Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Đại số tuyến tính

Chương 0: Số phức


Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007)
dangvvinh@hcmut.edu.vn

Mục tiêu của môn học Toán 2
Nhiệm vụ của sinh viên.
Đánh giá, kiểm tra.
Tài liệu tham khảo
1. Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Đại số tuyến tính. NXB Đại học quốc gia
2. Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 2.
4. Meyer C.D. Matrix analysis and applied linear algebra, SIAM, 2000.
5. Kuttler K. Introduction to linear algebra for mathematicians,
6 Usmani R. Applied linear algebra, Marcel Dekker, 1987.
7. Kaufman L. Computational Methods of Linear Algebra ,2005.
8. Muir T. Theory of determinants, Part I. Determinants in general
9. Golub G.H., van Loan C.F. Matrix computations. 3ed., JHU, 1996.
10. Nicholson W.K. Linear algebra with applications , PWS Boston, 1993.
11. Proskuriyakov I.V. Problems in Linear algebra.
12. www.tanbachkhoa.edu.vn
3. Đỗ Công Khanh. Đại số tuyến tính. NXB Đại học quốc gia
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.1 - D?ng d?i s? c?a s? ph?c
0.2 – Dạng lượng giác của số phức
0.4 – Nâng số phức lên lũy thừa
0.5 – Khai căn số phức
0.6 – Định lý cơ bản của Đại số
0.3 – Dạng mũ của số phức
0.1 Dạng đại số của số phức
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Giải
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Giải
z = (3 + 5i) + (2 - 3i)
= (3+2) + (5i – 3i) = 5 + 2i.
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Giải
z = (2 + 5i)(3 + 2i)
= 6 + 4i + 15i + 10 i2
Vậy dạng đại số của số phức là: z = -4 + 19i.
= 2.3 + 2.2i + 3.5i + 5i.2i
= 6 + 19i + 10(-1)
= -4 + 19i
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Giải.
z = (2 + 3i) (4 - 2i)
= 2.4 – 2.2i + 3i.4 – 3i.2i
= 8 – 4i + 12i – 6i2
= 8 – 4i + 12i – 6(-1)
= 14 + 8i.
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Tính chất của số phức liên hợp
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Phép chia hai số phức.
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Giải.
0.1 Dạng Đại số của số phức
------------------------------------------------------------------
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
r
b
a
trục thực
trục ảo
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Vậy mod(z) = |z| =
a = 3; b = -4.
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho z = a + bi và w = c + di.
Chú ý:
Nếu coi số phức z = a + bi là một điểm có tọa độ (a, b), thì
là khoảng cách từ điểm (a, b) đến gốc tọa độ.
là khoảng cách giữa hai điểm (a, b) và (c,d).
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
đường tròn tâm (2,-3) bán kính bằng 5.
0.2 Dạng lượng giác của số phức
----------------------------------------------------------------------------
Công thức tìm argument của số phức.
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Môđun:
Suy ra
Dạng lượng giác:
Argument:
0.2 Dạng lượng giác của số phức
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Dạng lượng giác:
0.2 Dạng lượng giác của số phức
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Dạng lượng giác:
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dạng lượng giác:
Dạng mũ:
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn.
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Argument không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là nửa đường thẳng nằm trong góc phần tư thứ 2.
0.4 Nâng số phức lên lũy thừa
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa phép nâng số phức lên lũy thừa bậc n
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa
--------------------------------------------------------------
Lũy thừa bậc n của số phức i:
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Bước 1. Viết 1 + i ở dạng lượng giác
Bước 2. Sử dụng công thức de Moivre’s:
0.4 Khai căn số phức
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
0.4 Khai căn số phức
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu a)
b) Viết số phức ở dạng lượng giác:
Sử dụng công thức:
0.4 Khai căn số phức
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu b)
b) Viết số phức ở dạng lượng giác:
Sử dụng công thức:
0.5 Định lý cơ bản của Đại số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.5 Định lý cơ bản của Đại số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.5 Định lý cơ bản của Đại số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1) Không tồn tại đa thức thỏa yêu cầu bài toán.
2) Đa thức cần tìm là:
0.5 Định lý cơ bản của Đại số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải. Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ quả ta có 2 –i là một nghiệm.
P(z) có thể phân tích thành (z – (2 + i))(z - (2 – i)) =
= z2 – 4z + 5
P(z) có thể ghi ở dạng
P(z) = (z2 – 4z + 5)(z2 + 9)
z2 + 9 có hai nghiệm 3i và –3i. Vậy ta tìm được cả 4 nghiệm của P(z) là 2 + i, 2 – i, 3i, -3i.
0.5 Định lý cơ bản của Đại số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.5 Định lý cơ bản của Đại số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kết luận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------