CHƯƠNG III: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
GIÁO VIÊN : Hoaøng Sôn Haûi
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
+)Dùng t.c of trục đtròn:
ABC có tâm ngt 0;SA=SB=SC
=>S0 (ABC)
2/104. ABCD;ABC và BCD cân chung đáy BC. I tr.điểm
BC
a)cm: BC(ADI)
=>AIBC
Cm tt ta có: DIBC
AI,DI(ADI)=>BC(ADI)
b)AH=đcao ADI;cm: AH(BCD)
Ta có:AHDI(gt)(1)
Do BC(ADI) mà AH(ADI)=>AHBC(2)
Vì BC,DI(BCD);BC cắt DI=>AH(BCD)-đpcm
ABC cân=>tr.tuyến AI cũng là đcao
3/104. S.ABCD đáy h.thoi, tâm 0; SA=SB=SC=SD.cm:
a)S0(ABCD)
=>S0AC
Cm tt ta có: S0BD
AC,BD cắt nhau=>S0(ABCD)
b)AC(SBD);BD(SAC)
Ta có:ACBD(t.c h.thoi)(1)
Do S0(ABC) mà AC(ABC)=>ACS0(2)
Vì BD,S0(SBD);BD cắt S0=>AC(SBD)
Cmtt ta cũng có: BD(SAC)-đpcm
SAC cân=>tr.tuyến S0 cũng là đcao
4/105. 0ABC có OA,OB,OC vuông góc nhau
a)cm: ABC có 3 góc nhọn
=>BC2=0B2+0C2= b2+c2 .Mà AB2+AC2
=(a2+b2)+(a2+c2)=> BC2Â nhọn
Cm tt cho góc B,C=>…
M
Gọi M=AHBC
Ta có:OAOB,OAOC=>OAmp(OBC)=>OABC(1)
0H(ABC) mà BC(ABC)=>OHBC(2)
b)H là hchiếu của 0 lên(ABC).cm là trực tâm ABC
Đặt a=0A;b=0B;c=0C
5) 0ABC có OA,OB,OC vuông góc nhau
b)cm: H là trực tâm ABC
M
Ta có:OAOB,OAOC
=>OAmp(OBC)=>OABC(1)
0H(ABC) mà BC(ABC)
=>OHBC(2)
(1) và (2)=>BC(OAH) =>BCAH
Cm tt ta cũng có : ACHB
Vậy: H là trực tâm…
0A(0BC)cmt=>0A0M
=>0AM vuông có đ.cao OH
=>0BC vuông có đ.cao OM
BC(0AH);AM(0AH)=>BCAM
Chú ý: Muốn cm ab ta cm: a, mà b
c
b
?
a
6)S.ABCD đáy h.thoi; SAđáy; I,K thuộc cạnh SB,SD
thỏa :SI/SB =SK/SD;cm:
a)BDSC.
Ta có:BDAC(tc h.thoi)
b)cm: IK(SAC)
Mà BD(SAC)-cmt=>KI(SAC)-đpcm
BDSA; vì SA(ABC)
=>BDmp(SAC)=>BDSC(1)
Do SI/SB=SK/SD=>KI//BD
7.SABC;SA(ABC);ABC vuông ở B;AMSB ở M;Ncạnh
SC; SM/SB=SN/SC;cm:
a)BC(SAB);AM(SBC)
BCAB(gt)
=>BC(SAB)-đpcm
BCSA; vì SA(ABC)
Do AM(SAB) mà BC(SAB)
=>AMBC(1)
Ta lại có:AMSB(gt);SB,BC(SBC)=>AM(SBC)
b)SBAN:
Vì SM/SB=SN/SC=>MN//BC, mà BC(SAB)=>MN(SAB)
7.SABC;SA(ABC);ABC vuông ở B;AMSB ở M;Ncạnh
SC; SM/SB=SN/SC;cm:
a)BC(SAB);AM (SBC)
b)SBAN:
Vì SM/SB=SN/SC=>MN//BC
mà BC(SAB)=>MN(SAB)
=>MNSB(2)
AMSB(3)(gt)=>SB(AMN)=>SBAN(đpcm)
1/54DC. SABCD đáy hvuong;SA vuong đáy
a)cm: BD(SAC)
1/54dc. SABCD đáy hvuong;SA vuong đáy
a)cm: BD(SAC)
Ta có:BDAC(tc h.vuông)
b)cm: CD(SAD)
BDSA; vì SA(ABC)
=>BD mp(SAC)
Ta có:CDAD(tc h.vuông)
CDSA; vì SA(ABC)
=>CD mp(SAD)
2.SABCD hbh tâm 0;SA=SC;SB=SD.cm: S0(ABCD)
2.SABCD hbh tâm 0;SA=SC;SB=SD.cm: S0(ABCD)
Gt=>SAC cân ở S(SA=SC)
Mà S0 là tr.tuyến(t,c hbh)
=>S0AC(t.c tam giác cân)
t.Tự :S0BD
Do AC,BD(ABC)=>S0(ABCD)
3.SABCD đáy hthoi;SB=SD;cm:BDSC
Ta có: BDAC(tc hthoi)
Gọi 0 là tâm hbh ABCD=>BDS0; vì SBD cân ở S
Do AC,S0(SAC)=>BD(SAC)=>BD SC
4.ABCD;ABC vuông ở B;AD(ABC);AE,AF là đcao
DAB,DAC
a)cm:BCAE
Ta có:BCAB(gt)
BCAD;vì AD(ABC)
=>BC(ABD)
Mà AE(ABD)=>AEBC (1)-đpcm
b)cm:AEEF
Ta có: AEBD(gt) (2)
Mà AEBC-cmt=>AE(BCD);do EF (BCD)=>EFAE
c)cm:CD(AEF)
Ta có: CDAF(AF là đcao…)
AE(BCD)-cmt, mà CD(BCD)=>CDAE
c)cm:CD(AEF)
=>CD(AEF)-đpcm
5. hv cạnh a. SA= a.SA(ABC).
AESB,AFSD.
a/ cmSCAE
a) cmSCAE
Ta có: SA(ABCD)=>SABC
Mặt khác ABBC
=>BC(SAB)
Mà AE(SAB)=>AEBC
=>ta lại có:AESB(gt)
=>AE(SBC)=>AESC
b)SCAF
Cmtt ta có:AF(SCD)=>AFSC
c)G=SC(AEF);cm AGEF
c)G=SC(AEF);cm AGEF
SAB=SAD(cgc)=>SB=SD,SE=SF
=>SE/SB=SD/SF=>EF//DB
Ta lại có:BDAC(tc hv);
BDSA(vì …)
=>BD(SAC)
Mà GSC(SAC)=>G(SAC)
=>BDAG; do EF//BD=>EFAG-đpcm
DẠNG II: THIẾT DIỆN ĐI QUA 1 ĐIỂM VÀ
VUÔNG GÓC VỚI 1 ĐT CHO TRƯỚC
1)M mà  a;a=>=Mxa
DẠNG II: THIẾT DIỆN ĐI QUA 1 ĐIỂM VÀ
VUÔNG GÓC VỚI 1 ĐT CHO TRƯỚC
2) và a=>//a(a)
6.ABC;Â=900;AB=AC=a.
SB(ABC);SB=2a.
a/ CM: SABC có các 4 là 4 tam giác vuông.Tính các cạnh
Ta có:SB(ABC)=>SBBA; SBBC
=>CA(SAB)=>CA SA
=>SAC vuông ở A.
Vậy 4 mặt của tứ diện SABC…
6.ABC;Â=900;AB=AC=a;SB(ABC);SB=2a.
a/ CM: SABC có các 4 là 4 tam giác vuông.Tính các cạnh
=>SAB,SBC vuông ở B
CAAB(gt);CASB vì SB(ABC)
SA2=SB2+BA2=5a2=>SA=
BC=AB2=..;SC2=SB2+BC2=6a2=>SC=
b)M trên AB sao cho AM=x. Qua M vẽ mp()góc AB,
cắt SA, SC, BC llượt ở N, P, Q. Tìm t.c MNPQ.
b)Qua M trên AB vẽ mp()góc AB(0cắt SA, SC, BC llượt ở N, P, Q. Tìm t.c MNPQ.
Ta có: M,Q(ABC)
Mà AB;AB(ABC)
=>(ABC)=MQ;MQAB=>MQ//AC
M,N(SAB)
Mà AB và SBAB(ABC)
=>(SAB)=MN;MNAB=>MN//SB
t.tự,(SBC)=PQ;PQ//SB=>PQMQ(1)
(SAC)=PN//MQ//AC(2)=>MNPQ là hcn
c)P và SMNPQ;x=?Smax
Ta có: MN//SB
c)AB=AC=a;SB=2a;AM=x; x=?Smax
MQ//AC
SMNPQa2/2;maxS=a2/2x=a-xx=a/2
pMNPQ=2(MN+MQ)=2(a+x)
Ta có:MC(ABC)=>(MAC)(ABC)
7.ABC đều cạnh a;trên (ABC) tại A lấy M
a)Kẻ BEAC;BFMC;cm:MCEF=>tập hợp điểm F khi
M di động
Mà BEAC=>BE(MAC)-tc 2mp vgoc
=>BEMC; Mặt khác:
BFMC=>MC(BEF)=>MCEF
Mp(MAC)(ABC) qua AC=>(MAC) cố định
Ta lại có E là tr.điểm of AC=>C,E cố định
Vậy,F thuộc đtròn đkính AC of mp(MAC)
b)0,H là trực tâm ABC, MBC;cm:0H(MBC)=>qtích H
Gọi F là tr.điểm BC=>BCAF;BCMF
b)0,H là trực tâm ABC, MBC;cm:0H(MBC)=>qtích H
=>BC(MAF)mà 0H(MAF)=>BC0H (1)
Ta cũng có:MC(BEF)mà 0H(BEF)=>MC0H(2)
(1),(2)=>0H(MBC)
Do 0,F cố định=>H thuộc đtròn đk
0F của mp(F,) cố định
H
0
c)0H=N;cm:AM.AN=const
=>AHN,AMF
=>AM.AN=AH.AF=(2/3)AF2=a2/2(const)
c)Định độ dài AM và AN để MNmin
Theo cmt, AM.AN=a2/2(const)
Mà AM+AN=MN, nên theo bđt cosi:
Nên theo bđt cosi:MNminAM=AN=a2/2
DẠNG III:GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
+)a’ = h/chiếu của a lên . Ta có:
+)Nếu a (a,)=900=>00 900
8.S.ABCD,đáy là hv cạnh a,SA(ABC),
SA=a6.Tính góc giữa:
a)SC và (ABC):
8.S.ABCD,đáy là hv cạnh a,SA(ABC),
SA=a6.Tính góc giữa:
a)SC và (ABC):
Ta có:SA(ABC)
=>AC là hchiếu of SC lên (ABC)
=>góc =ACS là góc cần tìm
b)SC và (SAB)
Vì SA(ABC)=>BCSA và BCAB(t.c hv)=>BC(SAB)
=>góc giữa BC và (SAB) bằng 900.
c)SC và (SBD):
Ta có:SA(ABC)=>BDSA
Mặt khác, BDAC=>BD(SAC)
Gọi 0 là tâm hv ABCD=>S0=ACBD
=>(SAC)(SBD)=>S0 là hchiếu
0f SC lên (SBD)=>góc cần tìm
bằng góc of SC và S0( đặt là )
=>=arccos(2/13)
d)SB và (SAC):
d)SB và (SAC):
Vì (SAC)(SBD)=>S0 là hchiếu
0f SB lên (SAC)=>góc cần tìm
bằng góc of SB và S0( đặt là )
e)AC và (SBD):
Vì (SAC)(SBD)=>S0 là hchiếu 0f AC lên (SAC)
=>góc cần tìm là SÔA
9.S.ABCD,đáy là hcn, SA(ABC),SA=a, góc giữa SC và
(ABC),(SAB) llượt là , 
a/ Xác định , 
Vì SA(ABC)=>AC là hchiếu 0f SC
lên (ABC)=>=góc SCA
9.S.ABCD,đáy là hcn, SA(ABC),SA=a, góc giữa SC và
(ABC),(SAB) llượt là , 
a/ Xác định , 
SA(ABC)=>BCSA, và BCAB
=>BC(SAB)=>=góc BSC
b)Tính AB
Ta có: AC=acot;SC=a/sin
SBC có:BC=SCsin=asin/sin.
ABC có:
Bài 7: Tìm 0 cách đều 4 đỉnh của 1 tứ diện
Gọi tứ diện SABC có H là tâm
đtròn ng.tiếp ABC
Dựng Htmp(ABC)
Gọi K là trung điểm SB
Dựng mp(P) là trung trực của
SB;(P)SB tại K
(P)Ht=O
Ta có: HA=HB=HC=>OA=OB=OC(1)
Dựng mp(P) là trung trực của
SB;(P)SB tại K; (P)Ht=O
OB=OS(t.c mp trung trực);(2)
=>OA=OB=OC=OS
=>O cách đều A,B,C,S
Vậy O là điểm cần tìm.
Bài 8: S.ABC đáy đều cạnh a;SA=SB=SC=b. G là
trọng tâm ABC
a)cm:SG(ABC); SG=?
b)mp(P)SC và qua A. a,b?để (P)SC tại M nằm
giữa S và C. Khi đó, tính Sthd .
a)Gọi G’ là h.chiếu của S lên mp(ABC)
SA=SB=SC=>G’A=G’B=G’C
=>G’G(vì ABC đều)
Vậy:SG(ABC)
a)cm:SG(ABC); SG=?
SA=SB=SC=>G’A=G’B=G’C
=>G’G(vì ABC đều)
Vậy:SG(ABC)
Do GA là bk đtròn ng.t ABC
SAG vuông ở G
b)mp(P)SC và qua A. a,b?để (P)SC tại M nằm
giữa S và C. Khi đó, tính Sthd .
SAC cân, nên
M nằm giữa S,C góc S nhọn
AC2a2< 2b2
ABSG vì SG (ABC)
AB CG(ABC đều)
=>ABmp(SCG)=>ABSC. Vậy ABmp(P)
b)mp(P)SC và qua A. a,b?để (P)SC tại M nằm
giữa S và C. Khi đó, tính Sthd .
ABSG vì SG (ABC)
AB CG(ABC đều)
=>ABmp(SCG)=>ABSC.
Vậy ABmp(P)
Gọi H trung điểm BC=>SHBC
b)Khi đó, tính Sthd .
SH.BC=SC.BM=>BM
MB=MA vì SAC= SBC
=>ABM cân ở M=>đ.cao
MK, K là trung điểm AB
K
9)ABCD có ABCD;AC BD.cm:
a)AD BC(tứ diện trực tâm)
b)Chân đường cao từ A là trực tâm BCD
c)AB2+CD2=AC2+BD2=AD2+BC2.
d)4 đ.cao đồng qui ở 1 điểm H(trực tâm tứ diện)
a)ADBC:
(Vì ACBD;ABCD)
=>AD BC(đpcm)
C2: dựng AK (BCD) tại K
C2: dựng AK (BCD) tại K
=>CD mp(ABK)=>CD BK
Cmtt ta có: BDCK
=>K là trực tâm BCD=>BCDK(1)
Mà AK (BCD)=>BC AK(2)
(1) và (2)=>BC(ADK)=>BCAD
b)Chân đường cao từ A là trực tâm BCD
Cách 2 câu a) đã cm câu b)
c)AB2+CD2=AC2+BD2=AD2+BC2.
c)AB2+CD2=AC2+BD2=AD2+BC2.
(Đúng, vì BCAD)
d)4 đ.cao đồng qui ở 1 điểm H(trực tâm tứ diện)
d)4 đ.cao đồng qui ở 1 điểm H(trực tâm tứ diện)
Gọi E,F lần lượt là h.chiếu của B lên CD, (ADC)
CD(ABK)cmt tức CD (ABE)(3)
Mà BF (ACD)=>CD BF(4)
(3),(4)=>BFmp(ABE)
Vậy AKBF=H trong (ABE)
Cmtt ta cũng có: đcao CP của tứ diện
cắt AK,BF lần lượt tại I,J
I=CPAK;AKmp(ABE)=>I=CP(ABE)
t.Tự J=CP(ABE); CP(ABE)=>IJ H
httt ta có: 4 đcao đồng qui tại H
10)S.ABC đáy ABC vuông ở B;SA(ABC)
AB=a;AC=SA=2a
a)Cm : 4 mặt của h.chóp là
những tam giác vuông
Ta có:ABC vuông ở B(gt)
SA(ABC)=>SAAB;SA AC
BC AB; AB là h.chiếu của SB
lên (ABC)=>BC SB
=> SBC vuông ở B
Vậy: 4 mặt
b)Gọi AH là đ.cao SAB;cm: AH (SBC)
C2: SABC,vì SA(ABC)1)
Mà ABBC(2)
=>BC(SAB)=>BCSB
AH SB(gt)(3)
Mà AHSAB)=>AH BC(5)
b)Gọi AH là đ.cao SAB;cm: AH (SBC)
BC (SAB))(cmt)(4)
(3),(5)=>AH (SBC)
c)Tính góc giữa : SC và (ABC)
AC là h.chiếu của SC lên (ABC)=>
Góc giữa SC và (ABC) là góc giữa SC và AC
Đặt số đo của nó là 
=> BÂC=600
c)Tính góc giữa : SC và (ABC)
AC là h.chiếu của SC lên (ABC)
=> =450
d)Gọi E,F trung điểm SA,SB
Tính góc giữa EF và AC
Do EF//AB(t.c trung bình)
=>góc giữa EF và AC bằng góc giữa AB và AC=BÂC
11. Hình chóp SABCD, ABCD là hình vuông cạnh a
SA  (ABCD), SA= . Tính góc giữa :
a)cm: 4 mặt bên là những tam giác vuông
SA(ABCD)=>SAAB;SAAD
=>SAB; SAD vuông ở A
ABBC(t.c h.vuông)
BCSA;vì SA (ABC)
=>BC(SAB)=>BCSB
Vậy SAB vuông ở B
Cmtt ta có: CD(SAD)=>CD SD=>SCD vuông ở D
Vậy: 4 mặt bên…
11. Hình chóp SABCD, ABCD là hình vuông cạnh a
SA  (ABCD), SA= . Tính góc giữa :
a)cm: 4 mặt bên là những tam giác vuông
SA(ABCD)=>SAAB;SAAD
=>SAB; SAD vuông ở A
ABBC(t.c h.vuông)
BCSA;vì SA (ABC)
=>BC(SAB)=>BCSB
Vậy SAB vuông ở B
Cmtt ta có: CD(SAD)=>CD SD=>SCD vuông ở D
Vậy: 4 mặt bên…
b)Góc of BC và AC’
BC//B’C’=>góc AC’ vàBC
bằng góc AC’và B’C’=gócAC’H
AHC’ có: tgAC’H=AH/C’H=3
c)Góc (ABB’) và đáy
Gọi K,I là tr.điểm A’B’;B’K;HI//C’K
=>HIA’B’;AHA’B’
=>A’B’(AHI)=> góc cần tìm là AIH;tgAIH=AH/HI=23
9/60. ABCD có ABC đều, cạnh a
ADBC;AD=a;d(D,BC)=a;H,I là
tr.điểm BC,AH
a)cm: BC(ADH)
BCAH và BCAD=>
BC(ADH)=>BCDH=>DH=a
b)cm: DI(ABC)
DAH cân ở D vì có DA=DH=a=>DIAH. Mặt khác:
BC(ADI) mà DH(ADI)=>DIBC=>DI(ABC)
9/60. ABCD có ABC đều, cạnh a
ADBC;AD=a;d(D,BC)=a;H,I là
tr.điểm BC,AH
c)Tìm đoạn vuông góc
chung of AD,BC
Trong (ADH) kẻ HKAD ở K
BC(ADH)=>BCHK=>HK là đoạn thẳng cần tìm;
HK.AD=AH.DI
DI2=AD2-AI2=a2-3a2/16=13a2/16=>DI=
Ta có:HK.AD=AH.DI=>HK=
10/60. S.ABCD đáy hthoi cạnh a,tâm 0;Â=600.S0=a và là đc
a)Tính d(0,SBC)
Gọi E,F lần lượt là tr.điểm of BC,BE
Gt=>BCD đều=>DEBC
Mà 0F//DE=>0FBC mà S0BC
=>BC(S0F)
Kẻ 0HSF ở H=>0H(SBC)
BCD=>DE=a3/2=>0F=a3/4
b)d(AD,SB)
10/60. S.ABCD đáy hthoi cạnh a,tâm 0;Â=600.S0=a và là đc
b)d(AD,SB)
Lấy I đ.x F qua 0;K đx F qua H
=>IAD và 0H là tr.bình FIK
=>IK//0H=>IK(SBC)
Vì AD//BC=>AD//(SBC)
=>d(AD,SBC)=d(I,SBC)=IK=20H=
11.S.ABCD đáy hv cạnh a;SAD đều,(SAD)(ABC)
a)Tính d(AD,SB)
Gọi E là tr.điểm AD=>SEAD
Mà (SAD)(ABC)=>SE(ABC)
Gọi I là tr.điểm BC=>EIBC
Mà SEBC=>BC(SEI)
=>(SBC)(SEI)
Kẻ EHSI=>EH(SBC)
b)d(SA,BD)
b)d(SA,BD)
Gọi F là tr.điểm 0D;J đ.x F qua E
=>AJDF là hcn=>AJEJ
Mặt khác:AJSE vì SE(ABC)
=>AJ(SJE)=>(SAJ) (SJE)
Trong (SJE) kẻ EKSJ ở K
=>EK(SAJ)-tc 2mp vuông góc
SEJ vuông có:EJ=EF=A0/2=a2/4
12.(DH10) S.ABCD đáy hv cạnh a
M,N lluot là tr.điểm AB,AD;
H=CNMD;SH(ABC);SH=a3.
Tính VSCDMN và d(MD,SC)
SCDMN=SABCD-SAMN-SCMB
=a2-(1/2)a2/4-a2/4=5a2/8
cmDMCN và MD SH=>DM (SMC)
Ta có: AMD=DNC(cgc)
=>gócADM=gocDCN
Cm CNMD
Mà góc ADN+MDC=900
=>gócMDC+DCN=900
=>CNMD
Mặt khác MDSH cmt
=>MD(SNC)
=>DM (SNC)=>(SDM) (SNC)
DNC vuông
=>CD2=CH.CN
Trong (SNC),kẻ HKsc(1)
=>mà MD(SMC)=>
HKMD(2)=> HK là đoạn
Vgóc chung of DM,SC
4.Hhcn AB=AA’=a;AC’=2a
a)d(D,(ACD’)
Dựng DIAC tại I
Mà DD’AC(t.c hhcn)
=>AC(DD’I)=>(ACD’)(DD’I)
Dựng DH D’I tại H=>DH(ACD’)
(t.c 2 mp vuông góc)
AC2=AC’2-AA’2=3a2=AD2+CD2=>AD2=2a2=>AD=a2
b)Dựng và tính độ dài đường
Vuông góc chung của AC’;CD’
Theo cmt=>CDD’C’ là h.vuông
cạnh a=>CD’C’D
Mà ADC’D(t.c hhcn)
=>CD’(C’DA)
=>C’DA vuông cân tại D
Gọi H trung điểm AC’;F trung điểm C’A
=>EF là trung bình của C’DH
EF//DH;DHAC’=>EFAC’
EF(C’DA)=>EFCD’; vậy EF là đoạn vuông góc chung của…
5.S.ABCD đáy hcn AB=2a;BC=a;các cạnh bên a2
a)Tính d(S,(ABCD)
Gọi O=ACBD=>O là tâm đường
tròn ngoại tiếp hcn ABCD
Do SA=SB=SC=SD=>S thuộc trục
đtròn ngoại tiếp đáy ABCD
=>SO là trục=>SOABCD
=>SO=d(S,(ABCD))
Ta có: AC2=AB2+BC2=5a2=>AO2=5a2/4
SOA vuông ở H=>
b)E,F trung điểm AB,CD;KAD
Cm: d(EF,SK) k0 phụ thuộc K.Tính
Ta có: EF//AD(t.c hcn)
=>EF//mp(SAD);mà SK(SAD)
=>d(EF,SK)=d(EF,(SAD)
=d(O,(SAD)) const
Gọi I trung điểm AD=>AD0I;ADSI=>AD(SAD)
=>(SAD)(S0I).Dựng 0HSI tại K=>0H(SAD)(t.c2mp v.góc)
0I=AB/2=a
S0I vuông có: