BÀI 2 : DÃY SỐ
ĐỊNH NGHĨA
1./ Định nghĩa dãy số :
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn ( gọi tắt là : dãy số ) .

Dạng khai triển :
là số hạng đầu, là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số
a./ Dãy các số tự nhiên chẵn 2,4,8,16,…
Có số hạng đầu :
b./ Dãy số 1,5,9,13,17,…
Có số hạng đầu :
, Số hạng tổng quát :
, Số hạng tổng quát :
Ví dụ 1:
Ví dụ 2: Hàm số u(n) = , xác định trên tập ℕ*, là một dãy số. Dãy số này có vô số số hạng:
= , = , = , .....

 
2. Định nghĩa dãy số hữu hạn
II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

Mọi hàm số được coi là xác định nếu ta biết cách tìm mọi số hạng của dãy số đó.
Một số cách thông thường là:
C1: dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
C2: dãy số cho bằng pp truy hồi
C3:Dãy số cho bằng pp mô tả
1./ Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
Cho dãy số (un) với un = (1)

- Từ CT (1) hãy xác định số hạng thứ 3 và thứ 4 của dãy số ?
- Viết dãy số đã cho dưới dạng khai triển ?
 
2:Dãy số cho bằng pp truy hồi

VD3: Dãy số (un) xác đinh bởi:


n≥2 (2)
-áp dụng (2) ta tìm được :
=2. +1=2.1+1=3 ;
=2. +1=2.3+1=7 ;
……… 
VD4:Dãy số v(n) xác định bởi: v(1) = -1, v(2) = 2 và với mọi n>2 ta có:
= +2. .
Ta có:
= +2. = 0
= +2. = 4
Cách cho dãy số bằng phương pháp truy hồi là :
a./ Cho số hạng đầu ( hay vài số hạng đầu ).
b./ Cho hệ thức truy hồi , tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng ( hay vài số hạng ) đứng trước nó .
3./ Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
III/ BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ
Biểu diễn hình học của dãy số như sau:

u5 u4 u3 u2 u1
un
0 1/5 ¼ 1/3 ½ 1

IV/ DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
1/ Dãy số tăng- dãy số giảm:
* Dãy số (un) gọi là tăng nếu  nN* : un < un+1
( u1 < u2 < ......... < un < un+1<......)
Ví dụ: Dãy (un) với un = n+ 1 là dãy tăng
2, 3, 4, 5........
* Dãy số (un) gọi là giảm nếu  nN* : un > un+1
(u1 > u2 > ......... > un > un+1>......)
Ví dụ: Dãy (un) với un = 2n- n2 là dãy giảm
1, 0, -3, -8,........

* Phương pháp xét tính tăng - giảm của một dãy số:


a) Dãy số (un) tăng  nN* , un+1 – un > 0

b) Nếu các số hạng của dãy số (un) đều dương thì :
Dãy số (un) tăng  n N* ,

Ta có điều ngược lại cho dãy số giảm.
VÍ DỤ 
Xét tính đơn điệu của các dãy số sau :

a) Dãy số (un) với un = n – 2n
Ta có un+1= n+1 – 2n+1
Xét: un+1 – un = (n+1 – 2n+1) – (n – 2n)
= 1 – 2n+1 + 2n
= 1- 2.2n + 2n
= 1 – 2n.(2-1)
= 1 – 2n < 0
Vậy (un) là dãy số giảm

b) Dãy số (un) với un = n.an (a 1)


Ta thấy un > 0  N* nên ta xét tỉ số





( Vì và a  1)
Vậy dãy (un) tăng
* Chú ý : Không phải mọi dãy số đều tăng hay giảm

Ví dụ: Dãy số (un) với un = (-3)n là dãy số không tăng không giảm:
-3, 9, - 27, 81....

2/ DÃY SỐ BỊ CHẶN 

1/ Định nghĩa :
- Dãy số (un) gọi là bị chặn trên nếu  M sao cho:  n N* , un  M

Ví dụ: Dãy số (un) với un

Bị chặn trên bởi chặn trên bởi số 2
vì

- Dãy số (un) gọi là bị chặn dưới nếu  m sao cho:
 n N* , un  m
Ví dụ:
Dãy số (un) với un=1 + n2 bị chặn dưới bởi số 1


- Dãy số (un) gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức  m, M sao cho:
 n N* , m  un  M

Ví dụ: Dãy số (un) với un

bị chặn dưới bởi 1 và chặn trên bởi 2


Ví dụ : Hãy chứng minh dãy số (un)
với un = bị chặn.

Giải:
* Ta có > 0 n  N*

- Mặt khác: 2n -1 < 2n

Suy ra 0 < tức 0 < < 2

Vậy dãy số (un) bị chặn


Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn tập
Câu 1
Đáp án
Câu 2
Đáp án
Câu 3
Đáp án
≥
Câu 4
Dãy số ( ) xác định bởi: =5 , = 0 và
= + 6. n 2.
Hãy điền các số thích hợp vào ô trống của bảng dưới đây :
Đáp án: D
≥
A
Đáp án
B.
C
D
Câu 5
Đáp án
≥
≥
≥
≥
Câu 6
Đáp án
≥
≥
≥
≥
BÀI THU HOẠCH
Cho dãy số (un) với un = , nN*

a) Viết 5 số hạng đầu.

b) Số là số hạng thứ mấy?

c) Chứng minh dãy số giảm và bị chặn.