§1.
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
?
d
Định nghĩa.
Vectơ khác , có giá vuông
góc với đường thẳng
d gọi là vectơ pháp tuyến
của đường thẳng d
?
Chú ý.
Một đường thẳng có
vô số vectơ pháp tuyến
Nếu vectơ n là vectơ
pháp tuyến của đường
thẳng d thì kn cũng
là vectơ pháp tuyến
của đường thẳng d.
?
Một đường thẳng hoàn toàn
được xác định khi nào?

Chú ý.
Một đường thẳng hoàn
toàn được xác định khi
ta biết một điểm thuộc
đường thẳng và một vectơ
pháp tuyến của nó.
Bài toán.
Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm I(x0; y0) và vectơ n(a; b) khác vectơ 0. Gọi d là đường thẳng đi qua I có vectơ pháp tuyến n. Tìm điều kiện của
x, y để M(x; y) nằn trên đường thẳng d.
HD
?
Để điểm M nằm trên đường thẳng
d thì IM vuông góc với n hay
IM.n = 0 hay a(x - x0) + b(y - y0) = 0
Đặt -ax0 - by0 = c thì phương
Trình trên trở thành ax + by + c = 0
được gọi là phương trình tổng quả của
đường thẳng d trong đó a2 + b2 khác 0.
Một cách tổng quát
Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng
đều có phương trình tổng quát dạng:
Nếu đường thẳng d có phương
trình tổng quát là ax + by + c = 0
thì ta biết được yếu tố nào của
đường thẳng d?
?
Nếu đường thẳng d có phương trình
tổng quát là ax + by + c = 0 thì đường
thẳng d có vectơ pháp tuyến là n (a; b).
Ví dụ 1
Cho đường thẳng d có phương trình:
3x + 4y - 7 = 0
Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng d
Trong các điểm sau điểm nào thuộc đường thăng d. A(1;1), B(2; -3), C(4; -5), D(2; 1/4).
HD:
Ta có n (a; b) = (3; 4)
Thay toạ độ các điểm vào phương trình của
đường thẳng d ta có các điểm sau thuộc d: A, D
Ví dụ 2
Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(2; -3), C(4; 5) viết phương trình đường cao hạ từ đỉnh B của tam giác ABC.
HD:
Ta có AC = (3; 4). Vì BH là đường
cao của tam giác ABC nên AC
vuông góc với BH. Do đó đường
thẳng BH nhận vectơ AC làm
vectơ pháp tuyến.
Mặt khác BH đi qua điểm B nên BH
có phương trình tổng quát là:
3(x - 2) + 4(y + 3) = 0 hay 3x + 4y + 6 = 0.
B
C
2. Các trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát.
Em hãy đặt phương trình đường
thẳng tương ứng với các hình dưới.
(1): ax + c = 0, (2): by + c = 0, (3): ax + by = 0.





A
C
B
?
Tổng quát.
* Đường thẳng by + c = 0 song song hoặc trùng với
trục ox.
* Đường thẳng ax + c = 0 song song hoặc trùng với
trục oy.
* Đường thẳng ax + by = 0 đi qua gốc toạ độ

Cho A(a; 0), B(0; b) viết phương trình tổg quát
Của đường thẳng đi qua A, B.
Ví Dụ.
HD
Giả sử phương trình đường thẳng đi qua A, B
có dạng Ax + By + C = 0.
Vì đường thẳng đi qua A, B nên toạ độ hai điểm
A, B thoả mãn phương trình của đường thẳng tức

là: giải hệ phương trình ta

tìm đươc phương trình đường thẳng cần viết là:


Chú ý
Cho hai điểm A(a; 0), B(0; b) khi đó
Phương trình đi qua hai điểm A, B

có dạng

được gọi là phương trình đoạn chắn.

xét đường thẳng d có phương trình
ax + by + c = 0, b khác 0
ta có thể đưa về dạng y = kx + m
khi đó ta gọi k là hệ số góc của đường
thẳng d.
Chú ý
Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có phương
trình y = k1x + m1, y = k2x + m2. Em hãy tìm
điều kiện để hai đường thẳng d1, d2 để
d1, d2 song song với nhau.
d1, d2 vuông góc nhau.
?