CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI BÀI HỌC HÔM NAY!

Gv. TRẦN THANH NHÀN

Bài toán cổ
Một đàn em nhỏ đứng bên sông
To nhỏ bàn nhau chuyện chia hồng
Mỗi người năm trái thừa năm trái
Mỗi người sáu trái một người không
Hỡi người bạn trẻ đang dừng bước
Có mấy em thơ, mấy trái hồng?

Làm thế nào để tính được số em nhỏ
(em thơ) và số trái hồng?

Chuyể
n tiếp

Một đàn em nhỏ đứng bên sông
To nhỏ bàn nhau chuyện chia hồng
Mỗi người năm trái thừa năm trái

Nếu gọi số em thơ là: x (em) (x > 0)
Thì ta có tổng số trái hồng là:
A

5x + 5

B

5x

C

5x – 5

D

5 – 5x

HẾT GIỜ

Một đàn em nhỏ đứng bên sông
To nhỏ bàn nhau chuyện chia hồng
Mỗi người năm trái thừa năm trái

Nếu gọi số em thơ là: x (em) (x > 0)
Số trái hồng là: y (trái) (y > 0)
Thì ta viết được phương trình là?
A

5x = y

B

5x – 5 = y

C

5x + y = 5

D

5x + 5 = y

HẾT GIỜ

Một đàn em nhỏ đứng bên sông
To nhỏ bàn nhau chuyện chia hồng
Mỗi người năm trái thừa năm trái

Mỗi người sáu trái một người không

Nếu gọi số em thơ là: x (em) (x > 0)
Số trái hồng là: y (trái) (y > 0)
Từ đó ta có phương trình thứ 2 là?
A
6x – 1 = y
B

(x – 1). 6= y

C

6x + 6 = y

D

(x + 1).6 = y

HẾT GIỜ

Qua phần trò chơi.
Ta có hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

5x + 5 = y và (x – 1).6 = y
Hai phương trình trên lập thành một hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn:

5 x  5  y

(
x

1).6

y

Vậy để giải hệ phương trình trên ta làm như thế nào?

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

2

HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

HĐKP 1
Để chuyển đổi từ độ F (kí hiệu x) sang độ C (kí hiệu y), ta dung
công thức:

5
y  x  32 
9

a) Biến đổi công thức trên về dạng x – 1,8y = 32

(1)

b) Hỏi 200C tương ứng với bao nhiêu độ F?
c) Hỏi 98,60F tương ứng với bao nhiêu độ C?
Trả lời:
Ta gọi (1) là phương trình bậc nhất hai ẩn x và y.
Khi x = 68 và y = 20 thì hai vế của (1) có giá trị bằng nhau, đều bằng
32. ta nói cặp số (68; 20) là một nghiệm của phương trình (1).

TỔNG QUÁT
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là phương trình có dạng:

ax + by = c
Trong đó a, b, c là các số đã biết (gọi là hệ số), a và b không
đồng thời bằng 0.
Nếu giá trị của vế trái tại x = x0 và y = y0, bằng vế phải thì cặp số
(x0; y0) được gọi là một nghiệm của phương trình.
Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình
đó.

Ví dụ 1

Trong các phương trình sau, phương trình nào phương
trình bậc nhất hai ẩn? Xác định các hệ số a, b, c của
phương trình bậc nhất hai ẩn đó.

a) 3x + 5y = – 3;
Giải

b) 0x – 2y = 7;

c) –4x + 0y = 5;

d) 0x + 0y = 8

a) 3x + 5y = – 3 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 3, b = 5, c = –3.
b) 0x – 2y = 7 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 0, b = –2, c = 7.
c) – 4x + 0y = 5 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = –4, b = 0, c = 5.
d) 0x + 0y = 8 không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì a = 0, b = 0.

Ví dụ 2:
Cho phương trình 3x – y = 1. Trong hai cặp số (1; 2) và (1; – 2),
cặp số nào là nghiệm của phương trình đã cho?
Giải

Cặp số (1; 2) là nghiệm của phương trình đã cho vì 3.1 – 2 = 1
Cặp số (1; – 2) không là nghiệm của phương trình đã cho
vì 3.1 – (– 2)  1

Chú ý:
a) Mỗi nghiệm (x0; y0) của phương trình ax + by = c được
biểu diễn bởi điểm có toạ độ (x0; y0) trên mặt phẳng toạ độ
Oxy.
b) Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có
vô số nghiệm. Tất cả các nghiệm của nó được biểu diễn
bởi một đường thẳng.

Ví dụ 3:
Biểu diễn tất cả các nghiệm của mỗi phương trình sau trên mặt
phẳng toạ độ Oxy.
a) –3x + y = 2;

b) 0x + y = –2;

c) 2x + 0y = 3

Giải

a) Viết lại phương trình thành y = 3x + 2
Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình
đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d:
y = 3x + 2 (hình 1)

Ví dụ 3:
Biểu diễn tất cả các nghiệm của mỗi phương trình sau trên mặt
phẳng toạ độ Oxy.
a) –3x + y = 2;

b) 0x + y = –2;

c) 2x + 0y = 3

Giải

b) Viết lại phương trình thành y = –2
Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình
đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d
vuông góc với Oy tại M(0; –2) (hình 2)

Ví dụ 3:
Biểu diễn tất cả các nghiệm của mỗi phương trình sau trên mặt
phẳng toạ độ Oxy.
a) –3x + y = 2;

b) 0x + y = –2;

c) 2x + 0y = 3

Giải

c) Viết lại phương trình thành x = 1,5
Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình
đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d
vuông góc với Ox tại N(1,5; 0) (hình 3)

Thực hành 1:

Xác định các hệ số a, b, c của mỗi phương

trình bậc nhất hai ẩn sau:

Giải

a) x + 5y =  4
3
c) 0x 
y=0
2

b) 3x + y = 0
d) 2x + 0y =  1,5

a) Các hệ số của phương trình: a = 1 ; b = 5 ; c = – 4

3;b=1;c=0
3
c) Các hệ số của phương trình: a = 0 ; b = ; c = 0
2
b) Các hệ số của phương trình: a =

d) Các hệ số của phương trình: a = 2 ; b = 0 ; c = – 1,5

Thực hành 2:

Cho phương trình 3x + 2y = 4 (1)

a) Trong hai cặp số (1; 2) và (2; – 1), cặp số nào là nghiệm của
phương trình (1)?
b) Tìm y, để cặp số (4; y) là nghiệm của phương trình (1).
c) Tìm thêm hai nghiệm của phương trình (1).
d) Hãy biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình (1) trên mặt
phẳng toạ độ Oxy.

Giải

a)Cặp số (1; 2) không là nghiệm của phương trình đã cho vì 3.1 + 2.2  4.
Cặp số (1; – 2) là nghiệm của phương trình đã cho vì 3.1 + 2.(– 2) = 4.

Thực hành 2:

b) Tìm y, để cặp số (4; y) là nghiệm của phương trình (1).
Thay x = 4 vào (1), ta có: 3.4 + 2y0 = 4  12 + 2y0 = 4  y0 = – 4
c) Tìm thêm hai nghiệm của phương trình (1).
Thay x = 0 vào (1), ta có: 3.0 + 2y = 4  2y = 4  y = 2
Thay x = – 2 vào (1), ta có: 3.(– 2) + 2y = 4  –6 + 2y = 4  y = 5
Vậy hai nghiệm của phương trình (1) khác với các nghiệm trên
là: (0; 2) và (– 2; 5).

d) Hãy biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình (1) trên
mặt phẳng toạ độ Oxy.
d) Phương trình (1) có nghiệm là (0; 2) và (2; –1)
nên đường thẳng 3x + 2y = 4 đi qua hai điểm A(0; 2) và B(2; –1).
Vậy ta biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình (1) trên mặt
phẳng toạ độ Oxy như sau:

2. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

HĐKP 2

Một ô tô đi từ A đến B, cùng lúc đó một xe máy đi từ B

đến A. Gọi x (km/h) là tốc độ của ô tô, y (km/h) là tốc độ của xe máy (x
> 0; y > 0). Biết rằng:
(1) Tốc độ ô tô hơn tốc độ xe máy 15 km/h.
(2) Quãng đường AB dài 210 km và hai xe gặp nhau sau 2 giờ.
a) Từ dữ kiện (1), hãy lập phương trình hai ẩn x, y.
b) Từ dữ kiện (2), hãy lập thêm một phương trình hai ẩn x, y.
c) Bạn An khẳng định rằng tốc độ của ô tô xe máy lần lượt là 60 km/h
và 45 km/h. Có thể dung hai phương trình lập được để kiểm tra
khẳng định của bạn An đúng hay không?

HĐKP 2

Một ô tô đi từ A đến B, cùng lúc đó một xe máy đi từ B

đến A. Gọi x (km/h) là tốc độ của ô tô, y (km/h) là tốc độ của xe
máy (x > 0; y > 0). Biết rằng:
(1) Tốc độ ô tô hơn tốc độ xe máy 15 km/h.
(2) Quãng đường AB dài 210 km và hai xe gặp nhau sau 2 giờ.
a) Từ dữ kiện (1), hãy lập phương trình hai ẩn x, y.
a) Từ dữ kiện (1), ta lập được phương trình là: x – y = 15. (3)

(2) Quãng đường AB dài 210 km và hai xe gặp nhau sau 2 giờ.
b) Từ dữ kiện (2), hãy lập thêm một phương trình hai ẩn x, y.
b) Quãng đường đi được của xe ô tô sau 2 giờ là: 2x (km)
Quãng đường đi được của xe xe máy sau 2 giờ là: 2y (km)
Một ô tô từ A đến B, cùng lúc đó một xe máy đi từ B về A nghĩa là
ô tô và xe máy chuyển động ngược chiều nên 2x + 2y = 210 (km).
Vậy từ dữ kiện (2), ta lập được phương trình là: 2x + 2y = 210
hay x + y = 105. (4)

c) Bạn An khẳng định rằng tốc độ của ô tô xe máy lần lượt là 60
km/h và 45 km/h. Có thể dung hai phương trình lập được để
kiểm tra khẳng định của bạn An đúng hay không?
c) Khi tốc độ của ô tô và xe máy lần lượt là 60 km/h và 45 km/h
thì x = 60 km/h và y = 45 km/h.
Thay x = 60, y = 45 vào phương trình (3), ta có: x – y = 60 – 45 = 15
Thay x = 60, y = 45 vào phương trình (4), ta có: x + y = 60 + 45 = 105

Vậy ta có thể dùng hai phương trình lập được để kiểm tra khẳng
định của bạn An và ta thấy khẳng định của bạn An là đúng.

Trong HĐKP2, ta lập được hai phương trình bậc
nhất hai ẩn là x – y = 15 và 2x + 2y = 210.
Hai phương trình này tạo thành hệ hai phương
trình bậc nhất hai ẩn được viết là:

 x  y 5

2
x

2
y

210


TỔNG QUÁT
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng:

ax + by = c (1)
(I ) 
a'x + b'y = c' (2)

Trong đó a, b, c, a', b', c' là các số đã biết (gọi là hệ số), a và b
không đồng thời bằng 0, a' và b' không đồng thời bằng 0.
Nếu (x0; y0) là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2) thì
(x0; y0) được gọi là một nghiệm của hệ (I).
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình
đó.

Ví dụ 4

Trong các hệ phương trình sau, hệ phương trình

nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?

 x + 3y = 3
0x + 0y =  5
a) 
b) 
2x + y =  4
2x + 7y = 3

2x + 0y = 0
c) 
0x - 3y = 1

Giải

 x + 3y = 3
a) Heä phöông trình 
laø heä hai phöông trình
2x + y =  4
baäc nhaát hai aån vôùi a = 1, b = 3, c = 3
vaø a' = 2, b' = 1, c' =  4

Ví dụ 4

Trong các hệ phương trình sau, hệ phương trình

nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?

 x + 3y = 3
0x + 0y =  5
a) 
b) 
2x + y =  4
2x + 7y = 3

2x + 0y = 0
c) 
0x  3y = 1

Giải

0x + 0y =  5
b) Heä phöông trình 
khoâng laø heä hai phöông trình
2x
+
7y
=
3

baäc nhaát hai aån vì a = b = 0.

Ví dụ 4

Trong các hệ phương trình sau, hệ phương

trình nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?

 x + 3y = 3
0x + 0y =  5
a) 
b) 
2x + y =  4
2x + 7y = 3

2x + 0y = 0
c) 
0x - 3y = 1

Giải

2x + 0y = 0
c) Heä phöông trình 
laø heä hai phöông trình
 0x  3y = 1
baäc nhaát hai aån vôùi a = 2, b = 0, c = 0
vaø a' = 0, b' =  3, c' = 1

Ví dụ 5

2 x  3 y 7
Cho heä phöông trình 
 x  3 y  1

Trong hai cặp số (2; 1) và (–1; 3), cặp số nào là nghiệm của
hệ phương trình đã cho? Giải

Caëp soá (2; 1) laø nghieäm cuûa heä phöông trình
2.2  3.1 7
vì 
2  3.1  1
Caëp soá (  1;3) khoâng laø nghieäm cuûa heä phöông trình
2.(  1)  3.3 7
vì 

1

3.3

10

1


Thực hành 3: Trong các hệ phương trình sau, hệ phương
trình nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?

 3 x  0 y  5
 x  3 y 0
7 x  2 y  5

a) 
b) 
c
)

5
4
x

3
y

4
0
x

0
y

9
0
x

y

3



4

Giải

x + 3y = 0
a) Heä phöông trình 
laø heä hai phöông trình
4x

3
y
=

4

baäc nhaát hai aån vôùi a = 1, b = 3, c = 0
vaø a' = 4, b' =  3, c' =  4

 3x + 0y =  5

b) Heä phöông trình 
laø
heä
hai
phöông
trình
5
0x
+
y
=
3

4

baäc nhaát hai aån vôùi a = 3, b = 0, c =  5
5
vaø a' = 0, b' = , c' = 3
4
7x + 2y =  5
c) Heä phöông trình 
khoâng laø heä hai phöông trình
0x + 0y = 9
baäc nhaát hai aån vì a' = b' = 0.

VẬN DỤNG
Đối với bài toán trong
(trang 10),
em hãy vận dụng 2 cách giải hệ phương
trình để ra kết quả bài toán nhé.

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

Ghi nhớ kiến

Hoàn thành bài

thức trọng tâm

tập trong SGK

trong bài.

trang 14.

CẢM ƠN CÁC EM
ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC!