CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI
BUỔI HỌC NGÀY HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Hình 9.26 mô phỏng một miếng bìa hình tam giác ABC đặt thăng bằng
trên giá nhọn tại điểm G.

Điểm đó được xác định như thế nào và có gì đặc biệt?

CHƯƠNG IX. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ
TRONG MỘT TAM GIÁC
BÀI 34: SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG
TUYẾN, BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG MỘT TAM
GIÁC

NỘI DUNG BÀI HỌC

1

2

Sự đồng quy của ba đường trung
tuyến trong một tam giác
Sự đồng quy của ba đường phân
giác trong tam giác

1. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác
• Đường trung tuyến của tam giác

Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC, gọi là
đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC
(H.9.27)

1. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác
?

Mỗi tam giác có mấy đường trung tuyến?
Trả lời:

Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

Thảo luận
nhóm đôi

• Sự đồng quy của ba đường trung tuyến
HĐ 1:
Hãy lấy một mảnh giấy hình tam giác, gấp giấy đánh dấu trung
điểm của các cạnh. Sau đó, gấp giấy để được các nếp gấp đi qua
đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện (tức là các đường trung tuyến
của tam giác). Mở tờ giấy ra, quan sát và cho biết ba nếp gấp (ba
đường trung tuyến) có cùng đi qua một điểm không (H.9.28).
Kết quả:
Ba nếp gấp đi qua cùng một điểm.

HĐ 2:
Trên mảnh giấy kẻ ô vuông, mỗi chiều 10 ô, hãy đếm dòng, đánh dấu các
đỉnh A,B,C rồi vẽ tam giác ABC (H.9,29).Vẽ hai đường trung tuyến BN, CP,
chúng cắt nhau tại G, tia AG cắt cạnh BC tại M.
AM có phải đường trung tuyến của tam giác ABC không ?
𝐺𝐴 𝐺𝐵 𝐺𝐶
;
;
Hãy xác định các tỉ số
𝑀𝐴 𝑁𝐵 𝑃𝐶

Giải
Ta có: MB = MC và M nằm giữa B và C
M là trung điểm của BC.
AM có là đường trung tuyến của tam giác ABC
(định nghĩa)
𝐺𝑀 6 2
Ta có: 𝑀𝐴 = 9 = 3

𝐺𝐶 2
=
𝑃𝐶 3

KẾT LUẬN
Định lí 1:
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi một điểm
(hay đồng quy tại một điểm). Điểm đó cách mỗi đỉnh một
2
khoảng bằng độ dài đường
trung
tuyến
đi
qua
đỉnh
ấy.
3

!

Chú ý:
Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.

Ví dụ 1 (SGK – tr73)
Cho tam giác ABC với AM là trung tuyến và G là trọng tâm tam giác.
a) Chứng minh GA = 2GM.
b) Biết GM = 2 cm, tính GA.

Giải
a) Vì G là trọng tâm của tâm giác ABC
2
𝐺𝐴 2
⇒
= hay 𝐺𝐴= 𝑀𝐴
3
𝑀𝐴 3
2
1
Ta có: 𝐺𝑀 =𝑀𝐴 – 𝐺𝐴=𝑀𝐴   – 3 𝑀𝐴  = 3 𝑀𝐴
2
1
𝐺𝐴=
𝑀𝐴=2.
𝑀𝐴=2
𝐺𝑀
Vậy
3
3

Ví dụ 1 (SGK – tr73)
Cho tam giác ABC với AM là trung tuyến và G là trọng tâm tam giác.
a) Chứng minh GA = 2GM.
b) Biết GM = 2 cm, tính GA.
Giải
b) Ta có:

𝐺𝐴=2𝐺𝑀

Khi GM = 2 cm thì GA = 4 cm.

LUYỆN TẬP 1

Trong tam giác ABC ở Ví dụ 1, cho trung tuyến
BN và GN = 1 cm. Tính GB và NB.
Giải
Vì G là trọng tâm của ABC (gt)
2
𝐺𝐵 2
⇒
=
hay 𝐺 𝐵= 𝑁𝐵
3
𝑁𝐵 3
2
1
Ta có: 𝐺 𝑁 =𝑁𝐵 – 𝐺 𝐵=𝑁𝐵   – 3 𝑁𝐵  = 3 𝑁𝐵
1
⇔1= 𝑁𝐵 NB = 3 cm
3
GB = 2 cm

TRANH LUẬN

Cách 1: Tìm giao điểm của 2 đường trung tuyến.
Cách 2: Vẽ 1 đường trung tuyến. Lấy điểm G cách đỉnh một khoảng
2
bằng 3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó
Ta được G là trọng tâm tam giác.

VẬN DỤNG 1
Trong tình huống mở đầu, người ta chứng minh được G chính là trọng tâm của tam
giác ABC. Em hãy cắt một mảnh bìa hình tam giác. Xác định

trọng tâm của tam

giác và đặt mảnh bia đó lên một giá nhọn tại trọng tâm vừa xác định. Quan sát xem
mảnh bìa có thăng bằng không.
Kết quả:
- Cắt mảnh bìa hình tam giác.
-

Kẻ 2 đường trung tuyến của tam giác ABC,
chúng cắt nhau tại G.

- Đặt mảnh bìa đó lên một giá nhọn tại trọng tâm G
Ta thấy mảnh bìa thăng bằng.

2. Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác
• Đường phân giác của tam giác

Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D thì đoạn thẳng
AD được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC (H.9.32)

?

Mỗi tam giác có mấy đường phân giác?
Trả lời:
Mỗi tam giác có 3 đường phân giác.
(Vì từ mỗi đỉnh của tam giác, ta kẻ được 1 đường phân giác của tam
giác nên mỗi tam giác có 3 đường phân giác).

Thảo luận
nhóm đôi

• Sự đồng quy của ba đường phân giác
HĐ 3:
Cắt một tam giác bằng giấy. Hãy gấp tam giác vừa cắt để được ba đường
phân giác của nó. Mở tờ giấy ra, hãy quan sát và cho biết ba nếp gấp đó
có cùng đi qua một điểm không (H.9.33).
Kết quả:
Ba nếp gấp đi qua cùng một điểm.

KẾT LUẬN
Định lí 2:
Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một
điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của

tam giác đó.

Ví dụ (SGK – tr75)

Trong tam giác ABC, các đường phân giác
AD, BE, CF đồng quy tại I và IH = IK = IL.

Ví dụ 2 (SGK – tr75)
Chứng minh rằng trong tam giác ABC cân tại A, giao điểm của ba đường phân
giác nằm trên đường trung tuyến xuất phát tử đỉnh A (H.9.35)

GT
KL

ABC, AB = AC
I là giao điểm của ba đường phân giác
AI là đường trung tuyến của ABC.

Giải
Gọi M = AI BC.
Xét ABM và ACM có:
AB = AC (gt)
AM chung
(do AI là đường phân giác của )
ABM = ACM (c.g.c)
BM = CM hay M là trung điểm của BC.
Vậy AI là đường trung tuyến của ABC

LUYỆN TẬP 2
Cho tam giác ABC có hai đường phân giác AM, BN cắt nhau tại điểm I.
Hỏi CI có là đường phân giác của góc C không ?
Giải
Xét tam giác ABC có:
AM là phân giác
BN là phân giác
AM BN = {I}
CI cũng là đường phân giác của tam giác. (t/c
đồng quy của 3 đường phân giác).

VẬN DỤNG 2
Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh của tam giác
là trọng tâm của tam giác đó.

Giải

Vì ΔABC đều AB = AC = BC
(tính chất tam giác đều)
Vì I là điểm cách đều 3 cạnh của tam giác
I là giao điểm của 3 đường phân giác của
tam giác ABC.

VẬN DỤNG 2
Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh của tam giác
là trọng tâm của tam giác đó.

Giải

Áp dụng ví dụ 2, ta được, AI là đường trung tuyến
của ΔABC
Tương tự, ta cũng được BI, CI là đường trung
tuyến của ΔABC
Vậy I là giao điểm của ba đường đường trung
tuyến của ΔABC nên I là trọng tâm của ΔABC.

CHÚ Ý

• Tam giác đều là tam giác cân tại mỗi đỉnh của nó.
• Trong tam giác đều, hai điểm đồng quy của các đường
trung tuyến và của các đường phân giác

LUYỆN TẬP

Bài 9.20 (Tr76)

Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN,CP và trọng tâm G. Hãy tìm số
thích hợp đặt vào dấu ''?'' để được các đẳng thức:
BG = ? BN, CG = ? CP; BG = ? GN, CG = ? GP
Giải
G là trọng tâm của tam giác ABC
2
⇒ 𝐶𝐺= 𝐶𝑃 ⇒ 𝐶𝐺=2 𝐺𝑃
3
2
Tương tự : 𝐵 𝐺= 3 𝐵𝑁 ⇒ 𝐵 𝐺=2 𝐺 𝑁

LUYỆN TẬP

Bài 9.21 (Tr76)

Chứng minh rằng:
a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai
đoạn thẳng bằng nhau.
b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó
cân.
a)

a)

Giải
Ta có: ∆ ABC cân tại A

AB = AC

BD và CE là trung tuyến với E là trung điểm của AB,
D là trung điểm của AC
1
1
𝐴𝐸=
𝐴𝐵
.
𝐴𝐷
=
𝐴𝐶
Có :
2
2

AE = AD

Xét ∆ ABD và ∆ ACE ta có:
AE=AD (cmt)
chung
AB= AC (cmt)

 ∆ ABD  = ∆ ACE (c.g.c)
BD = CE
(2 cạnh tương ứng)

b)

Giải
Gọi O là giao điểm của CE và BD
Ta có: CE và BD là 2 đường trung tuyến
O sẽ là trọng tâm của tam giác ∆ ABC

2
1
⇒ 𝐵𝑂= 𝐵𝐷 ; 𝑂𝐷= 𝐵𝐷
3
3
2
1
𝐶𝑂 = 𝐶𝐸 ; 𝑂𝐸= 𝐶𝐸
3
3

⇒𝐶𝐸=𝐵𝐷

Giải

b)

Xét ∆ EOB và ∆ DOC ta có:
BO = OC
OD = OE
=  ( 2 góc đối đỉnh)

1
1
𝐸𝐵=
𝐴𝐵
;
𝐷𝐶=
𝐴𝐶
Có
2
2

⇒ 𝐴𝐵=𝐴𝐶

 ∆ ABC cân tại A

 ∆ EOB = ∆ DOC

LUYỆN TẬP

Bài 9.22 (Tr76)

Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.
Biết góc GBC lớn hơn góc GCB. Hãy so sánh BM và CN
Giải
Ta có: BM, CN là 2 đường trung tuyến cắt nhau tại G
G là trọng tâm của tam giác ABC
2
2
⇒ 𝐵 𝐺= 𝐵 𝑀 ; 𝐶𝐺= 𝐶𝑁 (t/c trọng tâm) (1)
3
3
Trong tam giác GBC:  > 

LUYỆN TẬP

Bài 9.22 (Tr76)

Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.
Biết góc GBC lớn hơn góc GCB. Hãy so sánh BM và CN
Giải
Trong tam giác GBC:  > 
CG > GB
(ĐL quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác) (2)
Từ (1) và (2) CN > BM

LUYỆN TẬP

Bài 9.23 (Tr76)

Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC.
Tính góc BIC khi biết góc BAC = 120°
Giải
Có I là điểm đồng quy của ba đường phân giác
trong tam giác ABC
AI, BI, CI lần lượt là đường phân giác của
3 góc , , 
= 120°   + = 60°

Giải

1
Ta có :  =    2
1
=  2  

            

2  + 2   = 60°
  +   = 30°
Xét trong tam giác IBC ta có: 
+  +  = 180°
  = 180° - 30°= 150°

50:50

50:50

Key

Câu 1. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác,
N là trung điểm AC. Khi đó BG = BN. Số thích hợp
điền vào chỗ trống là :

A. 

B. 

C. 3

D. 2

Key

50:50

Câu 2. Chọn câu đúng
A. Trong một tam giác, đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm cạnh
đối diện là đường trung tuyến của tam giác
B. Các đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm
C. Trọng tâm của tam giác đó là giao của ba đường trung tuyến
D. Cả A, B, C đều đúng

Key

50:50

Câu 3. Điểm E nằm trên tia phân giác góc A của tam giác
ABC ta có
A. E nằm trên tia phân giác góc B
B. E cách đều hai cạnh AB, AC
C. E nằm trên tia phân giác góc C
D. EB = EC

50:50

Key

Câu 4. Cho tam giác ABC có  = 70° , các đường phân
giác của BE và CD của  và  cắt nhau tại I. Tính ?

A. 125°

B. 100°

C. 105°

D. 140°

50:50

Key
Câu 5. Cho hình vẽ sau:
Biết GS = 1,5 cm. Tính NG

A. 1,5 cm

B. 3 cm

C. 2,25 cm

D. 1 cm

VẬN DỤNG

Bài 9.24 (Tr76)

Gọi BE và CF là hai đường phân giác của tam giác ABC cân tại A.
Chúng minh BE = CF.

Giải
Có: ∆ABC cân tại A (gt)
AB = AC ;   =  (t/c tam giác cân) (1)
BE là đường phân giác của  (gt)

1
=   2 (2)

Giải
CF là đường phân giác của (gt)
1
  =  2  (3)
Từ (1), (2), (3)   = 
Xét ∆ ABE và ∆ ACF, ta có:
chung
AB = AC

  ∆ ABE = ∆ ACF (g.c.g)

= 
BE = CF (2 cạnh tương ứng)

VẬN DỤNG

Bài 9.25 (Tr76)

Trong tam giác ABC, hai đường phân giác của các góc B và C cắt nhau tại D.
Kẻ DP vuông góc với BC, DQ vuông góc với CA, DR vuông góc với AB
a) Hãy giải thích tại sao DP= DR
b) Hãy giải thích tại sao DP= DQ
c) Từ câu a và b suy ra DR= DQ. Tại sao D nằm trên tia phân giác của góc A 

Giải
a) Ta có ∆ BPD và ∆ BRD đều là tam giác lần lượt
vuông tại P và R (vì DR AB tại R; DP BC tại P)
Xét ∆ vuông BRD và ∆ vuông BPD ta có:
Cạnh BD chung
=  ( BD là phân giác của  hay  )
 ∆ BRD = ∆ BPD (ch – gn)
DR = DP (2 cạnh tương ứng)

Giải
b) Ta có ∆ CPD và ∆ CQD đều là tam giác lần lượt
vuông tại P và Q (vì DP BC tại P; DQ BC tại Q)
Xét ∆ vuông CPD và ∆ vuông CQD ta có:
Cạnh chung CD
=  ( CD là phân giác của  hay  )
 ∆ CPD = ∆ CQD (ch – gn)
DR = DP (2 cạnh tương ứng)

Giải
c) Từ a và b ta có DR = DQ
Xét ∆ vuông ARD và ∆ vuông AQD ta có:
AD là cạnh chung
DR = DQ
∆ ARD = ∆ AQD (ch – gn)
  =   (2 góc tương ứng)
D nằm trên đường phân giác của  

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
* Chuẩn bị trước
* Ghi nhớ

* Hoàn thành các

kiến thức trong bài.

bài tập trong SBT.

“Bài 35. Sự đồng quy
của ba đường trung
trực, ba đường cao
của một tam giác”

CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý
LẮNG NGHE BÀI GIẢNG!