BÀI 2: DÃY SỐ
HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM

Cho hàm số u(n) = 2n +1 xác định?n ?N*
Hãy tính u(1); u(2); u(3); u(4); u(5),...
Thay lần lượt thứ tự n = 1, 2, 3, 4, 5,.k..
vào u(n) = 2n +1 ta được:
n = 1: u(1) = 3
n = 2: u(2) = 5
n = 3: u(3) = 7
n = 4: u(4) = 9
n = 5: u(5) = 11
.......
n = k: u(k)= 2k + 1
Nhận xét:
Khi thay n theo thứ tự 1,2,3,4,5,.k,. thì ta được các giá trị tương ứng của u(n) lập thành một dãy số:
3, 5, 7, 9,11,., 2k+1,...
I/ DÃY SỐ
1/ Định nghĩa:
* Hàm số u(n) xác định ?n ?N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).

* Kí hiệu dãy số là (un)

Thay thứ tự n = 1, 2, 3,...ta được các số hạng tương ứng cuả dãy số là u1, u2, u3,..
Dạng khai triển của dãy số (un) là:
u1, u2, ........,un,..........

Trong đó:
u1�: số hạng thứ nhất
u2�: số hạng thứ hai
...................
un : số hạng thứ n hay được gọi là số hạng tổng quát
của dãy số (un)

* Nếu dãy số xác định trên tập M = {1,2,3,.....m} thì ta gọi dãy số là dãy số hữu hạn.
2/ VÍ DỤ:

a) Cho dãy số u(n) = n2 . Hãy viết dạng khai triển của nó:
1, 4, 9, 16, 25..........

b) Dãy số 1, 3, 5, 7,.....Hãy viết công thức cho số hạng tổng quát un :
un=2n - 1
II/ CÁCH CHO DÃY SỐ:
1/ Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát:

Cho dãy số (un) với un = 3n +1
Dạng khai triển là:
4, 7, 10, 13,........
2/ Dãy số cho bằng công thức truy hồi:


Cho dãy số (n ? 2)



Dạng khai triển là:
2, 5, 8, 11, 14..

III/ BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ
Biểu diễn hình học của dãy số như sau:

u5 u4 u3 u2 u1
un
0 1/5 � 1/3 � 1

IV/ DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
1/ Dãy số tăng- dãy số giảm:
* Dãy số (un) gọi là tăng nếu ? n?N* : un < un+1
( u1 < u2 < ......... < un < un+1<......)
Ví dụ: Dãy (un) với un = n+ 1 là dãy tăng
2, 3, 4, 5........
* Dãy số (un) gọi là giảm nếu ? n?N* : un > un+1
(u1 > u2 > ......... > un > un+1>......)
Ví dụ: Dãy (un) với un = 2n- n2 là dãy giảm
1, 0, -3, -8,........

* Phương pháp xét tính tăng - giảm của một dãy số:


a) Dãy số (un) tăng ? ?n?N* , un+1 - un > 0

b) Nếu các số hạng của dãy số (un) đều dương thì�:
Dãy số (un) tăng ? ?n? N* ,

Ta có điều ngược lại cho dãy số giảm.
VÍ DỤ�
Xét tính đơn điệu của các dãy số sau�:

a) Dãy số (un) với un = n - 2n
Ta có un+1= n+1 - 2n+1
Xét: un+1 - un = (n+1 - 2n+1) - (n - 2n)
= 1 - 2n+1 + 2n
= 1- 2.2n + 2n
= 1 - 2n.(2-1)
= 1 - 2n < 0
Vậy (un) là dãy số giảm

b) Dãy số (un) với un = n.an (a? 1)


Ta thấy un > 0 ?? N* nên ta xét tỉ số





( Vì và a ? 1)
Vậy dãy (un) tăng
* Chú ý�: Không phải mọi dãy số đều tăng hay giảm

Ví dụ: Dãy số (un) với un = (-3)n�là dãy số không tăng không giảm:
-3, 9, - 27, 81....

2/ DÃY SỐ BỊ CHẶN�

1/ Định nghĩa�:
- Dãy số (un) gọi là bị chặn trên nếu ? M sao cho: ? n ?N* , un ? M

Ví dụ: Dãy số (un) với un

Bị chặn trên bởi chặn trên bởi số 2
vì

- Dãy số (un) gọi là bị chặn dưới nếu ? m sao cho:
? n ?N* , un ? m
Ví dụ:
Dãy số (un) với un=1 + n2 bị chặn dưới bởi số 1


- Dãy số (un) gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức ? m, M sao cho:
? n ?N* , m ? un ? M

Ví dụ: Dãy số (un) với un

bị chặn dưới bởi 1 và chặn trên bởi 2


Ví dụ�: Hãy chứng minh dãy số (un)
với un = bị chặn.

Giải:
* Ta có > 0 ?n ? N*

- Mặt khác: 2n -1 < 2n

Suy ra 0 < tức 0 < < 2

Vậy dãy số (un) bị chặn
BÀI THU HOẠCH
Cho dãy số (un) với un = , ?n?N*

a) Viết 5 số hạng đầu.

b) Số là số hạng thứ mấy?

c) Chứng minh dãy số giảm và bị chặn.