Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Thương
Lớp 11A3

DẠNG 1: CM ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI
MẶT PHẲNG
Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hay sử dụng

Cách Để chứng minh đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng ta chứng minh
1:
đường thẳng vuông góc với hai đường
cắt nhau nằm trong mặt phẳng .

Cách
2:

Sử dụng tính chất
𝑎 // b .

d

a
(P)

b

a

b
b

DẠNG 1: CM ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI
MẶT PHẲNG

Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình vuông , cạnh bên vuông
góc với đáy . Chứng minh rằng
a) b)
c)

S

Lời Giải
Ta có : .
a) Ta có :

D
A

b) Ta có :
c) Ta có: .

B

O
C

Câu 2:

Cho hình chóp có đáy là hình thoi và . Gọi lần lượt là trung
điểm của .
Chứng minh

Lời Giải

S

Ta có:
Mà

A

D

I
B

O
J

C

Câu 3: Cho hình chóp trong đó là hình chữ nhật, . Chứng minh

rằng tất cả mặt bên của hình chóp là tam giác vuông.

Lời Giải

S

Ta có suy ra AB , AD nên tam giác SAB,
SAD vuông tại A.
Lại có, BC AB; BC SA suy ra BC SB nên
tam giác SBC vuông tại B.
Tương tự tam giác SCD vuông tại D.

D
A

B

C

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , , , . Gọi là
trung điểm của . Chứng minh CE(SAB).

𝑪𝑬⊥(𝑺𝑪𝑫)
Lời Giải

S

Ta có .
Mà
A

D

E

C

B

Lưu ý: Đối với các hình chóp có cạnh bên bằng nhau

Đối với các hình chóp có cạnh bên bằng nhau
Đa giác đáy
Hình vuông, hình chữ nhật
Nửa lục giác đều (hình thang cân
đặc biệt)
Tam giác đều
Tam giác vuông

Chân đường vuông góc từ đỉnh S
xuống mp đáy
Giao điểm 2 đường chéo
Trung điểm cạnh đáy lớn của hình
thang
Trọng tâm tam giác
Trung điểm cạnh huyền

Lưu ý: Đối với các hình chóp có cạnh bên bằng nhau đa giác đáy
không thể là hình bình hành, hình thoi, hình thang vuông.

ba

Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC. Gọi O là hình chiếu vuông
góc của S trên mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây đúng?
A O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
B O là trọng tâm tam giác ABC.
C O là trực tâm tam giác ABC.
D
D O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

ba

Câu 2:

A Các cạnh SA, SB, SC, SD hợp với đáy
(ABCD) những góc bằng nhau.
B HA = HB = HC = HD
C Tứ giác ABCD là hình bình hành
D Tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường
tròn

DẠNG 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Các bước xác định góc giữa đường thẳng d
và mặt phẳng ()
Bước 1: Xác định giao điểm I của đường
thẳng d và mp()
Bước 2: Từ 1 điểm M trên đường thẳng d,
hạ MH vuông góc với mp()
Bước 3: Khi đó
Lưu ý: Nếu d () thì
Nếu d song song hoặc chứa trong mp()
thì

M

d

𝜑

)

H

I

Bài toán: Cho hình chóp trong đó là hình chữ nhật, . Hãy xác
định các góc sau?
1. Góc giữa cạnh bên SB, SC, SD với mp(ABCD).
2. Góc giữa SC và mp(SAB).
3. Góc giữa SC và mp(SAD).
4. Góc giữa AC và mp(SBC).
5. Góc giữa AC và mp(SCD).

Câu 1:

A
A

B
Lời Giải

C

D
.

Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a,

và SA vuông góc với .
a) Tính góc giữa SC và .
Lời Giải

S

Vì nên .
Trong hình vuông ABCD có:
Theo giả thiết:
vuông cân tại A
.

𝑎 √2

A

a

D

O

B

C

Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a,

và vuông góc với .
b) Tính góc giữa và .
Lời Giải

S

Vì
Vậy là hình chiếu của lên
.
Mà vuông cân tại
.
vuông tại và nên là nửa tam giác đều, suy ra

𝑎 √2

A

a

D

O

B

C

Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a,

và vuông góc với .
c) Tính góc giữa và .
Lời Giải

S

Vì
Vậy là hình chiếu của lên
.
Mà

𝑎 √2

A

suy ra

a

D

O

B

C

CỦNG CỐ BÀI HỌC
Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hay sử dụng

Cách Để chứng minh đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng ta chứng minh
1:
đường thẳng vuông góc với hai đường
cắt nhau nằm trong mặt phẳng .

Cách
2:

Sử dụng tính chất
𝑎 // b .

d

a
(P)

b

(α )

a

b
b

Đối với các hình chóp có cạnh bên bằng nhau
Đa giác đáy
Hình vuông, hình chữ nhật
Nửa lục giác đều (hình thang cân
đặc biệt)
Tam giác đều
Tam giác vuông

Chân đường vuông góc từ đỉnh S
xuống mp đáy
Giao điểm 2 đường chéo
Trung điểm cạnh đáy lớn của hình
thang
Trọng tâm tam giác
Trung điểm cạnh huyền

Lưu ý: Đối với các hình chóp có cạnh bên bằng nhau đa giác đáy
không thể là hình bình hành, hình thoi, hình thang vuông.

DẠNG 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Các bước xác định góc giữa đường thẳng d
và mặt phẳng ()
Bước 1: Xác định giao điểm I của đường
thẳng d và mp()
Bước 2: Từ 1 điểm M trên đường thẳng d,
hạ MH vuông góc với mp()
Bước 3: Khi đó
Lưu ý: Nếu d () thì
Nếu d song song hoặc chứa trong mp()
thì

M

d

𝜑

)

H

I

!
g
n
i
n
e
t
s
i
L
r
o
f
s
k
n
a
Th