TRÒ CHƠI TIẾP SỨC
1. Trong các bất phương trình ở các câu sau bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
2x+3 > 4 b) x-2 ≤ 0 c) 2x+5 < 2x+7 d) 5x -2 ≥ 6 e) 2x2+3 > 5 f) 3-4x < 5
KHỞI ĐỘNG
2. Phát biểu định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn?
3. Bạn Nam có 25000 đồng. Nam muốn mua cái bút giá 4000 đồng và một số quyển vở loại 2200 đồng một quyển. Hỏi Nam có thể mua được nhiều nhất bao nhiêu quyển vở?
Các bất phương trình a), b), d), f) là bất phương trình bật nhất một ẩn
Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0) trong đó a và b là hai số đã cho, a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Gọi x (quyển vở) là số vở Nam có thể mua. (ĐK: x ϵ N*)
Theo đề bài thì x phải thỏa mãn bất phương trình: 2200x + 4000 ≤ 25000
 2200x ≤ 21000
 x ≤ 9,(54)
Vậy Nam có thể mua được nhiều nhất 9 quyển vở
Bài toán: Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi 1-6, một rạp chiếu phim phục vụ các khán giả một bộ phim hoạt hình. Vé được bán ra có hai loại:
Loại 1 (dành cho trẻ từ 6-13 tuổi): 50 000 đồng/vé.
Loại 2 (dành cho người trên 13 tuổi): 100 000 đồng/vé.
Người ta tính rằng, để không phải bù lỗ thì số tiền vé thu được ở rạp chiếu phim này phải đạt tối thiểu 20 triệu đồng. Hỏi số lượng vé bán được trong những trường hợp nào thì rạp chiếu phim phải bù lỗ?
Gọi x là số vé loại 1 bán được và y là số vé loại 2 bán được (ĐK: x,y ϵ N)
BÀI: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
HĐ1: Trong bài toán ở phần khởi động, ta gọi x là số vé loại 1 bán được và y là số vé loại 2 bán được (ĐK: x,y ϵ N). Viết biểu thức tính số tiền bán vé thu được (đơn vị nghìn đồng) ở rạp chiếu phim đó theo x và y.
a) Các số nguyên không âm x và y phải thỏa mãn điều kiện gì để số tiền bán vé thu được đạt tối thiểu 20 triệu đồng?
b) Nếu số tiền bán vé thu được nhỏ hơn 20 triệu đồng thì x và y thỏa mãn điều kiện gì?
Bài giải:
Biểu thức biểu thị số tiền bán vé thu được ở rạp chiếu phim là: 50x + 100y (nghìn đồng)
Định nghĩa
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là: ax + by ≤ c (hoặc ax + by ≥ c, ax + by < c, ax + by > c) trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.
a) Điều kiện của x và y để số tiền bán vé thu được đạt tối thiểu 20 triệu đồng là: 50x + 100y ≥ 20000
b) Điều kiện của x và y để số tiền bán vé thu được nhỏ hơn 20 triệu đồng là: 50x + 100y < 20000
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 1: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
y  2. b) 2 x2 + 3y 3.
c) x + y  5.
Bài giải:
a) và c) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. b) không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa x2
Ví dụ 2: a) Hãy lấy một ví dụ khác về bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Một ví dụ về bất phương trình nhưng không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
HĐ2: Cặp số (x; y) = (100; 100) thỏa mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào trong hai bất phương trình
50x + 100y ≥ 20 000 (1); 50x + 100y < 20 000 (2) thu được ở HĐ1? Từ đó cho biết rạp chiếu phim có phải bù lỗ hay không nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2.
Bài giải:
Thay x = 100 và y = 100 và bất phương trình (1) ta được:
50.100 + 100.100 ≥ 20000 (Sai)
Bài giải:
a)
b)
Do đó cặp số (x; y) = (100; 100) không thỏa mãn bất phương trình (1).
Thay x = 100 và y = 100 và bất phương trình (2) ta được:
50.100 + 100.100 < 20000 (Đúng)
Do đó cặp số (x; y) = (100; 100) thỏa mãn bất phương trình (2)
Vậy rạp chiếu phim phải bù lỗ nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2.
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
HĐ2: Tương tự cặp số (x; y) = (150; 150) thỏa mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào trong hai bất phương trình 50x + 100y ≥ 20 000 (1); 50x + 100y < 20 000 (2) thu được ở HĐ1? Từ đó cho biết rạp chiếu phim có phải bù lỗ hay không nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2.
Bài giải:
Thay x = 150 và y = 150 và bất phương trình (1) ta được:
50.150 + 100.150 ≥ 20 000 (Đúng)
Định nghĩa
Cặp số (x0; y0) được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by ≤ c nếu bất đẳng thức a x0 +b y0 ≤ c đúng.
Do đó cặp số (x; y) = (150; 150) thỏa mãn bất phương trình (1).
Thay x = 150 và y = 150 và bất phương trình (2) ta được:
50.150 + 100.150 < 20 000 (Sai)
Do đó cặp số (x; y) = (150; 150) không thỏa mãn bất phương trình (2).
Vậy rạp chiếu phim không phải bù lỗ nếu bán được 150 vé loại 1 và 150 vé loại 2.
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 3: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn 2x+y > 5. Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên?
a) (x; y) = (2; 3); b) (x; y) = (-2; 0).
Bài giải:
a) Vì 2.2 + 3 > 5 (đúng) nên cặp số (2; 3) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
Luyện tập 1: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn x + 2y  0
a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên.
b) Với y = 0, có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho.
Bài giải:
a)Hai nghiệm của bất phương trình x + 2y  0 là:
Nhận xét: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.
b) Thay y = 0 vào bất phương trình x + 2y  0 ta được x  0
Vậy có vô số giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho.
b) Vì 2.(-2) + 0 > 5 (sai) nên cặp số (-2; 0) không phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ.
HĐ3: Cho đường thẳng d: 2x – y = 4 trên mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 2.1). Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
a) Cho điểm O(0; 0), A(-1; 3) và B(-2; -2) có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d không?
Tính các giá trị của biểu thức 2x - y tại các điểm đó và so sánh với 4.
b) Trả lời câu hỏi tương tự như câu a với các điểm C(3; 1), D(4; -1).
Bài giải:
a) Ba điểm O(0; 0), A(-1; 3) và B(-2; -2) thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.
Định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax+by ≤ c được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.
Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình ax+by = c chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng bờ d:
- Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn ax + by > c;
- Nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn ax + by < c.
Bờ d gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn ax + by = c.
Điểm O(0; 0): Thay x = 0 và y = 0 và biểu thức 2x - y ta được: 2.0 + 0 = 0
Điểm A(-1; 3): Thay x = -1 và y = 3 và biểu thức 2x - y ta được: 2.(-1) + 3 = 1
Điểm B(-2; -2): Thay x = -2 và y = -2 và biểu thức 2x - y ta được: 2.(-2) + (-2) = -6
Vậy các giá trị của biểu thức 2x - y tại các điểm đó và nhỏ hơn 4.
b) Hai điểm C(3; 1) và D(4; -1) thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.
Điểm C(3; 1): Thay x = 3 và y = 1 và biểu thức 2x - y ta được: 2.3 + 1 = 7
Điểm D(4; -1): Thay x = 4 và y = -1 và biểu thức 2x - y ta được: 2.4 + (-1) = 7
Vậy các giá trị của biểu thức 2x - y tại các điểm đó và lớn hơn 4.
2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ.
Ví dụ 4: Biễu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5 trên mặt phẳng tọa độ.
Bài giải:
Ta biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5 như sau:
* Cách biễu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by  c.
Vẽ đường thẳng d: ax +by = c trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Lấy một điểm M0(x0; y0) không thuộc d.
Tính ax0 + by0 và so sánh với c.
Nếu ax0 + by0 < c thì nửa mặt phẳng bờ d chứa M0 là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa M0 là miền nghiệm của bất phương trình.
Lưu ý:
Nếu c ≠ 0, ta thường chọn M0 chính là gốc tọa độ.
Nếu c = 0, ta thường chọn M0 có tọa độ (1; 0) hoặc (0; 1).
Bước 1. Vẽ đường thẳng d : x + y = 5 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Bước 2. Lấy một điểm bất kì không thuộc d trên mặt phẳng rồi thay vào biểu thức x + y. Chẳng hạn, lấy gốc tọa độ O (0;0), ta có: 0+0  5.
Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng có bờ là d (kể cả bờ d) và chứa gốc tọa độ (Miền không bị tô đậm trong hình bên)
2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ.
Ví dụ 5: Biễu diễn miền nghiệm của bất phương trình 7x + 5y  0 trên mặt phẳng tọa độ.
Bài giải:
Bước 1. Vẽ đường thẳng d : 7x - 5y = 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Nhìn vào hình 2.3 hãy mô tả miền nghiệm của bất phương trình 7x + 5y > 0
Miền nghiệm của bất phương trình 7x + 5y > 0 là nửa mặt phẳng có bờ là d (không kể bờ d) và chứa điểm M0 (Miền không bị tô đậm trong hình trên)
Chú ý:
Miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c là miền nghiệm của bất phương trình là ax + by ≤ c bỏ đi đường thẳng ax + by = c và biểu diễn đường thằng bằng nét đứt.
Bước 2. Lấy điểm M0(1;0) không thuộc d và thay x = 1 và y = 0 và biểu thức 7x - 5y, ta được: 7.1 – 5.0 = 7 > 0.
Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng có bờ là d (kể cả bờ d) và chứa điểm M0 (Miền không bị tô đậm trong hình bên)
2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ.
Luyện tập 2: Biễu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2x+y < 200 trên mặt phẳng tọa độ.
Bài giải:
Vẽ đường thẳng d : 2x + y = 200 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Lấy gốc tọa độ O(0;0) và thay x = 0 và y = 0 và biểu thức 2x + y, ta được: 2.0+0 = 0 < 200.
Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng có bờ là d (không kể bờ d) và chứa gốc tọa độ O (Miền không bị tô đậm trong hình bên)
Ví dụ 6: Giải quyết bài toán ở phần khởi động?
Bài giải:
Gọi x là số vé loại 1 bán được và y là số vé loại 2 bán được (ĐK: x,y ϵ N).
Khi đó số tiền bán vé thu được là 50x + 100y (nghìn đồng).
Người ta phải bù lỗ trong trường hợp số tiền bán vé nhỏ hơn 20 triệu đồng, tức là: 50x + 100y < 20 000 hay x + 2y < 400.
Như vậy, việc giải quyết bài toán mở đầu dẫn đến việc đi tìm miền nghiệm của bất phương trình x + 2y < 400.
Miền nghiệm của bất phương trình x + 2y < 400 được xác định như sau:
- Vẽ đường thẳng d : x + 2y = 400 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
- Lấy gốc tọa độ O(0;0) và thay x = 0 và y = 0 và biểu thức x + 2y, ta được: 2.0+0 = 0 < 400.
Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng có bờ là d (không kể bờ d) và chứa gốc tọa độ O (Miền không bị gạch trong hình 2.4)
Vậy kết hợp với điều kiện, nếu điểm (x; y) nằm trong miền tam giác OAB không kể cạnh AB thì rạp chiếu phim sẽ phải bù lỗ.
Hỏi số lượng vé bán được trong những trường hợp nào thì rạp chiếu phim hòa vốn?
Nếu điểm (x; y) nằm trên đoạn thẳng AB và x,y ϵ N thì rạp chiếu phim hòa vốn.
Luyện tập
QUAY
1
VÒNG QUAY
MAY MẮN
4
2
3
Câu 1: Biễu diễn miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y > 300 trên mặt phẳng tọa độ.
Đáp án
- Vẽ đường thẳng d : 3x + 2y = 300 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
- Lấy gốc tọa độ O(0;0) và thay x = 0 và y = 0 vào biểu thức 3x + 2y, ta được: 3.0+2.0 = 0 < 300.
Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng có bờ là d (không kể bờ d) và không chứa gốc tọa độ O (Miền không bị tô đậm trong hình bên)

QUAY VỀ
Câu 2: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
a) 2x + 3y  6 . b) 22x + y  0 . c) 2x2 - y  5. d) 0x + 0y < 5
Đáp án
a) và b) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
c) không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa x2
d) không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì a và b đồng thời bằng 0.
QUAY VỀ
Câu 3: Ông An muốn thuê một chiếc ô
tô (có lái xe) trong một tuần.Giá thuê xe
được cho như bảng bên:

Gọi x và y lần lượt là số kilômét ông An
đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ
Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết
bất phương trình biểu thị mối liên hệ
giữa x và y sao cho tổng số tiền ông An
phải trả không quá 14 triệu đồng.
Đáp án
Gọi x và y lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần (ĐK: x, y > 0).
Bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa x và y sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng là: 8x + 10y  14 000 hay 4x + 5y  7 000
QUAY VỀ
Câu 4: Biễu diễn miền nghiệm của bất phương trình 4x + 5y  7 000 với x, y > 0. trên mặt phẳng tọa độ .
Đáp án
Vẽ đường thẳng d : 4x + 5y = 7 000
trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Lấy gốc tọa độ O(0;0) và thay x = 0
và y = 0 và biểu thức 4x + 5y, ta được:
4.0+5.0 = 0 < 7 000.
- Do đó miền nghiệm của bất phương
trình đã cho là nửa mặt phẳng có bờ
là d (kể cả bờ d) và chứa gốc tọa độ O
(Miền không bị tô xanh trong hình bên)

Vậy với x, y > 0 thì miền tam giác OBC
là miền nghiệm của bất phương trình.
QUAY VỀ
Vận dụng
Bài 1. Trong 1 lạng (100g) thịt bò chứa khoảng 26g protein, 1 lạng cá rô phi chứa khoảng 20g protein. Trung bình trong một ngày, một người phụ nữ cần tối thiểu 46g protein. ( Nguồn: https://vinmec.com và https://thanhnien.vn ). Hỏi người phụ nữ cần ăn bao nhiêu lạng thịt bò và bao nhiêu lạng cá rô phi để không bị thiếu lượng protein cần thiết trong một ngày?
Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng có bờ là d (kể cả bờ d) và khôngchứa gốc tọa độ O (Miền không bị tô xanh trong hình bên)
Gọi x và y lần lượt là số lạng thịt bò và số lạng cá rô phi mà một người phụ nữ nên ăn trong một ngày (ĐK: x, y > 0).
Khi đó, người phụ nữ cần ăn số lạng thịt bò và số lạng cá rô phi để không bị thiếu lượng protein cần thiết trong một ngày, tức là: 26x + 20y  46 hay 13x + 10y  23.
Như vậy, việc giải quyết bài toán dẫn đến việc đi tìm miền nghiệm của bất phương trình 13x + 10y  23.
Miền nghiệm của bất phương trình 13x + 10y  23 được xác định như sau:
Vẽ đường thẳng d : 13x + 10y = 23.trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Lấy gốc tọa độ O(0;0) và thay x = 0 và y = 0 và biểu thức 13x + 10y, ta được: 13.0+10.0 = 0 < 23.
Vậy kết hợp với điều kiện, nếu điểm (x; y) nằm trong miền tam giác OBC thì người phụ nữ không bị thiếu lượng protein cần thiết trong một ngày.
Vận dụng
Bài 2. Hãy sưu tầm các ví dụ về các bài toán kinh tế mà em biết trong thực tế.
Để vẽ được miền nghiệm của các bất phương trình trên ta có thể sử dụng phần mềm Geogebra.
Link: https://www.geogebra.org/calculator