Tiết 27; 28

Bài tập cuối chương 3

A. Trắc nghiệm
Bài 3.39: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Không có tứ giác nào mà không có góc tù.
B. Nếu tứ giác có ba góc nhọn thì góc còn lại là góc tù.
C. Nếu tứ giác có hai góc tù thì haigóc còn lại phải nhọn.
D. Không có tứ giác nào có ba góc tù.

Bài 3.40: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng
định nào sai?
a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình bình hành. SAI
b) Tứ giác có hai cặp cạnh bằng nhau là hình bình hành.SAI
c) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. ĐÚNG
d) Tứ giác có ba cạnh bằng nhau là hình thoi.

SAI

Bài 3.41: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định
nào sai?
a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và hai cạnh đối nào cũng bằng
nhau là hình chữ nhật. ĐÚNG
b) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình bình hành. ĐÚNG
c) Tứ giác có hai cạnh song song và hai đường chéo bằng nhau là hình
thang cân.

ĐÚNG

d) Tứ giác có hai cạnh song song và hai cạnh còn lại bằng nhau là hình
bình hành

SAI
.

B. TỰ LUẬN
Bài 3.42: Chứng minh rằng nếu tứ giác có hai
đường chéo bằng nhau và một cặp cạnh đối bằng
nhau thì tứ giác đó là một hình thang cân (H.3.59).
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Xét ∆ABC và ∆BAD có: BC = AD (giả thiết)
AC = BD (giả thiết); Cạnh AB chung
Do đó ∆ABC = ∆BAD (c.c.c)
Suy ra ˆADB=ˆBCA (hai góc tương ứng).
Xét ∆ACD và ∆BDC có: AD = BC (giả thiết)
AC = BD (giả thiết); Cạnh CD chung
Do đó ∆ADC = ∆BCD (c.c.c)
Suy ra ˆDAC=ˆCBD (hai góc tương ứng).

Xét ∆OAD và ∆OBC có: ˆADB=ˆACB (chứng minh trên)
AD = BC (giả thiết); ˆDAC=ˆCBD (chứng minh trên)
Do đó ∆OAD = ∆OBC (g.c.g).
Suy ra OA = OB; OC = OD (các cặp cạnh tương ứng).
Khi đó, các tam giác OAB, OCD là tam giác cân tại O.
Suy ra ˆOAB=ˆOBA;ˆOCD=ˆODC .
Xét ∆OAB và ∆OCD cân tại O có:  ˆAOB=ˆCOD (hai góc đối đỉnh)
 ˆOAB=ˆOBA; ˆOCD=ˆODC
 ˆOAB+ˆOBA+ˆAOB=ˆOCD+ˆODC+ˆCOD=180°
ˆOAB+ˆOBA=ˆOCD+ˆODC
2ˆOAB=2ˆOCD
Suy ra ˆOAB=ˆOCD mà hai góc này ở vị trí so le trong.
Do đó AB // CD.

Tứ giác ABCD có AB // CD nên ABCD là hình thang.
Hình thang ABCD có hai đường chéo AC = BD.
Do đó tứ giác ABCD là hình thang cân.
Vậy nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và một
cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là một hình
thang cân.
Bài 3.43: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm P trên tia AB sao cho AP = 2AB.
a) Tứ giác BPCD có phải là hình bình hành không? Tại sao?
b) Khi tam giác ABD vuông cân tại A, hãy tính số đo các góc của tứ giác BPCD.

Lời giải:
a) Ta có AP = 2AB suy ra AB = BP = AP/2 .
Vì ABCD là hình bình hành nên: AB // CD hay BP // CD
AB = CD mà AB = BP nên BP = CD.
Tứ giác BPCD có BP // CD; BP = CD
Do đó tứ giác BPCD là hình bình hành.
b) Khi tam giác ABD vuông cân tại A thì Â=90°;ˆABD =ˆADB = 45° .
Ta có ˆABD+ˆDBP=180° (hai góc kề bù).
Suy ra ˆDBP=180°−ˆABD=180°−45°=135° .
Do đó ˆDCP=ˆDBP=135° .
Vì tứ giác BPCD là hình bình hành nên BD // CP.
Suy ra ˆABD=ˆP (hai góc đồng vị).
Khi đó ˆP=45° mà ˆP=ˆBDC (vì tứ giác BPCD là hình bình hành).
Do đó ˆP=ˆBDC=45° .
Vậy khi tam giác ABD vuông cân tại A thì số đo các góc của tứ giác BPCD là:
ˆDCP=ˆDBP=135°; ˆP=ˆBDC=45° .

Bài 3.44: Cho tam giác ABC vuông
tại A. Gọi M là trung điểm của BC còn
P, N lần lượt là chân đường vuông góc
hạ từ M xuống CA, AB (H.3.60).

a) Chứng minh hai tam giác vuông CMP và MBN bằng nhau.
b) Chứng minh tứ giác APMN là một hình chữ nhật.
Từ đó suy ra N là trung điểm của AB, P là trung điểm của AC.
c) Lấy điểm Q sao cho P là trung điểm của MQ, chứng minh tứ giác AMCQ là
một hình thoi.
d) Nếu AB = AC, tức là tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMCQ có là
hình vuông không? Vì sao?

Lời giải:
a) Theo đề bài, AC ⊥ MP; AC ⊥ AB.
Suy ra MP // AB nên MP // BN.
Do đó ˆCMP=ˆCBA (hai góc đồng vị).
Ta có P, N lần lượt là chân đường vuông góc hạ
từ M xuống CA, AB
Nên ˆMPC=ˆBNM=90° .
Xét ∆CMP và ∆MBN có:
ˆMPC=ˆBNM=90°
BM = CM (vì M là trung điểm của BC)
ˆCMP=ˆCBA (chứng minh trên)
Do đó ∆CMP = ∆MBN (g.c.g).

b) Ta có ˆPAN+ˆAPM+ˆPMN+ˆMNA=360°
90°+90°+ˆPMN+90°=360°
ˆPMN+270°=360°
Suy ra ˆPMN=360°−270°=90° .
Tứ giác APMN có ˆPAN=ˆAPM=ˆPMN=ˆMNA=90° .
Do đó, tứ giác APMN là một hình chữ nhật.
Suy ra MP = AN; AP = MN (các cặp cạnh tương ứng).
Mà MP = BN; CP = MN (vì ∆CMP = ∆MBN).
Do đó AP = CP; AN = BN.
Từ đó ta suy ra N là trung điểm của AB, P là trung điểm của AC.
c) Tứ giác AMCQ có: MP = PQ (vì P là trung điểm của MQ)
AP = CP (vì P là trung điểm của AC)
Khi đó, tứ giác AMCQ có hai đường chéo AC và MQ cắt nhau tại trung điểm P
của mỗi đường nên nó là hình bình hành.
Mà MQ ⊥ AC. Do đó tứ giác AMCQ là một hình thoi.

d) Tứ giác APMN là một hình chữ nhật nên
MP = AN.
Mà P là trung điểm MQ; N là trung điểm
của AB.
Suy ra MQ = AB.
Lại có AB = AC (giả thiết) nên MQ = AC.
Tứ giác AMCQ có hai đường chéo AC và
MQ bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt
nhau tại trung điểm P của mỗi đường.
Do đó, tứ giác AMCQ là hình vuông.

Bài 3.45: Cho tam giác ABC cân tại A; M là một
điểm thuộc đường thẳng BC, B ở giữa M và C.
Gọi E, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ
M và từ B xuống AC, còn N, D lần lượt là chân
đường vuông góc hạ từ B xuống MEvà từ M
xuống AB (H.3.61).
Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BKEN là hình chữ nhật.
b) BK bằng hiệu khoảng cách từ M đến AC và đến AB (dù M thay đổi trên
đường thẳng BC miễn là B nằm giữa M và C) tức là BK = ME – MD.

Lời giải:
a) Vì ME ⊥ AC; BK ⊥ AC; BN ⊥ ME
nên ˆNEK=90°;ˆBKE=90°;ˆBNE=90° .
Suy ra ˆNBK=360°−ˆNEK−ˆBKE−ˆBNE
=360°−90°−90°−90°=90°.
Tứ giác BKEN có ˆNEK=90°;ˆBKE=90°;ˆBNE=90°; 
ˆNBK=90° .
Do đó, tứ giác BKEN là hình chữ nhật.
b) Khoảng cách từ M đến AC và AB lần lượt là ME và MD.
Tứ giác BKEN là hình chữ nhật nên NE = BK (1)
Ta có BN ⊥ ME; CE ⊥ ME nên BN // EC.
Suy ra ˆMBN=ˆBCA (hai góc đồng vị)
Mà ˆABC=ˆBCA (vì ∆ABC cân tại A); ˆABC=ˆMBD (hai góc đối đỉnh)
Do đó ˆMBN=ˆMBD .

Xét ∆MBN và ∆MBD có: ˆMNB=ˆD=90°
Cạnh BM chung
ˆMBN=ˆMBD (chứng minh trên)
Do đó ∆MBN = ∆MBD (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra MN = MD (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ME = MN + NE = MD + BK.
Do đó BK = NE = ME – BD.

Hướng dẫn học ở nhà
- Ôn lại toàn bộ kiến thức trọng tâm trong chương 3
- Xem lại các bài tập đã làm
- Ôn lại các dạng bài tập đại và hình của chương 1 và 3
- Tiết sau ôn tập giữa kì 1 để chuẩn bị kiểm tra giữa kì 1