao?
M 2,5cm

Ở Hình b), ta có:
GH KG (vì 2,5 cm 2 cm)
nên tứ giác GHIK không phải là hình thoi.

Q

2,5cm
a)

P

G 2,5cm
2c
m

Ở Hình a), ta có
MN = NP = PQ = QM (= 2,5 cm)
nên tứ giác MNPQ là hình thoi

2,5
cm

Giải:

N

2,5
cm

VÍ DỤ 1

K

2cm
b)

2,5
cm

I

I

H

II

TÍNH CHẤT
Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD
B
cắt nhau tại O (Hình 58)

a) Hình thoi ABCD có dạng hình bình hành
hay không?
b) Hai đường chéo AC và BD có vuông
góc với nhau hay không?
c) Hai tam giác ABC và ADC có bằng
nhau hay không? Tia AC có phải là tia
phân giác của hay không?

C

A
D

II

TÍNH CHẤT

Giải:

B

a) Xét hình thoi ABCD có:
A
AB = BC = CD = DA (định nghĩa)
=>ABCD là hình bình hành (tính chất hình bình hành)

C
D

II

TÍNH CHẤT

Giải:

b) Xét Hình bình hành ABCD
có AC DB = O
A
suy ra DO = OB (tính chất)
Xét ∆ADO và ∆ABO
⇒ ∆ADO = ∆ABO (c.c.c)
⇒ (cặp góc tương ứng)
Mà ( hai góc kề bù)
⇒
⇒ Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau

B
C
D

II

TÍNH CHẤT
B

Giải:
c) Xét ∆ADO và ∆ABO
⇒ ∆ABC = ∆ADC (c.c.c)
Lại có ∆ADO = ∆ABO (cmt)
⇒ (cặp góc tương ứng)
Hay
Vậy tia AC là tia phân giác của

C

A
D

II

TÍNH CHẤT
Nhận xét:

B

Do hình thoi là hình bình hành nên hình thoi có
A
tất cả các tính chất của hình bình hành.
* Định lí:

C
D

Trong một hình thoi:
a) Hai cạnh đối song song; các cạnh bằng nhau
b) Các góc đối bằng nhau;
c) Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường;
d) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

II

TÍNH CHẤT

(SGK- tr110) Cho thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD
B
cắt nhau tại O, AC = 3cm, BD = 4cm (Hình 59).
Tính độ dài của OA, OB, AB.
/
\
Giải
C
A /
\
Do ABCD là hình thoi nên O là trung điểm
của hai đường chéo AC, BD
D
Suy ra: OA = AC = .3 = 1,5 (cm);
Áp dụng định lí Pythagore, ta có
OB = BD = 4 = 2 (cm).
AB2 = OA2 + OB2.
VÍ DỤ 2

Ta có AC ⊥ BD (vì ABCD là hình thoi)
nên tam giác OAB vuông tại O.

Do đó AB2 = (1,5)2 + 22 = 6,25
hay AB = 2,5(cm)

II

TÍNH CHẤT
B

Cho hình thoi ABCD có = 120 .
Chứng minh tam giác ABD là tam giác đều
0

Lời giải
Tam giác ABD có AB = AD (vì ABCD là hình thoi).
Lại có AC là tia phân giác của góc A
= = 600.
Vậy, tam giác ABD là tam giác đều

/

\
A

/

\
D

C

III

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT
SGK trang 114

a) Cho hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AB
và BC bằng nhau, ABCD có phải là hình thoi
hay không?
b) Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo
AC và BD vuông góc với nhau (Hình 60).
 Đường thẳng AC có phải là đường trung
trực của đoạn thẳng BD hay không?
 ABCD có phải hình thoi hay không?

Hoạt động nhóm
+ Nhóm 1:
Làm phần a) của HĐ3
+ Nhóm 2:
Làm phần b) của HĐ3

III

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT
Lời giải

a)
b) Xét
Xét hình
hình bình
bình hành
hành ABCD
ABCD
Có:
AB = OB
BC (tính
(gt) chất)
Có OD

(1)
(3)

AB
= AD (tính chất) (4)
(2)
AC =⊥DC
DBvà= BC
O (gt)
Từ (1)
= BCthẳng
= DC AC
= AD
(3) và
và(2)
(4)suy
suyraraAB
Đường
là
đường
trung trực
của đoạn
Suy
ra ABCD
là hình
thoi thẳng BD
Lại có OA = OC (tính chất)

(5)

Từ (3), (4), (5) Suy ra ABCD là hình thoi

III

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

Ghi nhớ:

a) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
b) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

III
VÍ DỤ 3

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT
(SGK-tr115) Cho tam giác ABC vuông tại A. Các điểm M,
N lần lượt thuộc tia đối của tia AB, AC sao cho AM = AB,
C
AN = AC. Chứng minh tứ giác BCMN là hình thoi

Lời giải.
Tứ giác BCMN có A là trung điểm của cả hai đường
chéo BM và CN nên BCMN là hình bình hành.

B

Do tam giác ABC vuông tại A nên = 90 hay BM ⊥ CN.
0

Hình bình hành BCMN có hai đường chéo BM  CN
=> BCMN là hình thoi.

/

=
=A
N

/

M

III

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC. Trên tia đối
C
của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.
=
Chứng minh tứ giác ABNC là hình thoi
/
/
Lời giải
A
=M
Tứ giác ABNC có M là trung điểm của cả hai đường chéo
B
BC và AN nên ABNC là hình bình hành.
Do tam giác ABC cân tại A, có AM là trung tuyến nên AM cũng là
đường cao AM ⊥ BC => AN  BC
Hình bình hành ABNC có hai đường chéo AN và BC vuông góc với
nhau nên ABNC là hình thoi

Chú ý:

Hình bình hành có một đường chéo là phân giác
của một góc là hình thoi

N

BÀI TẬP

Gọi O là giao điểm của AC và BD

B
Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của BD

Xét tam giác ABD có AO vừa là phân giác của góc DAB,
vừa là đường trung tuyến

C
O

)
)

Cho hình bình hành ABCD có tia AC là tia phân giác của .
Chứng minh ABCD là hình thoi.
Lời giải

A

=> ABD là tam giác cân hay AB = AD.
Hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AB = AD nên nó là hình thoi.

D

Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
C
Chứng minh : AC2 + BD2 = 4(OA2 + OB2 ) = 4AB2
Lời giải
Vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông AOB
ta có OA2 + OB2 = AB2.
Từ đó ta có
AC2 + BD2 = (2OA)2 + (2OB)2 = 4(OA2+OB2) = 4AB2

B

O


A

D

C

Cho hình thoi ABCD có = 400.
Tính số đo mỗi góc của hình thoi ABCD.
Lời giải

B

Vì ABCD là hình thoi nên DB là tia phân giác của góc .
Do đó

O


A

= 2 . = 2 · 400 = 800.

Hình thoi cũng là hình bình hành, do đó hai góc kề có tổng là 1800,
hay = 1800 - = 1000
Hình thoi có các cặp góc đối diện bằng nhau, vậy ta có = = 1000; = = 800

D

Hình 62 mô tả một ô lưới mắt cáo có dạng hình thoi với
độ dài của hai đường chéo là 45mm và 90mm.
Độ dài cạnh của ô lười mắt cáo đó là bao nhiêu milimet
( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị )?
Lời giải

C

A
D
90mm

45mm

Đặt tên các đỉnh và các cạnh
như hình vẽ bên, ta có:
4AB2 = AC2 + BD2 = 902 + 452 = 10125
Do đó AB2 = 2531,25 hay AB ≈ 50,3 mm

B

B
Một viên gạch trangLời
trí có
giảidạng hình thoi với độ dài
Đặt là
tên40cm
các đỉnh
cạnh
cạnh
và sốvàđocác
một
góc là 600 (Hình 63).
như hình
giả gạch
sử = 60
Diện
tích vẽ
củabên,
viên
đó0 là bao nhiêu cetimét
vuông
Ta có tam giác ABD đều nên BD = AB = 40 cm.
(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Vì O là trung điểm của BD nên BO = BD = 20 cm

A ) 600

Do đó, áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông AOB ta có
AB2 = OA2 + OB2 ⇒ OA2 = AB2 – OB2 = 402 – 202 = 1200.
Suy ra OA = 34,64 ⇒ AC = 69,28 (cm).
Diện tích viên gạch cũng chính là diện tích hình thoi ABCD là
S = AC . BD = . 69,28 . 40 = 1385,6 (cm2).

D

40
cm

C

Hãy chọn câu sai.
A

Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi

B

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau và
bằng nhau là hình thoi

C

Hình bình hành có một đường chéo là đường phân
giác của một góc là hình thoi.

D

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với
nhau là h́ình thoi.

Hình thoi không có tính chất nào dưới đây?
A. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
B. Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi
C. Hai đường chéo vuông góc với nhau
D. Hai đường chéo bằng nhau

A. Tam giác đều
Trong các hình sau,
hình nào vừa có tâm đối xứng,

B. Hình thang cân.

vừa có trục đối xứng?

C. Hình bình hành
D. Hình thoi

Cho các hình sau, chọn khẳng định đúng
A

A

B

D

Hình 1

C

Cả ba hình đều là hình thoi
Hình 1 và hình 2 là hình thoi

A

B

D

A

Hình 2

C
B
D

C

D

B

Hình 3

C

Chỉ hình 1 là hình thoi
Cả ba hình đều không phải hình thoi

Hình thoi có độ dài hai đường chéo là 24cm và 10cm
thì cạnh của hình thoi đó bằng:

A . 12cm

B . 13cm

C. 14cm

D . 15cm

Hình thoi có độ dài hai đường chéo là 16cm và 12cm
thì cạnh của hình thoi đó bằng:

A . 8cm

B . 12cm

C. 10cm

D . 20cm

Cho hình thoi ABCD
có chu vi bằng 16cm,
đường cao bằng 2cm.

Tính các góc
của hình thoi.

A

= = 1500; = = 300

B

= = 300; = = 600

C

= = 1200; = = 600

D

= = 300; = = 1500

Tứ giác ABCD có AB=CD. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm
của BC, DA. Gọi I,K theo thứ tự là trung điểm của AC, BD.
Tứ giác KMIN là hình gì?

A . Hình chữ nhật

B . Hình bình hành

C. Hình thang cân

D . Hình thoi

Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến AM. Gọi D là
trung điểm của AB, M' là điểm đối xứng với M qua D.
Tứ giác AMBM' là hình gì?
A . Hình thoi

B . Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D . Hình thang

Cho hình thang ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm
của AB, BC, CD, DA. Hình thang ABCD có thêm điều kiện
gì thì MNPQ là hình thoi. Hãy chọn câu trả lời đúng

A . MP=QN

B . AC  BD

C. AB = AD

D . AC = BD

Cho hình thoi ABCD. Trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy
hai điểm E và F sao cho BE=DF. Gọi G, H thứ tự là giao điểm
của AE, AF với đường chéoDB. Tứ giác AGCH là hình gì?

A . Hình thoi

B . Hình chữ nhật

C. Hình bình hành

D . Hình thang

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt
là trung điểm của AD, BC. Các đường BE,
DF cắt AC tại P, Q. Tứ giác EPFQ là hình
thoi nếu bằng:
A . 450

B . 600

C. 900

D . 750

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
 Ghi nhớ kiến thức trong bài.
 Hoàn thành các bài tập trong SBT.
 Chuẩn bị bài mới: "Bài 7: Hình vuông ".