CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

VIDEO 1

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

KHỞI ĐỘNG

VIDEO 2

KHỞI ĐỘNG
Trong bóng đá, công nghệ Goal-line được sử dụng để xác định xem
bóng đá hoàn toàn vượt qua vạch vôi hay chưa, từ đó giúp trọng tài
đưa ra
quyết định về một bàn thắng
có được ghi hay không. Yếu tố
hình học nào cho ta biết quả
bóng đã vượt qua vạch vôi hay
chưa?

CHƯƠNG IV. QUAN HỆ SONG
SONG TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 14:
PHÉP CHIẾU SONG SONG

VIDEO 3

NỘI DUNG BÀI HỌC

1

PHÉP CHIẾU SONG SONG

2

TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU
SONG SONG

3

HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT
HÌNH KHÔNG GIAN

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

1. PHÉP CHIẾU SONG SONG

VIDEO 4

HĐ1
Một khung cửa sổ có dạng hình tròn với các chấn song tạo thành hình vuông ABCD,
hai đường chéo của hình vuông cắt nhau tại O. Dưới ánh mặt trời, khung cửa và các
chắn song đổ bóng lên sàn nhà (H.4.56a). Quan sát hình vẽ và trả lời các câu hỏi sau:
a) Các đường thẳng nối mỗi điểm A, B, C với bóng A', B', C' có đôi một song
song hay không?
b) Làm thế nào để xác định
được bóng đổ trên sàn nhà
của mỗi điểm trên khung
cửa sổ?

HĐ1
Giải:

a) Các đường thẳng nối mỗi điểm A, B, C với bóng A', B', C' đôi một
song song với nhau.
b) Để xác định được bóng đổ trên sàn nhà của mỗi điểm trên khung
cửa sổ ta sử dụng phép chiếu song song.

VIDEO 5

KẾT LUẬN
- Cho mặt phẳng và đường thẳng cắt . Với mỗi điểm trong
không gian ta xác định điểm như sau:
+ Nếu thuộc thì là giao điểm của và .
+ Nếu không thuộc thì là giao điểm của và đường thẳng
qua song song với . Điềm được gọi là hình chiếu song song
của điềm trên mặt phẳng theo phương . Phép đặt tương ứng
mỗi điểm với hình chiếu của nó được gọi là phép chiếu song
song lên theo phương .
- Mặt phẳng được gọi là mặt phẳng chiếu, phương được gọi
là phương chiếu.

CÂU HỎI
Trong HĐ1, làm thế nào để xác định được bóng của toàn
bộ song cửa CD trên sàn nhà?
TRẢ LỜI:
Để xác định được bóng của toàn bộ song cửa CD, ta xác định
bóng của từng điểm C và D trên sàn nhà là C' và D'.
Khi đó C'D' chính là bóng của song cửa CD.

KẾT LUẬN
Cho hình H. Tập hợp H' các hình chiếu M' của các điểm M
thuộc H qua phép chiếu song song được gọi là hình chiếu
của H qua phép chiếu song song đó.
Chú ý
Nếu một đường thẳng song song với phương chiếu
thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm.

Ví dụ 1
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'
a) Xác định hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (A'B'C') theo phương
CC'
b) Gọi M là một điểm thuộc đoạn thẳng AB. Xác định hình chiếu của M
trên mặt phẳng (A'B'C') theo phương CC') .

Giải:

b) Trong mặt phẳng (ABB'A') vẽ MM' // AA' với
M' thuộc A'B' thì MM'//CC'.
Vì M thuộc mặt phẳng (A'B'C')nên M' là hình
chiếu của M trên mặt phẳng (A'B'C') theo
phương CC'.

LUYỆN TẬP 1
Cho hình hộp ABCD.EFGH (H.4.58). Xác định hình chiếu của điểm A trên
mặt phẳng (CDHG) theo phương BC và theo phương BG.

Giải:
Vì ABCD.EFGH là hình hộp nên AD // BC.
Vì D thuộc mặt phẳng (CDHG) nên D là
hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng
(CDHG) theo phương BC.
Vì ABCD.EFGH là hình hộp nên các mặt
của nó đều là các hình bình hành.

LUYỆN TẬP 1
Giải:

Do đó, ABCD và CDHG là các hình bình hành.
Từ đó suy ra AB // CD, AB = CD và CD // HG, CD = HG nên AB // HG
và AB = HG
Suy ra ABGH là hình bình hành nên AH // BG.
Vì H thuộc mặt phẳng (CDHG) nên H là hình chiếu của điểm A trên
mặt phẳng (CDHG) theo phương BG.

VẬN DỤNG 1
Trong hình ảnh mở đầu, khi một bàn thắng được ghi thì
hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng
đứng có vị trí như thế nào với vạch vôi?

Giải:
Trong hình ảnh mở đầu, khi một bàn thắng được ghi thì hình chiếu của quả
bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng nằm phía trong vạch vôi về phía
bên trong khung thành.

²=
b
+
²
a
c²

2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP
CHIẾU SONG SONG

y=
mx+b

HĐ2
Quan sát Hình 4.56a và trả lời các câu hỏi sau:
a) Hình chiếu O' của điểm O có nằm trên đoạn A'C' hay không?
b) Hình chiếu của hai song cửa AB và CD như thế nào với nhau?
c) Hình chiếu O' của điểm O có phải là trung điểm của đoạn A'C' hay không?

Giải:
a) Hình chiếu O' của điểm O nằm
trên đoạn A'C'.
b) Hình chiếu của hai song cửa
AB và CD lần lượt là A'B' và C'D',
chúng song song với nhau.
c) Hình chiếu O' của điểm O là
trung điểm của đoạn A'C'.

TÍNH CHẤT
- Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó. Phép chiếu song song biến đường thẳng
thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
- Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song
song hoặc trùng nhau.
- Phép chiếu song song giữ nguyên
tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng
nằm trên một đường thẳng hoặc
nằm

trên

hai

thẳng song song.

đường

p=q

HOẠT ĐỘNG NHÓM
ĐÔI

TOÁN 12-

CÂU HỎI
Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có phải
là hai đường thẳng cắt nhau hay không?

Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có thể cắt
nhau hoặc chéo nhau.

Ví dụ 2
Cho hình bình hành ABCD và gọi A'B'C'D' là hình chiếu của ABCD trên mặt
phẳng (P) theo phương d (H.4.60). Chứng minh rằng tứ giác A'B'C'D là hình
bình hành.

Giải:
Vì ABCD là hình bình hành nên AB song song
với CD, do đó hình chiếu của AB là A'B' song
song với hình chiếu của CD là C'D'. Tương tự
A'D' song song với B'C'.
Tứ giác A'B'C'D' có A'B' //C'D' và A'D' // B'C'
nên nó là hình bình hành.

LUYỆN TẬP 2
Chứng minh rằng hình chiếu song song của một hình thang là một hình
thang (H.4.61).

Giải:
Hình thang ABCD có AB // CD, A'B'C'D' là
hình chiếu song song của ABCD trên mặt
phẳng (P) theo phương d (Hình 4.61).
Vì ABCD là hình thang có AB // CD, do đó
hình chiếu của AB là A'B' song song với
hình chiếu của CD là C'D'.
Tứ giác A'B'C'D' có A'B' // C'D' nên nó là
hình thang.

Ví dụ 3
Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Một phép chiếu song song biến
tam giác ABC thành tam giác A'B'C', biến M thành M'. Chứng minh rằng A'M' là
đường trung tuyến của tam giác A'B'C' (H.4.62).

Giải:
Vì M là trung điểm của BC nên B, M, C thẳng hàng
theo thứ tự đó và . Do vậy B', M', C' thẳng hàng
theo thứ tự đó và , tức là M' là trung điểm của B'C'.
Vậy A'M' là đường trung tuyến của tam giác A'B'C'.

p=q

THẢO LUẬN NHÓM

TOÁN 12-

Б

LUYỆN TẬP 3

Б

Một phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C', biến
M thành M'. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến đường trung bình của
tam giác ABC thành đường trung bình của tam giác A'B'C'.

Π

Б

Giải:

LUYỆN TẬP 3

Б

Tam giác A'B'C' là hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (P) theo
phương d.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.
Khi đó MN, NP, MP là các đường trung bình của tam giác ABC.
Gọi M', N', P' lần lượt là hình chiếu của M, N, P trên mặt phẳng (P) theo
phương d.
Vì M là trung điểm của AB nên A, M, B thẳng hàng theo thứ tự đó và .
Do vậy thẳng hàng theo thứ tự đó và , tức là M' là trung điểm của .
Chứng minh tương tự ta có N' là trung điểm của B'C' và P' là trung điểm của
A'C'.
Vậy M'N', N'P', M'P' là các đường trung bình của tam giác A'B'C'.

3. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT
HÌNH TRONG KHÔNG GIAN

HĐ3
Trong ba hình dưới đây, hình nào thể hiên hình lập phương chính xác hơn?

Trong ba hình đã cho, Hình 4.63a thể hiện hình lập phương
chính xác nhất.

M
Ệ
I
N
KHÁI

Hình biểu diễn của một hình trong không gian
là hình chiếu song song của hình đó trên một
mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó
hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

CÂU HỎI
Quan sát hình ảnh khung cửa số trong Hình 4.56a và cho biết hình
biểu diễn của hình tam giác, hình vuông, hình tròn là hình gì?
TRẢ LỜI:
- Hình biểu diễn của hình tam giác là hình tam
giác;
- Hình biểu diễn của hình vuông là hình bình
hành;
- Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip.
- Hình biểu diễn của một số hình phẳng (nằm
trong mặt phẳng không song song với phương
chiếu)

KẾT LUẬN
•

Hình biểu diễn của Tam giác (tam giác đều, tam giác cân,
tam giác vuông,…) là một tam giác.

•

Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi là
một hình bình hành.

•

Hình biểu diễn của hình thang ABCD với AB//CD là một
hình thang A'B'C'D' với A'B'//C'D' thỏa mãn

•

Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip.

Ví dụ 4
Vẽ hình biểu diễn của hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có mặt đáy
ABCD là hình thang, AB song song với CD và AB = 2CD.

Giải:

Hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có các mặt bên là
hình bình hành nên hình biểu diễn của nó
cũng có các mặt bên là hình bình hành. Hình
thang ABCD có hai đáy AB, CD và AB = 2CD
nên hình biểu diễn của ABCD là một hình
thang có độ dài một đáy gấp hai lần độ dài của
đáy còn lại. Từ đó, ta vẽ được hình biểu diễn
của
hình
lăng trụ ABCD.A'B'C'D' như Hình 4.64.

LUYỆN TẬP 4
Vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

Giải:
Hình chóp S.ABCD có các mặt bên là các
hình tam giác nên hình biểu diễn của nó
cũng có các mặt bên là hình tam giác, đáy
ABCD là hình bình hành nên hình biểu
diễn của đáy ABCD cũng là một hình bình
hành. Từ đó ta vẽ được hình biểu diễn của
hình chóp S.ABCD như sau:

VẬN DỤNG 2
Phép chiếu song song có thể được sử dụng để vẽ dạng nổi
(hay dạng 3D) của chữ cái như trong hình dưới đây. Theo
phương pháp đó hãy vẽ dạng nổi của một số chữ cái quen
thuộc như L, N, T,…

VẬN DỤNG 2
Giải:

Bài 4.30 (SGK – tr.100)
Nếu tam giác A'B'C' là hình chiếu của tam giác ABC qua một phép
chiếu song song thì tam giác ABC có phải là hình chiếu của tam
giác A'B'C' qua một phép chiếu song song hay không? Giải thích vì sao.

Giải:
Giả sử tam giác A'B'C' là hình chiếu của
tam giác ABC trên mặt phẳng (P) theo
phương chiếu d. Khi đó AA', BB', CC' đôi
một song song với nhau và đều song song
với phương chiếu d. Do vậy, tam giác ABC
là hình chiếu của tam giác A'B'C' trên mặt
phẳng (ABC) theo phương d.

Bài 4.31 (SGK – tr.100)
Phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'.
Chứng minh rằng phép chiếu đó biến trọng tâm của tam
giác ABC thành trọng tâm của tam giác A'B'C'.

Giải:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và
G' là hình chiếu song song của nó.
Gọi M là trung điểm của BC thì A, G, M
thẳng hàng theo thứ tự đó.
Gọi M' là hình chiếu của M.

Bài 4.31 (SGK – tr.100)
Giải:
Khi đó, theo tính chất của phép chiếu song
song ta có:
thẳng hàng theo thứ tự đó và (1)
thẳng hàng theo thứ tự đó và (2)
Từ (1)(2) suy ra là trọng tâm của .

TỔNG KẾT VÀ TRAO THƯỞNG

LUYỆN TẬP

Bài 4.29 (SGK – tr.100)

Những mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là đúng?
a) Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
b) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành
hai đường thẳng cắt nhau.
c) Phép chiếu song song biến tam giác đều thành tam giác cân.
d) Phép chiếu song song biến hình vuông thành hình bình hành.