?1. CÁC ĐỊNH NGHĨA

VECTƠ
1. VECTƠ LÀ GÌ ?
A
B
Máy bay ; hỏa tiển ; ô tô đã di chuyển theo chiều mũi tên
Đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B
ĐỊNH NGHĨA :
Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng , đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu điểm nào là điểm cuối.
Kí hiệu :
- : chỉ vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B.
- : chỉ vectơ xác định nào đó
Vectơ - không :
vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau
VÍ DỤ :Cho 3 điểm A, B, C phân biệt.
Có bao nhiêu
vectơ có điểm đầu, điểm cuối lấy trong số các điểm đã cho ?
A
B
C
Các vectơ nào có giá cùng phương ?

2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG , CÙNG HƯỚNG
Với mỗi vectơ (khác vectơ - không) :
Đường thẳng AB được gọi là giá của vectơ .
Còn đối với vectơ - không :
Mọi đường thẳng qua A đều là giá
A
D
B
C
E
M
F
N
P
Q
A
?
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá cuả chúng song song hoặc trùng nhau
Nếu hai vectơ cùng phương thì hoặc chúng cùng hướng hoặc chúng ngược hướng.

Ta qui ước rằng vectơ - không cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ
Nhận xét :
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng
? cùng phương
CHÚ Ý
3. HAI VECTƠ BẰNG NHAU
Độ dài vectơ : khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối . Độ dài vectơ được ký hiệu là
Vậy = AB = BA ; = PQ = QP

Theo định nghĩa độ dài ở trên thì vectơ - không có độ dài bằng bao nhiêu ?
Cho hình thoi ABCD
A
B
C
D
Có nhận xét gì về độ dài các vectơ :
Có nhận xét gì về các vectơ :
?
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Hai vectơ và bằng nhau ta viết


Các vectơ - không đều bằng nhau, được ký hiệu là .
Khi cho trước một và một điểm O ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho
ĐỊNH NGHĨA :

CHÚ Ý
C
O
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O
Các vectơ bằng là:






CHÚC MỪNG
11
SAI RỒI
8
Củng cố:
Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai :
Vectơ là một đoạn thẳng
Vectơ - không ngược hướng với mọi vectơ bất kỳ
Hai vectơ bằng nhau thì cùng phương
Có vô số vectơ bằng nhau
Cho trước vectơ và điểm gốc O có vô số điểm A thỏa mãn
Kiến thức cần nắm:
Nhận biết được định nghĩa vectơ ; vectơ cùng phương , cùng hướng; đồ dài cuả vectơ ; vectơ - không; vectơ bằng nhau.
Biết xác định : điểm gốc ( hay điểm đầu ), điểm ngọn (hay điểm cuối); giá, phương , hướng; độ dài ( hay môđun) cuả vectơ ; vectơ bằng nhau; vectơ - không.
Biết dựng điểm M sao cho với điểm A và cho trước.
Bài tập về nhà : 1, 2, 3, 4, 5 trang 8 SGK.

Tổng của hai vectơ

A
A`
M
M`
A
B
C
(I)
(II)
(III)
A
Định nghĩa tổng cuả hai vectơ :
Cho hai vectơ và . Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm B và C sao cho :

Khi đó vectơ được gọi là tổng cuả hai vectơ và . Ký hiệu :

Phép lấy tổng cuả hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ

?2. TỔNG CUẢ HAI VECTƠ

B
C
1. Hãy vẽ tam giác ABC, rồi xác định các vectơ tổng sau:
A
B
C
2. Cho hình bình hành ABCD với tâm O.
Hãy viết vectơ dưới dạng tổng cuả hai vectơ mà các điểm đầu mút cuả chúng được lấy trong 5 điểm A, B, C, D, O.

B
A
C
A
D
O
3. Các tính chất cuả phép cộng vectơ

Tính chất giao hoán :
Tính chất kết hợp :
Tính chất cuả vectơ - không :
A
B
C
E
D
2. Các quy tắc cần nhớ
QUY TẮC HÌNH BÌNH HÀNH :
Nếu ABCD là hình bình hành thì:

QUY TẮC BA ĐIỂM :
Với ba điểm bất kỳ M, N, P:
A
B
C
D
M
N
P
?
?
a) Hãy giải thích tại sao có quy tắc hình bình hành ?
b) Hãy giải thích tại sao ta có:
c) CMR: với 4 điểm bất kỳ A, B, C, D:

d) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Tính độ dài cuả vectơ tổng
Củng cố
1) Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai :





Khi nào ?

3) = ?

Kiến thức cần nắm
Biết cách xác định tổng của hai vectơ , qui tắc ba điểm , qui tắc hình bình hành và các tính chất cuả phép cộng vectơ : giao hoán , kết hợp, tính chất cuả vectơ - không .
Biết được

Bài tập về nhà : 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trang 12 SGK cơ bản ; bài 17, 18, 19, 20 trang 17, 18 SGK nâng cao
Hiệu của hai VECTƠ

?3. HIỆU CUẢ HAI VECTƠ
Vectơ đối :
Nếu tổng cuả hai vectơ và là vectơ - không, thì ta nói là vectơ đối cuả , hoặc là vectơ đối cuả





Vectơ đối cuả vectơ được kí hiệu là
Vectơ đối cuả vectơ là vectơ ngược hướng với vectơ và có cùng độ dài với vectơ
NHẬN XÉT :
Vectơ đối cuả vectơ là vectơ

?? Cho đoạn thẳng AB. Vectơ đối cuả
là vectơ gì ?


?? Giả sử ABCD là hình bình hành , tâm O:
a)
b) Hãy chỉ ra các cặp vectơ đối nhau có điểm đầu là O điểm cuối là đỉnh cuả hình bình hành .

2. Hiệu cuả hai vectơ :
ĐỊNH NGHĨA :
Hiệu cuả hai vectơ và , ký hiệu là tổng cuả vectơ và vectơ đối cuả vectơ , tức là :
Phép lấy hiệu cuả hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ
?? Cho vectơ và vectơ . Hãy dựng
Hiệu
phép trừ vectơ
O
A
B
QUY TẮC VỀ HIỆU VECTƠ
Nếu là một vectơ đã cho , thì với điểm O bất kỳ, ta luôn luôn có:


?? M là trung điểm đoạn thẳng AB . Cm :

?? Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C, D. Hãy chứng minh đẳng thức sau bằng nhiều cách
Kiến thưc� cần nắm
Biết cách xác định hiệu của hai vectơ
Vận dụng được qui tắc trừ :

vào việc chứng minh các đẳng thức vectơ

Bài tập về nhà : bài 17, 18, 19, 20 trang 17, 18 SGK nâng cao.

Tích của một VECTƠ
với một số
Có nhận xét gì về các cặp vectơ :

?4. TÍCH CUẢ MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Định nghĩa tích cuả một vectơ với một số




và
và
ĐỊNH NGHĨA :
Tích cuả vectơ với số thực k là một vectơ , kí hiệu là được xác định như sau :
1) Nếu k 0 thì vectơ cùng hướng với vectơ
Nếu k < 0 thì vectơ ngược hướng với vectơ
2) Độ dài vectơ bằng
Phép lấy tích cuả vectơ với một số gọi là phép nhân một số với một số ( hoặc phép nhân số với một vectơ )

NHẬN XÉT : 1 = ; (-1) =
Ví dụ : Cho tam giác ABC với M, N lần lượt là trung điểm cuả AB và AC.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
?
?
?
?
?
?
?
?
C
B
2. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số:
Với mọi vectơ , và mọi số thực k, m ta có :
a) k(m ) = (km)
b) (k + m) = k + m
c) k( � ) = k � k
d) k = ? k = 0 hoặc =

Vẽ tam giác ABC với giả thiết
và
a) Xác định điểm A` sao cho và điểm C` sao cho .
b) Có nhận xét gì về hai vectơ và ?
c) Hãy kết thúc việc chứng minh tính chất 3 bằng qui tắc ba điểm


Nhận xét gì
về và
A
B
C
A`
C`
?
?

Vẽ tam giác ABC với giả thiết
và
a) Xác định điểm A` sao cho và điểm C` sao cho .
b) Có nhận xét gì về hai vectơ và ?
c) Hãy kết thúc việc chứng minh tính chất 3 bằng qui tắc ba điểm
CHÚ Ý :
1)
2) . Ví dụ
Bài toán 1 :
Chứng minh : Điểm I là trung điểm AB khi và chỉ khi với điểm M bất kỳ , ta có :

Giải :

Vậy



?
M
A
B
I
Bài toán 2 :
Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Chứng minh với điểm M bất kỳ , ta có :


A
B
I
C
G
?
?
1)
2)
3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Vectơ cùng phương ( ) khi và chỉ khi có số k sao cho

Có nhận xét gì về phương của : và phương của :
?? Trong phát biểu này tại sao phải có điều kiện
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng
A, B, C thẳng hàng ?

Bài toán 3 : Cho tam giác ABC có trực tâm H , trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O , I là trung điểm BC.
1) Chứng minh :
3) Chứng minh 3 điểm O, G, H thẳng hàng
2) Chứng minh :
A
B
C
O
H
I
Gọi A` là điểm đối xứng của A qua O. Tứ giác HCA`B là hình gì? Cm
A`
G là trọng tâm tam giác , thì :
G
Vậy :
Kết luận : ?
Đường thẳng qua ba điểm H, G, O được gọi là đường thẳng Ơ le
1) Chứng minh :
2) CM :
3) Cm : H, G, O thẳng hàng
Nếu cho hai vectơ không cùng phương và thì phải chăng với mọi vectơ luôn luôn tồn tại một cặp số thực m, n để
4. Biểu thi một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Định lý :
Cho hai vectơ không cùng phương và . Khi đó mọi vectơ đều có thể biểu thị được một cách duy nhất qua hai vectơ và , nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho
?
Nếu cùng phương thì :

Hoặc cùng phương thì
O
A
B
X
A`
B`
Nếu không cùng phương và
Cm : m, n duy nhất
Kiến thức cần nắm
Xác định được vectơ = k khi cho trước số k và vectơ .
Diễn đạt được bằng vectơ : Ba điểm thẳng hàng , trung điểm của một đoạn thẳng, trọng tâm của một tam giác , hai điểm trùng nhau và sử dụng các điều đó để giải một số các bài toán hình học
Cho hai vectơ không cùng phương và , là một vectơ tùy ý . Biết tìm hai số h và k sao cho :
Trục tọa độ và hệ trục tọa độ
?5. TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1. TRỤC TỌA ĐỘ
Trục tọa độ ( còn gọi là trục , hay trục số ) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O và một vectơ có độ dài bằng 1. Kí hiệu là (O; )


O : gốc tọa độ ; : vectơ đơn vị
Trên trục lấy điểm I sao cho , tia OI ki hiệu là Ox, tia đối của Ox là Ox`.
Trục (O; ) còn được gọi là trục x`Ox hay Ox

I
O
Trên trục Ox cho 2 điểm A, B lần lượt có tọa độ a, b . Tìm tọa độ các vectơ và . Tìm tọa độ trung điểm đoạn AB?
Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục
- nằm trên trục (O; ); để
a : tọa độ của vectơ đối với trục (O; )
- M thuộc trục (O; ); để
m : tọa độ điểm M đối với trục (O; )
O
A
B
Độ dài đại số của vectơ trên trục
A, B nằm trên trục Ox thì tọa độ vectơ được kí hiệu là và được gọi là độ dài đại số của vectơ trên trục Ox.
Như vậy :

Kết quả :
O
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
0
-1
?
2. Hệ trục tọa độ :
Hệ trục tọa độ vuông góc : Gồm hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau.
Vectơ đơn vị trên Ox là .
Vectơ đơn vị trên Oy là .
Điểm O : gốc tọa độ .
Ox : trục hoành
Oy : trục tung
Hệ trục tọa độ vuông góc được gọi đơn giản là hệ trục tọa độ , kí hiệu Oxy hay (O; ; ).
CHÚ Ý: Trong mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ , mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ .
x`
O
x
y
y`
1
1
O
x
y
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
3. Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ
ĐỊNH NGHĨA
Đối với hệ trục tọa độ (O; ; ) , nếu thì cặp số (x; y) được gọi là tọa độ của vectơ .
Ký hiệu . Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ
O
Hãy cho biết tọa độ của các vectơ
, , ,
x
y
1
1
Cho biết tọa độ của hai vectơ và . Từ đó có kết luận gì về hai vectơ bằng nhau và tọa độ của chúng ?
NHẬN XÉT
Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng tọa độ, nghĩa là :
Hãy viết tọa độ của các vectơ sau:
4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho và . Khi đó
1)
2) với
3) Vectơ cùng phương với vectơ khi và chỉ khi có số k sao cho x` = kx , y` = ky


Cho hai vectơ (-3;2) và

b) Tìm tọa độ các vectơ
Hãy biểu thị các vectơ
qua hai vectơ
Mỗi cặp vectơ sau có cùng phương không ?
và
5. Tọa độ của điểm
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ của vectơ được gọi là tọa độ của điểm M .

Cặp số (x;y) là tọa độ điểm M ?
Khi đó ta viết M(x;y) hoặc M = (x;y)
Số x : hoành độ điểm M
Số y : tung độ điểm M
Nhận xét : Gọi H, K lần lượt
là hình chiếu của M (x;y)
lên Ox, Oy thì :


O
x
M(x;y)
H
K
y
x= ? , y = ?
Với hai điểm và thì
Tổng quát:
x
O
y
A
B
C
D
a) Tọa độ của mỗi điểm O, A, B, C, D bằng bao nhiêu?
Hãy tìm điểm E có tọa độ (-3; 4) và điểm F có tọa độ (-2; - 4) ?
Hãy tìm tọa độ của vectơ
E
F
-3
4
-2
-4
?
?
Với hai điểm và thì
Tổng quát:
CHÚ Ý�
Để thuận tiện , ta thường dùng ký hiệu để chỉ tọa độ điểm M
Hãy giải thích vì sao có kết quả trên ?
6. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ của trọng tâm tam giác
Nếu P là trung điểm của đoạn thẳng MN thì
Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm và
Gọi P là trung điểm MN
Hãy biểu thị theo và
b) Từ đó hãy tìm tọa độ điểm P theo tọa độ của M và N
Tìm tọa độ điểm M` đối xứng điểm M(7;-3) qua điểm A(1;1) ?
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với trọng tâm G
a) Hãy viết hệ thức giữa các vectơ và


b) Từ đó suy ra tọa độ của G theo tọa độ A, B, C.

Nếu G là trọng tâm tam giác ABC
Ví dụ : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm A(2;0) ; B(0;4); C(1;3).
a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác .
b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
Kiến thức cần nắm:
Xác định được tọa độ của điểm , của vectơ trên trục
Trên trục tính được độ dài đại số của một vectơ khi biết tọa độ của hai điểm đầu mút
Trong mặt phẳng tọa độ: xác định được tọa độ một điểm ;tính được tọa độ của vectơ khi biết tọa độ hai điểm đầu mút; sử dụng được các biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ ; xác định được tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác
Bài học kết thúc
Cám ơn các thầy cô và các em
Xin chào tạm biệt; hẹn gặp lại
Người thực hiện :
Gv: LÊ THỊ NGỌC DUNG
Trường THPT LÊ QUÍ ĐÔN
TP HCM