Kiểm tra bài cũ
Cho tam giác ABC vuông tại A,có đường cao AH = h, BC = a, AC = b, AB = c. Gọi BH = c’, CH = b’. Hãy điền vào ô trống trong các hệ thức sau đây để được các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
A
B
C
H
a
b
c
c’
b’
a2 = b2 +
b2 = a x
c2 = a x
h2 = b’ x
ah = b x
...
...
...
...
...
...
=
sinB = cosC=
...
sinC = cosB =
...
tanB = cotC =
...
cotB = tanC=
...
c2
b’
c’
c’
c
h2
b
c
b
c
h
1. Định lý Côsin
Trong tam giác ABC bất kỳ với BC = a, CA = b, AC = b ta có
Phát biểu định lý:
Trong một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó với côsin của góc xen giữa hai cạnh đó
Chứng minh định lý:
Cho tam giác bất kỳ ABC, đặt BC = a, CA = b, AB = c
Chứng minh: a2 = b2 + c2 -2bc cosA
A
B
C
a
c
b
Tacó:
BC2 =
=
=
=
cosA
Vậy ta có:
BC2 = AC2 + AB2 -2AC.AB. cos A
hay
a2 = b2 + c2 – 2bc cosA
Định lý Pytago là trường hợp đặc biệt của định lý Côsin
Chú ý:
2. Hệ quả
Từ định lý Côsin ta suy ra hệ quả sau:
cosA =
cosB =
cosC =
VD:Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 4 cm,
= 30o. Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC
Giải
A
b
C
B
a
c
30o
Áp dụng định lý Côsin trong tam giác ABC ta có:
BC2 = AC2 + AB2 – 2AC.AB.cosA
=
+ 42
- 2.4 .4.cos30o
= 48 + 16
- 2.4 .4.
= 48 + 16 - 48
= 16
BC = 4
cosB =
A
b=4
C
B
a=4
c=4
30o
=
=
=
= 180o – (30o + 120o)
3. Áp dụng
Bài toán:
Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Giả sử đường trung tuyến AM của tam giác ABC có độ dài . Tính theo a,b,c
M
C
B
A
b
a/2
c
Giải
Áp dụng định lý Côsin trong tam giác ABM ta có:
.cosB
.cosB
(1)
M
C
B
A
c
b
Áp dụng định lý Côsin trong tam giác ABC ta có:
cosB =
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
=
=
M
a/2
Vậy:
Tương tự ta cũng chứng minh được
trong đó tương ứng là độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C
Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác:
Ví dụ:
Cho tam giác ABC có a = 2cm, b = 8cm và c = 6m. hãy tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ABC đã cho
Giải:
Ta có:
= 49
= 7cm