.

* Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một cung tròn (như hình vẽ).
Giải thích ?
B.

A

.C
M

.
M

N

N




A



Q

B

Các điểm M, N, Q có cùng
thuộc một cung tròn căng dây
AB hay không ?

M'

M''

M
A

B

Cho đoạn thẳng AB và góc 
(00 < < 1800). Lấy điểm M sao
AMB  ? Vị trí điểm M
cho 
nằm trên đường nào?

HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

§6. CUNG CHỨA GÓC
1. Bài toán quỹ tích “cung chứa góc”

Cho đoạn thẳng AB và góc  (0o< <180o). Tìm quỹ tích (tập hợp)
các điểm M thoả mãn AMB = . (ta cũng nói quỹ tích các điểm M
nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới góc ).
M'


M


A



M''
B

§6. CUNG CHỨA GÓC
1. Bài toán quỹ tích “cung chứa góc”
* Kết luận:

M2
M1




A

B


a/ Với đoạn thẳng AB và góc  (00 <

M
0
 < 180 ) cho trước thì quỹ tích các
M
AMB  là hai
điểm M thoả mãn 
cung chứa góc  dựng trên đoạn AB.
* Hai điểm A,B được coi là thuộc quỹ tích
* Hai cung chứa góc  nói trên là hai cung tròn
đối xứng nhau qua AB.
4

b/Quỹ tích các điểm nhìn đọan thẳng AB cho trước
dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB

3

§6. CUNG CHỨA GÓC
1. Bài toán quỹ tích “cung chứa góc”
* Kết luận:

Cung AmB là cung chứa góc α thì cung AnB là
cung chứa góc 1800 - α

m

CÁCH VẼ CUNG CHỨA GÓC 

y

- Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng
AB.

O
d

- Vẽ tia Ax tạo với AB góc .
- Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax.
Gọi O là giao điểm của Ay với d.
A
- Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA sao
cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB
không chứa tia Ax.

B

α

x
Cung AmB được vẽ như trên là cung
chứa góc  .

LUYỆN TẬP KIẾN THỨC

Ví dụ: Vẽ cung chứa góc 550 trên đoạn thẳng AB =
3cm

D
●

m

y

●

O

A

||

●

●

55°

x●

d

||

B

Ví dụ: Vẽ cung chứa góc 550 trên đoạn thẳng AB =
3cm

D
●

m

Cách vẽ:
- Vẽ đoạn thẳng AB=3cm

y

●

- Vẽ đường trung trực d của đoạn AB

O

- Vẽ tia Ax sao cho góc BAx bằng 550

●

- Vẽ tia Ay vuông góc với Ax
- Giao điểm O của d và Ay là tâm của
cung chứa góc 550 dựng trên đoạn AB

A

||

●

55°

- Vẽ cung tròn AmB có tâm O, bán kính OA
x●

d

||

B

2. Cách giải bài toán quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm
M thỏa mãn tính chất  là một hình H nào đó,
ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất  đều
thuộc hình H (giới hạn nếu có)
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính
chất  .
Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) điểm M có tính
chất  là hình H.

§6. CUNG CHỨA GÓC
Bài toán quỹ tích “cung chứa góc”
* Cách giải bài toán quỹ tích “cung chứa góc”
- Xác định đoạn thẳng cố định
- Tính góc  nhìn đoạn thẳng đó bằng
bao nhiêu độ
- Kết luận quỹ tích của điểm M là cung tròn
chức góc  dựng trên đoạn thẳng AB
M
?
A

B

PHẦN 4. VẬN DỤNG KIẾN THỨC

Cách giải bài toán quỹ tích “cung chứa góc”

- Xác định đoạn thẳng cố định

- Tính góc  nhìn đoạn thẳng đó bằng bao nhiêu độ
- Kết luận quỹ tích của điểm M là cung tròn chức góc  dựng trên đoạn thẳng AB

Bài tập 45: Cho hình thoi ABCD có cạnh AB cố định.Tìm quỹ
tích giao điểm O của hai đường chéo trong hình thoi đó
GT

B

Hình thoi ABCD, AB cố định

KL Quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo

A

AB cố định (gt)

Ta có: AB cố định (gt)

O

Bài làmGóc AOB = ?

D
Tính chất hai đường
chéo
hình thoi
( vì O là giao điểm
haicủa
đường
chéo của hình thoi ABCD)


AOB 900
Vậy điểm O nhìn AB cố định dưới góc 900

Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB

C

00<<1800

N1

M2



N2


B


M3

yt
ích



Cá
ch

tì m

qũ

M4

C

Cá

A

ựng
d
ch

M1

=900

+Trung trực d của AB
+Dựng góc BAx = 

D

O

N3

+ Vẽ Ay vuông gócAx .Ay cắt Ax tại O
+ Vẽ cung tròn tâm O bán kính OA

- Xác định đoạn thẳng cố định
- Tính góc  nhìn đoạn thẳng đó bằng bao nhiêu độ
- Kết luận quỹ tích của điểm M là cung tròn chức góc 
dựng trên đoạn thẳng AB

PHẦN 5. TÌM TÒI VÀ MỞ RỘNG

Ví dụ:Chuyển động của Trái Đất quanh mặt trời theo
1 quỹ đạo Elip hết 1 vòng là 1 năm có 365 ngày

ELIP

Câu 1: Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB
cho trước dưới một góc vuông là
A. Đường tròn đường kính AB
B. Nửa đường tròn đường kính AB
C. Đường tròn đường kính AB/2
D. Đường tròn bán kính AB

Câu 1: Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB
cho trước dưới một góc vuông là
A. Đường tròn đường kính AB
B. Nửa đường tròn đường kính AB
C. Đường tròn đường kính AB/2
D. Đường tròn bán kính AB
Đáp án A

Câu 2: Với đoạn thẳng AB và góc α(0° < α <
180°) cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn

AMB 
là
A. Hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB . Hai
cung này không đối xứng nhau qua AB
B. Hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB và
không lấy đoạn AB
C. Hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB . Hai
cung này đối xứng nhau qua AB
D. Một cung chứa góc α dựng trên đoạn AB

Câu 2: Với đoạn thẳng AB và góc α(0° < α <
180°) cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn

AMB 
là
A. Hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB . Hai
cung này không đối xứng nhau qua AB
B. Hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB và
không lấy đoạn AB
C. Hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB . Hai
cung này đối xứng nhau qua AB
D. Một cung chứa góc α dựng trên đoạn AB
Đáp án C

Câu 3: Cho tam giác ABC có BC cố định và góc A bằng 50°. Gọi
D là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác. Tìm quỹ
tích điểm D
A. Một cung chứa góc 115° dựng trên đoạn BC
B. Một cung chứa góc 115° dựng trên đoạn AC
C. Hai cung chứa góc 115° dựng trên đoạn AB
D. Hai cung chứa góc 115° dựng trên đoạn BC

Câu 3: Cho tam giác ABC có BC cố định và góc A bằng 50°. Gọi
D là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác. Tìm quỹ
tích điểm D
A. Một cung chứa góc 115° dựng trên đoạn BC
B. Một cung chứa góc 115° dựng trên đoạn AC
C. Hai cung chứa góc 115° dựng trên đoạn AB
D. Hai cung chứa góc 115° dựng trên đoạn BC

Đáp án D

Câu 4: Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định . Tìm quỹ
tích giao điểm của hai đường chéo của hình thoi đó .
A. Quỹ tích điểm O là 2 cung chứa góc 120° dựng trên AB
B. Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB, trừ hai
điểm A và B
C. Quỹ tích điểm O là 2 cung chứa góc 60° dựng trên AB
D. Quỹ tích điểm O là 2 cung chứa góc 30° dựng trên AB

Câu 4: Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định . Tìm quỹ
tích giao điểm của hai đường chéo của hình thoi đó .
A. Quỹ tích điểm O là 2 cung chứa góc 120° dựng trên AB
B. Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB, trừ hai
điểm A và B
C. Quỹ tích điểm O là 2 cung chứa góc 60° dựng trên AB
D. Quỹ tích điểm O là 2 cung chứa góc 30° dựng trên AB

Đáp án B

Câu 5: Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo vuông góc với nhau
tại O.Biết 2 điểm A và B cố định, 2 điểm C và D di chuyển. Tìm
quỹ tích điểm O
A. Đường tròn đường kính AB.
B. Đường tròn bán kính AB.
C. Đường tròn bán kính AB/2
D. Đường tròn đường kính 2AB
Đáp án A

Câu 6: Cho đoạn thẳng BC cố định. Lấy điểm A
bất kì sao cho tam giác ABC cân tại A. Tìm quỹ
tích điểm A?
A. Đường tròn tâm B bán kính BC.
B. Đường tròn tâm C bán kính BC.
C. Đường trung trực của đoạn thẳng BC.
D. Đường tròn đường kính BC.
Đáp án C

Câu 7: Cho hai điểm B và C cố định, lấy điểm A
bất kì sao cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M
và N lần lượt là trung điểm BC và AC. Tìm quỹ
tích điểm N .
A. Đường tròn đường kính MC
B. Đường tròn đường kính BC
C. Đường tròn đường kính BM.
D. Đáp án khác
Đáp án A

Câu 8: Cho hai điểm B và C cố định. Lấy A là điểm bất kì sao
cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trực tâm của tam giác
ABC. Tìm quỹ tích điểm H
A. Đường tròn đường kính BC
B. Đường trung trực của đoạn thẳng BC
C. Đường tròn tâm B, bán kính BC
D. Đường tròn tâm C, bán kính BC
Đáp án B