Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
Gồm 3 bước:
Bước 1:tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
Phương trình sai phân thuần nhất có dạng:





Đặt

Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
Thay vào phương trình (1) ta có:






Đây là phương trình đặc trưng của hệ thống







Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
Phương trình (2) có nghiệm đơn:
Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân thuần nhất có dạng:


Phương trình (2)có nghiệm bội:

Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
TH2: x(n) khác dạng thì đặt có dạng trùng x(n) thì đặt:


rồi thay vào phương trình ban đầu và áp dụng phương pháp đồng nhất số hạng để đi tìm các hệ số của

Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
Bước 2:Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân có thành phần thứ 2:
Phương trình tổng quát:



TH1: Dạng x(n) trùng y hệt dạng của
Thì đặt
Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
Bước 3: tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân:


Dựa vào điều kiện ban đầu để tìm các hệ số A của nghiệm thuần nhất sau đó thay các giá trị của A vào y(n).Ta tìm được nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng.
VÍ DỤ
Ví dụ 1: (1)
Với điều kiện:y(-2)=0,x(n)=3n
Giải
Tìm
Ta chọn dạng là
Vì là phương trình thuần nhất nên ta có:
Y(n)-4y(n-1)=0
VÍ DỤ
Tìm
ta chọn dạng của giống dạng của x(n)
=B*n+c
Thay vào (1):
B*n+c-4*(B(n-1)+c)=3*n
B*n+c-4*B*n+4*B-4*c=3*n
-3*B*n+4*B-3*c=3*n
Đồng nhất hệ số:B=-1;c=-4/3
VÍ DỤ
Tìm hệ số A
Với điều kiện ban đầu y(-2)=0


VÍ DỤ
Ví dụ 2:Y(n)-3*y(n-1)+2*y(n-2)=x(n)+x(n-1)
Với điều kiện ban đầu là y(-1)=y(0)=0 và x(n)=4*n
Giải:
Tìm là
Vì là phương trình thuần nhất nên ta có:

VÍ DỤ
Tìm
Ta chọn giống dạng x(n)
VÍ DỤ
Tìm y(n)


Với điều kiện y(-1)=y(0)=0













với n>=0
n còn lại