BÀI 2: DÃY SỐ
HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM

Cho hàm số u(n) = 2n +1 xác định?n ?N*
Hãy tính u(1); u(2); u(3); u(4); u(5),...
Thay lần lượt thứ tự n = 1, 2, 3, 4, 5,.k..
vào u(n) = 2n +1 ta được:
n = 1: u(1) = 3
n = 2: u(2) = 5
n = 3: u(3) = 7
n = 4: u(4) = 9
n = 5: u(5) = 11
.......
n = k: u(k)= 2k + 1
Nhận xét:
Khi thay n theo thứ tự 1,2,3,4,5,.k,. thì ta được các giá trị tương ứng của u(n) lập thành một dãy số:
3, 5, 7, 9,11,., 2k+1,...
I/ DÃY SỐ
1/ Định nghĩa:
* Hàm số u(n) xác định ?n ?N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).

* Kí hiệu dãy số là (un)

Thay thứ tự n = 1, 2, 3,...ta được các số hạng tương ứng cuả dãy số là u1, u2, u3,..
Dạng khai triển của dãy số (un) là:
u1, u2, ........,un,..........

Trong đó:
u1�: số hạng thứ nhất
u2�: số hạng thứ hai
...................
un : số hạng thứ n hay được gọi là số hạng tổng quát
của dãy số (un)

* Nếu dãy số xác định trên tập M = {1,2,3,.....m} thì ta gọi dãy số là dãy số hữu hạn.
2/ VÍ DỤ:

a) Cho dãy số u(n) = n2 . Hãy viết dạng khai triển của nó:
1, 4, 9, 16, 25..........

b) Dãy số 1, 3, 5, 7,.....Hãy viết công thức cho số hạng tổng quát un :
un=2n - 1
BÀI 2 : DÃY SỐ
II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ
Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số mà em đã học ? Cho ví dụ minh họa ?
1./ Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
Ví dụ :
Cho dãy số với hãy tính :
; ;
Dạng khai triển của dãy số là : 3,10,21,36,55,…, ,…
Bài tập áp dụng
Hãy viết năm số hạng đầu của dãy số có số hạng tổng quát cho
bởi công thức :
Dãy số hoàn toàn được xác định khi nào ?
Dãy số hoàn toàn được xác định khi biết công thức số hạng tổng quát của nó
BÀI 2 : DÃY SỐ
2./ Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
Ví dụ : số là số thập phân vô hạn không tuần hoàn
3./ Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Ví dụ : Dãy số phi-bô-na-xi là dãy số được xác định như sau :
với
Hãy viết mười số hạng đầu của dãy số trên ?
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55
Cách cho dãy số bằng phương pháp truy hồi là :
a./ Cho số hạng đầu ( hay vài số hạng đầu ).
b./ Cho hệ thức truy hồi , tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng ( hay vài số hạng ) đứng trước nó .
Dãy các giá trị gần đúng thiếu của với sai số tuyệt đối
PHIẾU HỌC TẬP
BÀI 2 : DÃY SỐ
III. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ
Biểu diễn bằng đồ thị
Biểu diễn bằng trục số
Biểu diễn hình học của dãy số với
0
1
2
3
4
n
0
|
|
|
|
|
|
1
2
?
?
?
?
Củng Cố Bài Học
Về nhà các em cần nắm vững các kiến thức sau :
+ Khái niệm dãy số .
+ Cách cho dãy số : Bởi công thức tổng quát , bởi hệ thức truy hồi , bằng mô tả .
+ Dãy số hữu hạn , dãy số vô hạn .
Bài tập củng cố
Bài 1 : Viết năm số hạng đầu của dãy số sau :
Bài 2 : Tìm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau :
a./ 1,4,9,16,……
b./ 4,10,18,28,……
IV/ DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
1/ Dãy số tăng- dãy số giảm:
* Dãy số (un) gọi là tăng nếu ? n?N* : un < un+1
( u1 < u2 < ......... < un < un+1<......)
Ví dụ: Dãy (un) với un = n+ 1 là dãy tăng
2, 3, 4, 5........
* Dãy số (un) gọi là giảm nếu ? n?N* : un > un+1
(u1 > u2 > ......... > un > un+1>......)
Ví dụ: Dãy (un) với un = 2n- n2 là dãy giảm
1, 0, -3, -8,........

* Phương pháp xét tính tăng - giảm của một dãy số:


a) Dãy số (un) tăng ? ?n?N* , un+1 - un > 0

b) Nếu các số hạng của dãy số (un) đều dương thì�:
Dãy số (un) tăng ? ?n? N* ,

Ta có điều ngược lại cho dãy số giảm.
VÍ DỤ�
Xét tính đơn điệu của các dãy số sau�:

a) Dãy số (un) với un = n - 2n
Ta có un+1= n+1 - 2n+1
Xét: un+1 - un = (n+1 - 2n+1) - (n - 2n)
= 1 - 2n+1 + 2n
= 1- 2.2n + 2n
= 1 - 2n.(2-1)
= 1 - 2n < 0
Vậy (un) là dãy số giảm

b) Dãy số (un) với un = n.an (a? 1)


Ta thấy un > 0 ?? N* nên ta xét tỉ số





( Vì và a ? 1)
Vậy dãy (un) tăng
* Chú ý�: Không phải mọi dãy số đều tăng hay giảm

Ví dụ: Dãy số (un) với un = (-3)n�là dãy số không tăng không giảm:
-3, 9, - 27, 81....

2/ DÃY SỐ BỊ CHẶN�

1/ Định nghĩa�:
- Dãy số (un) gọi là bị chặn trên nếu ? M sao cho: ? n ?N* , un ? M

Ví dụ: Dãy số (un) với un

Bị chặn trên bởi chặn trên bởi số 2
vì

- Dãy số (un) gọi là bị chặn dưới nếu ? m sao cho:
? n ?N* , un ? m
Ví dụ:
Dãy số (un) với un=1 + n2 bị chặn dưới bởi số 1


- Dãy số (un) gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức ? m, M sao cho:
? n ?N* , m ? un ? M

Ví dụ: Dãy số (un) với un

bị chặn dưới bởi 1 và chặn trên bởi 2


Ví dụ�: Hãy chứng minh dãy số (un)
với un = bị chặn.

Giải:
* Ta có > 0 ?n ? N*

- Mặt khác: 2n -1 < 2n

Suy ra 0 < tức 0 < < 2

Vậy dãy số (un) bị chặn
C?NG C?
Cho dãy số (un) với un = , ?n?N*

a) Viết 5 số hạng đầu.

b) Số là số hạng thứ mấy?

c) Chứng minh dãy số giảm và bị chặn.
Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau:
a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ.
b) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1.
a)
b) 1, 4, 7, 10, 13
Viết mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi
u1=u2=1, u3=2, u4=3, u5=5, u6=8, u7=13, u8=21, u9=34, u10=55.
Bài tập 1
Bài tập 2
Đáp án
Đáp án
Cho dãy số (un) được xác định bởi
Hãy xác định bốn số hạng đầu của dãy số.
u1=u2=2, u3=8, u4=14
Nêu một phương pháp xét tính tăng, giảm của một dãy số. Áp dụng: Xét tính tăng giảm của các dãy số (un) biết:
a)
b)
a) Dãy số giảm
b) Dãy số tăng
Bài tập 3
Đáp án
Bài tập 4
Đáp án
Câu 1.
Cho dãy số (un) xác định bởi: un=(2n+3)(n-1). Số hạng thứ năm của dãy số có giá trị là:
A. 12
B. 10
D. 42
C. -12
Câu 2.
Cho dãy số (un) xác định bởi:
Số hạng thứ tư của dãy số có giá trị là:
A. -2
B. 11
D. 22
C. 8
Câu 3.
Dãy số (un) xác định bởi: un=2n2+1 là dãy số
A. Taêng.
Câu 4.
Cho dãy số (un) xác định bởi:
Dãy số đã cho là dãy số :
A. Bòchaën döôùi.
B. Bò chaën.
B. Giaûm.
C. Khoâng taêng, khoâng giaûm.
C. Bò chaën treân.