6

PHÉP VỊ TỰ

Hai bức tranh ở hình 1.41 có hình dạng giống nhau nhưng khác nhau về kích thước, nên
không có phép dời hình biến bức tranh này bức tranh kia. Tuy vậy, ta sẽ biết bức tranh này
như là ảnh của bức tranh kia qua một phép vị tự - đối tượng mà ta sẽ học trong bài này.

1. PHÉP VỊ TỰ
HĐ1. Trong hai bức tranh ở hình 1.41, các hình chữ nhật ABCD, ABC D có các cạnh tương ứng song
song, bức tranh lớn có kích thước gấp đôi bức tranh nhỏ.
a) Giải thích vì sao các đường thẳng AA, BB, CC , DD cùng đi qua một điểm O .

OA OB OC OD
b) Hãy tính các tỉ số
.
,
,
,
OA OB OC  OD
c) Dùng thước thẳng nối hai điểm tương ứng nào đó trên hai bức tranh (chẳng hạn, đầu mỏ trên của chú
gà ở hai bức tranh). Đường thẳng đó có đi qua O hay không?
Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm của AA' và BB'.
Xét tam giác OA'B' có AB // A'B', theo định lý Thales, ta có:
OA
OB
AB
1



OA '
OB '
A' B '
2
Từ đó suy ra A, B lần lượt là trung điểm của OA' và OB'.
Gọi C" là giao điểm của BC và OC'. Vì BC // B'C' nên BC" // B'C'.

1. PHÉP VỊ TỰ
a) Gọi O là giao điểm của AA' và BB'.
Xét tam giác OA'B' có AB // A'B', theo định lý Thales, ta có:
OA
OB
AB
1



OA '
OB '
A' B '
2
Từ đó suy ra A, B lần lượt là trung điểm của OA' và OB'.
Gọi C" là giao điểm của BC và OC'. Vì BC // B'C' nên BC" // B'C'.
Xét tam giác OB'C' có BC" // B'C' và B là trung điểm của OB' nên BC" là đường trung
bình của tam giác OB'C'. Suy ra BC" = B'C' và C" là trung điểm của OC'.
Mặt khác theo giả thiết ta có BC = B'C'. Do vậy C" trùng với C và C là trung điểm
của OC'.
Chứng minh tương tự, ta được D là trung điểm của OD'.
Vậy các đường thẳng AA', BB', CC', DD' cùng đi qua một điểm O.

1. PHÉP VỊ TỰ
b) Vì A, B, C, D lần lượt là trung điểm của OA', OB', OC', OD' nên
OA
OB
AB
OD
1




OA '
OB '
A' B '
OD '
2
c) Dùng thước thẳng nối hai điểm tương ứng trên hai bức tranh, cụ thể, đầu mỏ
trên của chú gà ở hai bức tranh, ta thấy đường thẳng này đi qua điểm O.



Cho điểm O và số thực k 0 . Phép biến hình mỗi điểm M thành điểm M  sao cho OM  kOM được
gọi là phép vị tự tâm O , tỉ số k , kí hiệu V(O ,k ) .
Điểm O gọi là tâm vị tự, k là tỉ số vị tự.

? Phép vị tự V(O,k ) biến điểm O thành điểm nào? Nếu phép vị tự V(O ,k ) biến điểm M thành điểm M  thì
phép vị tự V

1
 O, 
 k

biến điểm M  thành điểm nào?
Lời giải:

- Phép vị tự V(O, k) biến điểm O thành điểm O.
- Nếu phép vị tự V(O, k) biến điểm M thành điểm M' thì phép vị tự V(O,) biến điểm M' thành
điểm M.
Thật vậy, nếu M' là ảnh M qua phép vị tự V(O,k) thì . Điều này có nghĩa là M là ảnh của M' qua
phép vị tự V(O, .

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM , BN , CP và trọng tâm G
a) Tìm ảnh của các điểm A, N , P qua phép vị tự V( A, 2) .
b) Tìm ảnh của các điểm A, B, C qua phép vị tự V

1
 G,  
2


.

Lời giải:

a) Phép vị tự V( A, 2)



 

biến điểm A thành A . Do AC 2 AN , AB 2 AP nên phép vị tự V( A, 2) biến các điểm

N , P tương ứng thành các điểm C , B .

Vậy ảnh của các điểm A, N , P qua phép vị tự V( A, 2) tương ứng A, C , B .

 1
  1 
1
b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GM  GA, GN  GB, GP  GC . Do đó, ảnh của
2
2
2
các điểm A, B, C qua phép vị tự V 1  tương ứng M , N , P .
 G,  
2


Luyện tập 1. Chứng minh rằng, phép vị tự V(0,1) là phép đồng nhất, phép tự vị V(0,  1) là phép đối xứng tâm O .
Lời giải:
+ Phép vị tự V(O, 1) biến điểm M thành điểm M' thỏa mãn . Khi đó M' trùng với M. Do đó,
phép vị tự V(O, 1) là phép đồng nhất.
+ Phép vị tự V(O, – 1) biến điểm M thành điểm M" thỏa mãn . Khi đó O là trung điểm của
MM". Do đó, M" là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O hay phép vị tự V(O, – 1) là phép
đối xứng tâm O.

Vận dụng 1. Quan sát hai bức tranh chú bé ôm gà ở phần mở đầu bài học và chỉ ra phép vị tự biến bức
tranh nhỏ thành bức tranh lớn và phép vị tự biến bức tranh lớn thành bức tranh nhỏ.
Lời giải:
OA
OB
AB
OD
1
Ta cã



 (Theo H§1)
OA ' OB '
A ' B ' OD ' 2
Suy ra  
.
Từ đó ta có các điểm A', B', C', D' lần lượt là ảnh
của các điểm A, B, C, D qua phép vị tự V(O, 2). Do
đó, phép vị tự V(O, 2) biến hình chữ nhật ABCD
thành hình chữ nhật A'B'C'D'.
Vậy phép vị tự V(O, 2)­ biến bức tranh nhỏ thành bức tranh lớn. Khi đó,
phép vị tự V(O,) biến bức tranh lớn thành bức tranh nhỏ.

2. TÍNH CHẤT
HĐ 2. Cho phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M  , điểm N thành N  .

 
a) Biểu diễn các véctơ OM , ON  tương ứng theo các véctơ OM , ON .


b) Giải thích vì sao M N  k MN .
Lời giải
a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M', điểm N
thành điểm N' nên ta có .
b) Ta có: = ((theo quy tắc hiệu).
Vậy  

2. TÍNH CHẤT

Nếu một phép vị tự tâm O , tỉ số k biến điểm M thành điểm M  , điểm N thành điểm N  thì


M N  kMN (và do đó, M N   k MN )
Chú ý.

Từ tính chất trên, người ta chứng minh được rằng, phép vị tự tâm O, tỉ số k:




Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó;
Biến đoạn thẳng (độ dài a) thành đoạn thẳng (độ dài k a );



Biến đường tròn (bán kính R) thành đường tròn (bán kính k R với tâm là ảnh của tâm;



Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó (tỉ số đồng dạng là k );



Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đó.

2. TÍNH CHẤT
Ví dụ 2. Một phép vị tự tâm O, tỉ số k biến tam giác ABC thành tam giác ABC  . Tính tỉ số diện tích hai
tam giác ABC  và ABC

Lời giải
Phép vị tự tỉ số k biến tam giác ABC thành tam giác ABC  nên tam giác ABC  đồng dạng với tam giác
ABC theo tỉ số k (để ý rằng BC   k BC , C A  k CA, AB  k AB ). Do đó,

S ABC 
2
 k k 2 .
S ABC

Luyện tập 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C  :  x  1   y  2  25 .
2

2

a) Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn C  .
b) Tìm tâm I  và bán kính R của đường tròn C  là ảnh của đường tròn C  qua phép vị tự tâm

A 3;5  , tỉ số 2.
c) Viết phương trình của C  .

2. TÍNH CHẤT
Luyện tập 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C  :  x  1   y  2  25 .
2

2

a) Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn C  .
b) Tìm tâm I  và bán kính R của đường tròn C  là ảnh của đường tròn C  qua phép vị tự tâm

A 3;5  , tỉ số 2.
c) Viết phương trình của C  .

Lời giải

a) Ta có (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25 hay (x – 1)2 + (y – 2)2 = 52.
Do đó, đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5.
b) Đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2 nên tâm I'
của đường tròn (C') là ảnh của tâm I của đường tròn (C) qua phép vị tự V(A, 2) và bán kính
R' của đường tròn (C') bằng 2 lần bán kính R của đường tròn (C) hay R' = 2 . 5 = 10.

2. TÍNH CHẤT
Lời giải
a) Ta có (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25 hay (x – 1)2 + (y – 2)2 = 52.
Do đó, đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5.
b) Đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2 nên tâm I'
của đường tròn (C') là ảnh của tâm I của đường tròn (C) qua phép vị tự V(A, 2) và bán kính
R' của đường tròn (C') bằng 2 lần bán kính R của đường tròn (C) hay R' = 2 . 5 = 10.
Ta có: .
Vì I' là ảnh của I qua phép vị tự V(A, 2) nên .

 xI '  xA 2.( 2)  4  xI '  3 2.( 2)  4  xII ''  1



 yI '  y A 2.( 3)  6  yI '  5 2.( 3)  6  yII ''  1
Vậy I'(– 1; – 1) và R' = 10.
c) Phương trình đường tròn (C') là (x + 1)2 + (y + 1)2 = 102 hay (x + 1)2 + (y + 1)2 = 100.

2. TÍNH CHẤT
Ví dụ 3. Cho đường tròn O, R  và hai điểm phân biệt B, C sao cho đường thẳng BC và O, R  không
có điểm chung. Cho điểm A thay đổi trên đường tròn O, R  . Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác
ABC thuộc một đường tròn cố định.

Lời giải

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

1
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên MG  MA .
3
1
Do đó, phép vị tự tâm M, tỉ số biến điểm A thành điểm G.
3
Mặt khác, A thuộc đường tròn O, R  nên G thuộc đường tròn O, R
cố định là ảnh của đường tròn O, R  qua phép vị tự V

1
M, 
 3

.


 1
1
Ở đó, R  R và O là ảnh của O qua V 1  nên được xác định bởi MO  MO .
3
3
M, 
 3

2. TÍNH CHẤT

Vận dụng 2. Quan sát Hình 1.47 và cho biết hình nào trong hai hình nhỏ không phải là ảnh của hình lớn
qua một phép vị tự. Nêu lí do cho sự lựa chọn đó.
Lời giải

Quan sát Hình 1.47, ta thấy hình b) có
hình dạng khác hẳn so với 2 hình còn
lại (về cây ở góc trên bên phải, về mây
và núi). Mà phép vị tự thì chỉ thay đổi
về kích thước mà không thay đổi về
hình dạng, do đó hình b) không phải là
ảnh của hình lớn qua một phép vị tự.

BÀI TẬP

1.20. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD, CD 2 AB . Gọi O là giao của hai cạnh bên và I là
giao của hai đường chéo. Tìm ảnh của đoạn thẳng AB qua các phép vị tự VO ,2 , VI , 2 .
Lời giải
+ Vì ABCD là hình thang có hai đáy AB và CD nên
AB // CD. Theo định lí Thales trong tam giác OCD ta
có:
Suy ra  
Do đó, D và C tương ứng là ảnh của A và B qua phép
vị tự V(O, 2). Vậy đoạn thẳng DC là ảnh của đoạn
thẳng AB qua phép vị tự V(O, 2).
+ Vì AB // CD nên theo hệ quả của định lí Thales trong tam giác ICD ta có:

BÀI TẬP
+ Vì ABCD là hình thang có hai đáy AB và CD nên
AB // CD. Theo định lí Thales trong tam giác OCD ta
có:
Suy ra  
Do đó, D và C tương ứng là ảnh của A và B qua phép
vị tự V(O, 2). Vậy đoạn thẳng DC là ảnh của đoạn
thẳng AB qua phép vị tự V(O, 2).
+ Vì AB // CD nên theo hệ quả của định lí Thales trong tam giác ICD ta có:

Suy ra
Do đó, C và D tương ứng là ảnh của A và B qua phép vị tự V(I, – 2). Vậy đoạn thẳng CD là
ảnh của đoạn thẳng AB qua phép vị tự V(I, – 2).

BÀI TẬP

1.21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A 1; 2 , B 3;6  . Viết phương trình đường tròn C  là ảnh của
đường tròn đường kính AB qua phép vị tự VO ,3 .
Lời giải
Gọi I là trung điểm của AB, ta có I(2; 4) là tâm của đường tròn đường kính AB với bán
kính là .
Gọi I' và R' lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C).
Vì đường tròn (C) là ảnh của đường tròn đường kính AB qua phép vị tự V(O, 3) nên I' là
ảnh của I qua phép vị tự V(O, 3) và .
Khi đó ta có:. Từ đó suy ra I'(6; 12).
Phương trình đường tròn (C) là (x – 6)2 + (y – 12)2 = 45.

BÀI TẬP

1.22. Ở Hình 1.48, A, B, C , D, E tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng IA, IB, IC, ID, IE. Hỏi
năm điểm đó có thuộc một đường tròn hay không? Vì sao?
Lời giải
Vì A', B', C', D', E' tương ứng là trung điểm của các
đoạn thẳng IA, IB, IC, ID, IE nên ta suy ra

1⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ 1⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ 1 ⃗
⃗
𝐼 𝐴 '= 𝐼 𝐴 ; 𝐼 𝐵' = 𝐼 𝐵 ; 𝐼 𝐶 '= 𝐼 𝐶 ; 𝐼 𝐷 '= 𝐼 𝐷 ; 𝐼 𝐸 '= 𝐼 𝐸
2
2
2
2
2
Do đó, A', B', C', D', E' tương ứng là ảnh của các điểm A,
B, C, D, E qua phép vị tự tâm I, tỉ số .
Từ Hình 1.48, ta thấy các điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một
đường tròn. Vậy các điểm A', B', C', D', E' đều cùng thuộc
một đường tròn là ảnh của đường tròn đi qua 5 điểm A, B, C,
D, E qua phép vị tự tâm I, tỉ số 

BÀI TẬP

1.23. Quan sát ba hình được tô màu ở Hình 1.49, hình nhỏ nào là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự?
Lời giải

Hình nhỏ 2 là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự.